机械能守恒定律说课

§ 4-5 机械能守恒定律

教学目标：掌握质点的动能定理，功能原理，机械能守恒定律，了解宇宙速度 重点难点：学会运用功能原理，机械能守恒定律

一、质点系的动能定理

设系统内有n 个质点，作用于各个质点的力所作的功，由质点的动能定理可分别得出：

303320221011k k k k k k E E W E E W E E W -=-=-=

以上各式相加可得：∑∑∑===-=n

i ki n

i ki

n i i

E E

W 10

11

上式的物理意义是：作用于质点系的力所作的功，等于该质点系的动能增量。 因为系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力，所以有

in

ex n

i in i n

i ex

i

n i i

W W W W

W +=+=∑∑∑===1

1

1

也就是∑∑==-=+n

i ki n i ki in ex E E W W 10

1

质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功于一切内力作的功之和。这就是质点系的动能定理。 二、质点系的功能原理 1. 表达式推导

我们将内力区分为保守内力和非保守内力，则

in

nc

in c in W W W +=

而系统内保守力作的功等于势能增量的负值，即

)

(1

01

∑∑==--=n

i pi n i pi in c

E E W

则质点系的动能定理可表示为：

∑∑∑∑====-=--+=++=+n

i ki n i ki n i pi n i pi in nc

ex

in

nc

in c ex in ex E E E E W W W W W W W 1

1101

)(

即：

1

01

01

1

)()(E E E E E E W W n

i pi n

i ki n i pi n i ki in

nc ex -=+-+=+∑∑∑∑====

0E E W W in nc ex -=+，这就是质点系的功能原理。

2. 表述

质点系统在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。 3. 讨论

功能原理与质点系动能定理不同之处是功能原理将保守内力作的功用势能差来代替。因此，在用功能原理解题的过程中，计算功时，要注意将内部保守内力的功除外。 三、机械能守恒定律 1. 数学表示

当系统满足0=+in

nc ex W W ，则有0E E =

即 )

()(101011∑∑∑∑====+=+n

i pi n i ki n i pi n i ki E E E E

2. 文字表述

如果一个系统只有保守内力做功，其它内力和一切外力都不做功，或所做功的代数和等于零，那末系统内质点间的动能和势能可以互相转换，但它们的总和保持不变。——机械能守恒和转换定律。 3. 解题时注意事项

（1）明确系统中的物体；

（2）机械能守恒的前提:只有保守内力做功，其它内力和外力不做功，或它们作功的代数和为零，或可以忽略不计；

（3）只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能不一定守恒；

(4)与惯性参考系的选择有关。因为我们知道，内力总是成对出现的，它们作功的和与参考系的选择无关，但是外力作功却与参考系有关，它们作功总和是否为零则决定于参考系的选择。 4. 讨论

机械能守恒定律也可以表示为：

)

()(101101∑∑∑∑====--=-n

i pi n i pi n i ki n i ki E E E E

即 p k E E ?-=? 上式表明，在满足机械能守恒的条件下，系统内各质点的动能和各种势能可以相互转换，但它们的总和（即总机械能）却保持不变。 课本例子在习题课讲授，请先自学。 四、能量守恒定律

对于一个孤立系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何

转换，能量既不能产生，也不能消灭。——能量守恒定律

该定律是自然界的基本定律之一，是物理学中最具普遍性的定律之一，可适用于任

何变化过程，不论是机械的、热的、电磁的、原子和原子核内的，以及化学的、生物的等等，其意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只不过是前者的一个特例。 五、宇宙速度（自学）

由地面处发射使物体绕地球运动（人造地球卫星）所需的最小速度，称为第一宇宙

速度。使物体脱离地球的引力范围所需的最小速度，称为第二宇宙速度。使物体脱离太阳系所需的最小速度，称为第三宇宙速度。试计算这三种宇宙速度。 1. 第一宇宙速度

地球对卫星的引力为：

20

r mM G f E

=。

若不计空气阻力，引力即为卫星作圆周运动的向

心

力

：

r

v m

r mM G E 220=，化简得

()

