§17.3 方向导数与梯度 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件.

定义1

设函数 0000(,,)(,,)f x y z P x y z 在点的某邻域

00

()()lim lim l f f P f P ρρρ

ρ

++

→→?-=记作

0000,()(,,).l l P f

f P f x y z l ??或3

00()R U P l P ?内有定义，为从点出发的射线.

0P l 则称此极限为函数 f 在点 沿方向 的

若极限

00(,,)(),||P x y z l U P P P ρ∈=记，任给 不难看出: 若f 在点0P 存在对x 的偏导数，则f 在点0P 沿x 轴正方向的方向导数恰为 方向导数, 后退 前进 目录 退出

存在,

对于y z f f 与也有相应的结论．

当 的方向为 x 轴的负方向时，则有

l l 沿任一方向 的方向导数都存在, 0000()()cos ()cos ()cos ,(1)

x y z l f P f P f P f P αβγ=++cos ,cos ,cos αβγ其中 为 的方向余弦．

l 证 设 (,,)P x y z 为 上任一点，于是有

l 00()()();

x l f P f P l O x ==+00()()();x l f P f P l O x =-=-0

P 若 0000(,,)(,,)f x y z P x y z 在点可微，则 f 在点 且

上式左、右两边皆除以,ρ 并根据(2)式可得

000cos ,cos ,cos .x x x y y y z z z ραρβργ?

?=-=?

?=-=?

?

?=-=?

(2)

f 0P 由假设 在点 可微，则有

000()()()()x y f P f P f P x f P y

-=?+?0()().

z f P z o ρ+?+x

y

z

O

图17 – 5

?

?x

?y

?z

?0P P

l

lim ()0,o ρρρ因为所以上式左边的极限存在:

+→=()000

()lim ()()l f P f P f P ρρ

+→=-000()cos ()cos ()cos .

x y z f P f P f P αβγ=++000()cos ()cos ()cos ().x y z f P f P f P o ραβγρ=+++()

000()()()()x y f P f P f P x f P y ρρρ

-=?+?0()()z f P z o ρρ

ρ+?+(,)f x y 对于二元函数 来说, 相应于 (1) 的结果为 ,αβ2

R l 其中 是 中向量 的方向角．

000000(,)(,)cos (,)cos ,(2)

x y l f x y f x y f x y αβ=+

例1 23

0(,,),(1,1,1)f x y z x y z f P =++设求在点处 1(3,1,2).P -沿着指向点方向的方向导数解 0.f P 易见在点可微故由

000()1,()2,()3,

x y z f P f P f P ===01(2,2,1)l P P ==-以及的方向余弦

0222022

cos ,

32(2)1

pp i pp α?===+-+000

21cos ,cos ,33pp j

pp k pp pp βγ??-=

===按公式 (1) 可求得 02211()123.

3333l f P ??

=?+?-+?= ???

例2 设函数

2

1,0,,

(,)0,y x x f x y 当时其余部分.

?<<-∞<<+∞=?

?已知它在原点不连续 (当然也 点的充分小的一段, 都有

(0,0)0.l f =但在始于原点的 l 于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方向 就不可微)． 任何射线上, 都存在包含原

在这一段上 f 的函数值恒为零.

定义2

说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件；

(ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．

0000(,,)(,,)f x y z P x y z 若在点存在对所有自变量

0000grad ()((),(),()).

x y z f P f P f P f P =222

0000|grad ()|.

()()()x y z f P f P f P f P =

++0grad ()f P 的长度 (或模) 为

0f P 在点的梯度, 的偏导数,

000((),(),())x y z f P f P f P 为函数 则称向量 记作

0(cos ,cos ,cos ),

l αβγ=则方向导数计算公式 (1) 又可写成

0000()grad ()|grad ()|cos .

l f P f P l f P θ=?=这里θ是梯度向量0grad ()f P 与0l 的夹角．

当0θ=时, 0()l f P 取得最大值0|grad ()|f P .

在定理17.6 的条件下, 若记

方向上的单位向量为 l 这就

是说，当0f P 在点可微时,0f P 在点的梯度方向

因此， 是 f 的值增长最快的方向,

且沿这一方向的变化率 就是梯度的模; l ()θπ=与梯度向量反方向 而当 时， 0|grad ()|.

f P -方向导数取得最小值

处的梯度及它的模.

解 000()1,()3,()3,x y z f P f P f P 易得所以

==-=-0grad ()(1,3,3),

f P =--222

0|grad ()|1(3)(3)19.

f P =

+-+-=例3 23

0(,,),(2,1,1)

f x y z xy yz f P =+-设试求在点