解析几何试卷A卷答案
解析几何试卷A 卷答案
一、1.证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ?，
则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== （5分） 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于
0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量
,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。 （10分）
2.解：2
2
(32)(25)61011a b a b a b a b +-=--
（5分）
54401123cos
146
π
=--=- （10分）
二、1. 平面的方位向量为12(3,3,5),(0,1,0)v v =-=，所以平面的参数方程
23,3,15.x y z λλμλ=-??
=+??=-+?
（5分） 平面的普通方程为
213350,0
1
x y z -+-=即5370.x z +-= （10分）
2. 解：直线
112
331
x y z +--==
经过点1(1,1,2)M -，方向向量是1(3,3,1)v =，直线
65
123
x y z -+==
-经过点2(0,6,5)M -，方向向量是2(1,2,3)v =-。 （5分） A
B
C
a
b
c
混合积12121
57
(,,)3
311060,12
3
M M v v -==-≠-所以两直线异面。 （10分） 2,(1,2,1)(0,1,2)21123,5,0,.121t t l t t --?--+-+?
====?-??
三、证首先两直线的方向向量 和 不平行.（3分）x=-2
y=1+t 矛盾故两直线无公共点.z=2-2t
两直线不平行,又无交点,故是异面直线.（10分）
四、解：柱面上的点(,,)x y z 一定在经过准线上一点000(,,)x y z 的母线上，所以
022000009,1,2,3,
4x y z x x t y y t z z t ?+=?
=??
=+??=-?
?=+?
（5分） 消去000,,,x y z t 得到柱面方程：
22216161324161624261310.x y z yz xz x y z +++-+---=（10分）
。
五、解：二次曲面的矩阵：
116236610436,2461836
36
18
150A -????---?
?=??-??-??
（4分） 计算不变量
12341161121041110627,180,6
10
26
4
61162361162
6104366
104481324,12481.
246182
4
6
3636
18
150
I I I I --=++==
+
+
=-------=--=?===-??---
特征方程是32271803240,λλλ-+-+=即(3)(6)(18)0,λλλ---= 特征根为1233,6,18,
λλλ===4
3
12,I I =- （8分）
于是，简化方程为2223618120.x y z '''++-=即2222640.x y z '''++-= 椭球面 （10分） 六、解：曲面的矩阵
144294142922809
9
5A --????---?
?=??--??-??
， （3分） 不变量2123144142142
36,396,36,4142828I I I ---==
++==---
241442941429436.22809
9
5
I -----=
=-?---
特征方程是32236396360,λλλ-+-+=即2(6)(30216)0,λλλ--+=特征根是1236,12,18.λλλ===简化方程是2226121840.x y z '''++-= （8分）
特征根16λ=的主方向满足方程组
8420,4820,2220X Y Z X Y Z X Y Z --=??
-+-=??--+=?
得到主方向::1:1:2X Y Z =，4(1,1,2)0Φ=对应的主经面是20.x y z ++= （10分）
特征根212λ=的主方向满足方程组
2420,4220,2240X Y Z X Y Z X Y Z --=??
-+-=??---=?
得到主方向::1:1:(1)X Y Z =-，4(1,1,1)0Φ-=对应的主经面是0.x y z +-=
特征根318λ=的主方向满足方程组
4420,4420,22100X Y Z X Y Z X Y Z ---=??
---=??---=?
得到主方向::1:(1):0X Y Z =-，4(1,1,0)18Φ-=对应的主经面是10.x y -+= （13分）
曲面的中心是1
1
(,,0)22
-
，直角坐标变换是
1
2
1
.
2
x x
y y
z z
???
???
?'
??????
??????
'
=+-
??????
'
??????
????
???
???
??
?
（15分）