南通市2020届高三阶段调研测试_2.5模——参考答案与评分建议终稿答案

南通市2020届高三阶段性练习

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．

． 1．已知集合 {}{}

2

2,1,0,1,0M N x x x =--=+≤，则M

N = ▲ .

2．已知复数

2a i

i

++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ .

3．某同学5次数学练习的得分依次为114,116,114,114,117，则这

5次得分的方差是 ▲ .

4．根据如图所示的伪代码，当输入的x 为1-时，最后输出的m 的

值是 ▲ .

5．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()

22

2210,0x y a b a b

-=>>的离心率为5，则该双曲线的渐近线的方程是 ▲ .

6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道

作答.若该同

学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 ▲ . 7．将函数()sin 23f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象向右平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象.若()g x 为奇函数，则ϕ的最小正值是 ▲ .

8．已知非零向量b 与a 的夹角为120，且2,24a a b =+=则b = ▲ . 9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1328,,6a a a 成等差数列，则

78

56

22a a a a ++的

值是 ▲ .

10．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()-10,0的圆M 与圆

22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是 ▲ .

11．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为

214

3

R π.设酒杯上部分(圆柱)的体积为1V ，下部分(半球)的体积为2V ，则

1

2

V V 的值是 ▲ . 12．已知函数()()log 1a f x x a =>的图象与直线()()1y k x k R =-∈相交.若其

中一个交点的纵坐标为1,则k a +的最小值是 ▲ .

13．已知函数

()()224

,012,0

x x x f x x x +⎧≥⎪+=⎨⎪+<⎩

若关于x 的不等式

()()10f x mx m m R ---<∈的解集是()

()123,,x x x +∞，

123x x x <<，则m 的取值范围是 ▲ .

14．如图，在ABC ∆中，3

2

AC BC =

，

点,M N 分别在,AC BC 上，且13AM AC =，1

2BN BC = .若BM 与AN 相交于点P ，

则CP AB

的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

（1）若b C a =cos 2，且B A C sin sin sin 2=，求B 的值； （2）若0cos 3)2(cos =++B B A ，求C A tan tan 的值． 16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111C B A ABC -中，平面11A ACC ⊥平面

11B BCC ，侧面11B BCC 是矩形，点E ，F 分别为BC ，1

1B A 的中点．

求证：（1）BC ∥1AC ； （2）EF ∥平面11A ACC ．

17．（本小题满分14分）

如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为ABC △，A 到河两岸距离AE ，AD 相等，B ，C 分别在两岸上，AB ⊥AC .为方便游客观赏，拟围绕ABC △区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度l （即ABC △的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：

方案1：设α=∠ABD ，求出l 关于α的函数解析式)(αf ，并求出)(αf 的最小值.

方案2：设x EC =米，求出l 关于x 的函数解析式)(x g ，并求出)(x g 的最

小值.

请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分） 18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :122

22=+b

y a x （0,0>>b a ）短轴的

两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为

33

8

． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）直线)00(:≠>+=m k m kx y l ，与椭圆C

交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，

2k .已知212

k k k ⋅=. ①求k 的值；

②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.

19．（本小题满分16分）

已知数列{n a }的前n 项和为n S ，11=a ，2121+++=⋅+n n n n S S S a λ，*

∈N n ，

R ∈λ．

（1）若3-=λ，12-=a ,求3a 的值；

（2）若数列{n a }的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值； （3）若02>a ，是否存在R ∈λ，使{n a }为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小满分16分）

对于定义在D 上的函数f （x ），若存在R ∈k ，使kx x f <)(恒成立，则称)(x f 为“)(k m 型函数”；若存在R ∈k ，使kx x f ≥)(恒成立，则称)(x f 为“)(k M 型函数”.

已知函数)(ln )21()(R ∈-=a x ax x f .

（1）设函数1)()(1+=x f x h （1≥x ）.若0=a ，且)(1x h 为“)(k m 型函数”，求k 的取值范围； （2）设函数x

x f x h 1)()(2+

=.证明：当21

-=a ，)(2x h 为“)1(M 型函数”；