10r

M G v E

=

卫星在地面上时

mg R mM G E

E

=2

，即

g R M G E

E

=2

0。

代入（1）式得：()

12'=

r

gR v E

这就是卫星在半径为 r 的圆轨道上运转所需的速度，称为环绕速度。

2681.91037.6-?=?=≈秒米米，取令g R r E ，得第一宇宙速度

13611091.71037.681.9-??=??==秒米E gR v

2. 第二宇宙速度

以物体和地球为研究系统。忽略空气阻力，只有保守力做功，所以系统的机械能守恒。设v 为物体离开地面时的速度，v ∞为物体远离地球时的速度。并选取无穷远处为万有引力势

能的零点，由机械能守恒定律:021212

02+=???? ??-+∞mv R m M G mv E E ,

所以得因为.0,min ==∞v v v

E E

R M G v 022=

. ()m R g R M G E E

E

62

01037.6,?==地球半径地面上

()

1

362102.1181.91037.622-??=???==s m gR v E

所以

上述速度称为第二宇宙速度或称为脱离地球的逃逸速度。

3. 第三宇宙速度

物体飞出太阳系去，必须满

足:021

023

='-'r m M G v m s

各值得系的逸出速度。代入

为物体相对于太阳为地球和太阳的距离，为太阳的质量，3

v r M s ''

()平均值m r kg M s 1130

10496.1,1099.1?='?=

)(102.4221303

-??='='s m r M G v s

133

13104.128.292.42,108.29--??=-=''??s m v s m 需要讲，只

发射的速度相对地球来助地球的公转，物体被借

速度为由于地球绕太阳的平均

从地面发射的物体，飞出太阳系时，既要脱离太阳的引力作用，也要脱离地球的引力作

用，发射时的能量必须满足23

222321

2121v m mv mv ''+=,

所以, ()()()

1

32

223

2

23107.164.122.11-??=+=''+=s m v v v

这就是从地面发射使星体飞离太阳系的最小速度，即第三宇宙速度。

例1 如图所示用一弹簧把两块质量分别为m 1和m 2的板连接起来。问在m 1上需要加多大

的压力使力停止作用后，恰能使m 1在跳起时m 2稍被提起。弹簧的质量忽略不计。

解：取弹簧的原长处O 为重力势能和弹性势能的零点，并以此点为坐标轴的原点，如图(a)。当在弹簧上加上m 1和外力F 后，弹簧被压缩到y 1处，如图(b)；当外力F 撤去后，弹簧被推到y 2处，如图(c)。在此过程中，只有重力和弹性力作功，故系统的机械能守恒，设弹簧的劲度系数为k ，则有

21221121

2

121gy m ky gy m ky +=-

g m y y k 1212)(=- 2111ky g m g m ky ＋=-

由图(b)得

g m ky F 11-=

由图(c)可知，欲使m 2跳离地面，必须满足

g m ky 22≥

解得

g m g m ky g

m F 2121＋＋≥=

例2、如图所示质量为M 的物块A 在离平板h 的高度处自由下落，落在质量也是M 的平板B 上。已知轻质弹簧的倔强系数为k ，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。

解： 从物块A 自由下落到弹簧压缩到最大限度可分为三个物理过程：

x 1x 2x

(1)物块A 作自由落体运动，到B 时速度为v 1;

(2) 物块A 和平板B 作完全非弹性碰撞，碰后速度为v 2; (3) 碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x 2。 对每个物理过程列出方程：

gh v 21= 21)(v M M Mv +=

第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点。取x 2位置为重力势能零点，则第三个过程方程为

222112222

121)()()(21kx kx x x g M M v M M =+-+++ 在A 、B 未碰撞前，B 的重力跟所受弹力平衡，因此有

kx 1 = mg

联立以上各式解得弹簧的最大压缩量x 2

k

Mgh

k Mg k Mg x +

+=

22)(2