中考数学复习必备教案——直角三角形与勾股定理

中考数学复习必备教案 直角三角形与勾股定理

知识点回顾

知识点一：直角三角形的概念与性质

1．有一个角是 的三角形叫做直角三角形； 2．直角三角形的两个锐角 ；

3．直角三角形斜边上的中线等于 的一半.

例1．（2009湖北省荆门市）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点

A 落在边C

B 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB = （ ）

A 、40° B、30° C、20° D、10° 解：∵Rt △ABC 中，∠AC

B =90°，∠A =50°， ∴∠B =90°－50°=40° 由折叠得∠DA ′

C =∠A =50°， ∵∠DA ′C =∠B +∠A ′DB

∴∠A ′DB =50°－40°=10°，选D.

例2．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm 、12cm ，则它的面积是 cm 2

. 解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm. ∴直角三角形的面积是2

1×24×10=120cm 2

.

同步检测一：

1．（2009年湖南省郴州市）如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度．

2．如图3，Rt △ABC 中，∠B =90°，BD ⊥AC 于D ，点E 为AC 的中点，若BC =7，AB =24，则

BE = ，BD = .

A '

B D

A

C

（图1）

A

B

E D C

（图3）

2

1

（图2）

知识点二：勾股定理

直角三角形 的平方和等于 的平方．

例3．（2009年四川省宜宾市）已知：如图4，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积和为 ． 解：过点E 作ED ⊥AB 于点D ，可证得ED =2

1

AB ， ∴ED AB S ABE ??=

?21=41AB 2

， 同理AHC S ?=

41AC 2，BFC S ?=4

1

BC 2， 从而图中阴影部分的面积和为4

1（AB 2+ AC 2+ BC 2

） =

41（AB 2+ AB 2

）=2

9. 例4．（2009年湖南省衡阳市）如图5，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 （ ）

A 、1

B 、

34 C 、2

3

D 、2

解：Rt △DAB 中，BD =54322=+， 设AG =x ，则BG=4－x

由折叠得A ′D =AD =3，A ′G =AG =x ，∠DA ′G =∠A =90°， ∴A ′B =BD －A ′D =5－3=2，∠GA ′B =90°， 从而Rt △GA ′B 中，x 2

+22

=（4－x ）2

. 解得x =

2

3

，选C. 同步检测二：

3．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 . 4．（2009年四川省达州市）如图6是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、 2、3，则最大正方形E 的面积是 （ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94★5．（2009年黑龙江省哈尔滨市）若正方形ABCD 的边长为4，

E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM

交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，求BM 的长. （图5）

A

B C

D

A′

G

（图4）

B

H

F E

A

C

（图6）

知识点三：直角三角形的判定方法

1．根据定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形；

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C =90°.

例5．（2009年湖南省衡阳市）如图7，A 、B 、C 分别表示三个 村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义 新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位 置应在 （ ） A 、AB 中点 B 、BC 中点

C 、AC 中点

D 、∠C 的平分线与AB 的交点

解：显然到A 、B 、C 三个村庄距离相等的点P 应该是AB 、BC 、AC 三边垂直平分线的交点. 又∵BC 2

+AC 2

=6002

+8002

=1000000；AB 2

=10002

=1000000 ∴BC 2

+AC 2

=AB 2

， ∴∠ACB =90°,

由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P 的位置应在AB 的中点处，选A.

例6．如图8，点P 是等边△ABC 内的一点，分别连接PA 、PB 、PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接CQ .

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若PA ∶PB ∶PC =3∶4∶5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由. （1）答：AP =CQ

证：∵△ABC 为等边三角形 ∴AB =BC ，∠ABC =60° ∵∠PBQ =60° ∴∠ABC =∠PBQ ∴∠ABP =∠CBQ

在△ABP 与△CBQ 中，??

?

??=∠=∠=BQ BP CBQ ABP CB

AB

∴△ABP ≌△CBQ （SAS ） ∴AP =CQ

（2）答：△PQC 为直角三角形.

理由是：设PA =3k ，则PB =4k ，PC =5k （k >0），CQ =AP =3k B

A

C

（图7）

A

B

P （图8）

∵BQ =BP ，∠PBQ =60°

∴△PBQ 为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形） ∴PQ =PB =4k

又CQ 2

=9k 2

，PQ 2

=16k 2

，PC 2

=25k 2

， ∴CQ 2

+PQ 2

=PC 2

∴△PQC 为直角三角形，且∠PQC =90°. 同步检测三：

6、（2009年黑龙江省牡丹江市）如图9， △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，下列条件中：①∠1=∠A ；②

CD

DB

AD CD

；③∠B +∠2=90°；④BC ∶AC ∶AB =3∶4∶5；⑤AC ×BD =AC ×CD ，一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是 （ ） A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

7、（2009年甘肃省定西市）如图10，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，

求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）AD 2

+DB 2

=DE 2

.

随堂检测：

1．（2009年湖南省长沙市）如图11，等腰△ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5cm ，

BC =6cm ，则AD = cm ．

2．(2009年上海市)如图12，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3， M 为边BC 上的点，联结

AM ．如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距

离是 .

3．（2009年贵州省安顺市）如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是A

B C

M

（图12）

（图10）

E

D

B

A

C

21

D

B

A

C

（图9）

（图11）

A

D C

B

（图13）

C

S 1

S 2

（图14）

由四个全等的直角三角形围成的. 在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______.

4．（2009年浙江省湖州市）如图14，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =Rt ∠，AB =4，分别以AC 、

BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1、S 2，则S 1+S 2的值等于 .

5．（2009年湖北省恩施自治州）如图15，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C

的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 （ ）

A 、521

B 、25

C 、105+5

D 、35

6．（2009年浙江省丽江市）如图16，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 ， l 2，l 3之间的距离为3 ，则AC 的长是 （ ） A 、172 B 、52 C 、24 D 、7

7．（2009年新疆维吾尔自治区）如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．

8．（2009年湖北省恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．如图18，著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案

5

20

15

10

C

A

B

（图15）

l 1

l 2

l 3

A

C

B

（图16）

c

b

a c

b

a c

b

a c

b

a

c

c

（图17）

一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1=PA +PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB ．

（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2=PA +PB 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

9．（2009年黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m ，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 10．（2009年湖北省咸宁市）

问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图19中的图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：__________________ 思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．．．

．若△ABC 三边的长分别为5a 、a 22、a 17（a >0），请利用图19中的图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相

应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：

（3）若△ABC 三边的长分别为2216n m +、2249n m +、222n m +（m >0，n >0，且m ≠n ），

试运用构图法．．．求出这三角形的面积． （图18）

B

A P 图（1）

Y

X

B

A

Q

P

O

图（3）

B

A

P

X

A '

图（2） A

B

答案：

知识点回顾的答案

知识点一：直角；互为余角；斜边； 知识点二：两直角边；斜边； 知识点三：直角；a 2

+b 2

=c 2

. 同步测试的答案 1．90°； 2．BE =

225，BD =25

168； 3．2或25； 4．A ； 5．（1）当点F 在DC 上时，如图1，先证△ABE ≌△BCF ，可得AE =BF =5，BE =CF =3，AE ⊥BF ，再由面积公式BE AB BM AE ?=?得BM =5

12.

（2）当点F 在AD 上时，如图2，先证△ABE ≌△BAF ，可得BE =AF =3，∴AE =BF =5，连结EF ，证□ABEF ，∴BM =

21BF =2

5. 6．C （提示：能确定△ABC 为直角三角形的有①②④，共3个） 7．证明:（1） ∵ ∠ACB =∠ECD =90°，

∴∠ACB －∠ACD =∠ECD －∠ACD ， 即 ∠BCD =∠ACE ∵BC =AC ，DC =EC ， ∴△ACE ≌△BCD .

（2）∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠B =∠BAC =45°． ∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE =∠B =45°．

∴∠DAE =∠CAE +∠BAC =45°+45°=90°． ∴Rt △DAE 中，AD 2

+AE 2

=DE 2

. ∵△ACE ≌△BCD ∴ AE ＝DB ， ∴AD 2

+DB 2

=DE 2

. A B F E

D

C M

（图1）

A

B

E

C D M F

（图2）

（第5题答案图）

随堂检测的答案：

1．4cm ； 2．2； 3．76； 4．2π； 5．B ； 6．A 7．解：（1）如图，

（2）证明：

大正方形的面积表示为()2b a +，大正方形的面积也可表示为ab c 2

142?+，

∴()2b a +=ab c 2

1

42?+，即ab c ab b a 22222+=++，

∴222c b a =+，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

8．解：（1）图18（1）中过B 作BC ⊥AP ，交PA 的延长线于点C ，则PC ＝40，又AP ＝10，

∴AC ＝30.

在Rt △ABC 中，AB ＝50 ，AC ＝30，∴BC ＝40 ，∴ BP ＝24022=+BC CP ， ∴S 1＝10240+；

图18（2）中，过B 作BC ⊥AA ′，交A ′A 的延长线于点C ，则A ′C ＝50，又BC ＝40， ∴BA ′＝4110504022=+，

由轴对称知：PA ＝PA ′，∴S 2＝BA ′＝4110， ∴S 1>S 2.

（2）如 图18（2），在公路上任找一点M ，连接MA ，MB ，MA '，由轴对称知MA ＝MA ′，∴MB +MA ＝MB +MA ′>A ′B ，∴S 2＝BA ′为最小.

（3）如图，过A 作关于X 轴的对称点A ′，过B 作关于Y 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，交X 轴于点P ，交Y 轴于点Q ，则P ，Q 即为所求.

过A ′、 B ′分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G ，A ′B ′＝5505010022=+， ∴所求四边形的周长为55050+.

a b

c a b

c

a

b c

c b a

（第7（1）题答案图）

Y

B′

B

A

Q

9．解：设在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6. 由勾股定理有：AC =10. 扩充部分为Rt △ABD ，扩充成等腰△ACD ，应分以下三种情况： ①如图1，当AC =AD =10时，可求BD =CB =6，得△ACD 的周长为32m ；

②如图2，当AC =CD =10时，可求BD =4，由勾股定理得：AD =45，得△ACD 的周长为（20+45）m ；

③如图3，当AC 为底时，设AD =CD =x ，则BD =x －6，由勾股定理得：x =3

25

，得△ACD 的周长为3

80m.

10．（1）3.5；

（2）如图②，构造△ABC ，使AB =5a ，BC =a 22，AC =a 17，∴△ABC 的面积为2

1×（2a +4a ）×2a －21×a ×2a －2

1×a ×4a =3a 2

；

（3）如图③，先构造长和宽分别为4n 、3m 的长方形网格，再构造△ABC ，使AC =2216n m +，

BC =2249n m +，AB =222n m +，∴△ABC 的面积为3m ×4n －

21×m ×4n －21×2n ×3m －2

1

×2n ×2m =5mn .

D

C B A

C

B A

D C

B

A

D

（图1）

（图2）

（图3）

（第9题答案图）

（第10题答案图）

4n

3m

A

C B （图②）

（图③）