平行四边形性质定理和判定定理总结
平行四边形性质定理和判定定理
两个平面平行的判定和性质
两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？
八年级数学下册22.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质定理1教案
第二十二章 四边形 22.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的性质定理 1 1．理解平行四边形的概念；(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点) 3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点) 一、情境导入 如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的定义 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝ ∠D ，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC ＝∠ACB ，根据平行线的判定推出AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据平行四边形的定义推出即可． 证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 方法总结：平行四边形的定义既是平行 四边形的性质，也是判断一个四边形是平行 四边形的重要方法． 探究点二：平行四边形的边、角特征 【类型一】 利用平行四边形的性质求 边长 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5， 点D ，E ，F 分别是AC ，BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 为平行四边形，DE ＝2，则AD ＝________． 解析：∵四边形ADEF 为平行四边形，∴DE ＝AF ＝2，AD ＝EF ，AD ∥EF ，∴∠ACB ＝∠FEB .∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ，∴∠FEB ＝∠B ，∴EF ＝BF .∴AD ＝BF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5＋2＝7，∴AD ＝7. 方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【类型二】 利用平行四边形的性质求 角 如图，在平行四边形ABCD 中， CE ⊥AB 于E ，若∠A ＝125°，则∠BCE 的度数为( ) A ．35° B ．55° C ．25° D ．30° 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠A ＝125°，∴∠B ＝55°.∵CE ⊥AB 于E ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE ＝90°－55°＝35°.故选
27.命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解
命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理
平行四边形的3个判定定理
平行四边形的判定 教学目标 知识与技能： 1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。 2、理解平行四边形的判定方法，并学会简单运用。 过程与方法： 1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力；使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题，渗透化归意识。 2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形判定方法的探究，提高学生解决问题的能力。 情感、态度与价值观： 通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。 教学重难点 重点:平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。 难点:对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 教学过程 一、复习、引入新课 复习：问题（多媒体展示问题） 1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2、平行四边形的性质有哪些？（从三个方面：边、角、对角线，两个角度：文字语言、符号语言回答）
引入新课 我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四 边形是平行四边形呢？ 二、新课 活动一： 1、教师明确平行四边形的第一种判定方法——根据定义。 平行四边形判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、学生结合图形，用符号语言表述这一定理。 解：∵AB∥CD，AD∥BC（已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四 边形。） 活动二： 1、探究1：如图，将两长两短的四条线段首尾顺次连接，拼成一个 四边形，使等长的线段成为对边，转动这个四边形，使它形状改变。在图形变化过程中，它一直是一个什么四边形？（如图） 2、猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 教师用几何画板演示，学生观察，进一步猜想。 3、尝试证明：这里采用先由教师提示，然后学生独立思考，学生口 述证明过程。
平行四边形的性质---性质定理1,2
平行四边形的性质（一） --- 性质定理1、性质定理2 教学目标：（1）理解平行四边形的定义； （2）熟练掌握并且能够灵活运用平行四边形的性质定理； 教学重点：平行四边形的定义，性质定理； 教学难点：平行四边形性质定理的运用； 教具准备：三角板 课时安排：1课时 教学过程： 一：学前辅导 学习目标：（1）理解平行四边形的定义； （2）掌握并运用平行四边形的性质定理； 学生参照学习目标自主预习本节内容10到15分钟左右，找出平行四边形的定义以及相关性质定理，对于疑惑问题，做出标记，并且小组讨论解决，仍然解决不了的，等待老师讲解。 二：自主学习 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 1. 任意画一条直线； 2. 在直线m上任取点A,在直线m外任取点B,连接AB; 3. 过点B作直线m的线AB的平行线，交直线m于点D,就得到平行四边形ABCD平行线n,在直线n上任取点C； 4. 过点C作直线AB的平行线，交直线m于点D,就得到平行四边形 ABCD 三：合作探究
性质定理1:平行四边形的对边相等； 性质定理2:平行四边形的对角相等；我们可以用演绎推理证明上面探索得到的结论。已知：如图18.1.4，在平行四边形ABCDK 求证：AB=CD,AD=CB；A=Z C, / ABC2 CDA. 证明：连结BD. ???四边形ABCD是平行四边形， ??? AB// DC,AD/ BC（平行四边形的两组对边分别平行） ???/ ABD M CDB, / ADB M CBD. 又??? BD=DB ???△ABD^A CDB. ??? AB=CD,AD=CB/ A=Z C. 由/ ABD M CBD和/ ADB" CBD得， / ABD" CBD" CDB" ADB, 即/ ABC" CDA. 四：精讲细解 例题1:如图，在平行四边形ABC冲，"A=120度，求其他各个内角的大小。 解：在平行四边形ABCD中, "A=" C, " B=" D（平行四边形的对角相等）. ???" A=40° , 又??? AD// BC,
平行四边形的判定定理培优讲解及练习
平行四边形的判定定理 【要点梳理】 要点一、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释： （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】 类型一、平行四边形的判定 例1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形． 【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形． 【答案与解析】 证明：∵四边形AECF为平行四边形， ∴ AF∥CE． 页1
∵四边形DEBF为平行四边形， ∴ BE∥DF． ∴四边形EGFH为平行四边形． 【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠F， ∵CE=CF， ∴∠F=∠3， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 例2、如图，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证： （1）DE=BF； （2）四边形DEBF是平行四边形． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF． 页2
线面平行的判定定理和性质定理
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1. 掌握空间直线和平面的位置关系； 2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定 掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面 平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3 节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是 这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入：
1 空间两直线的位置关系 （ 1 ）相交；（ 2 ）平行；（ 3）异面 2. 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： a // b,b // c a // c ． 3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线 所成的锐角 (或直角 )相等 . 5. 空间两条异面直线的画法 a b b D 1 C 1 b a a A 1 B 1 D C A B 6. ．异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式： A , B ,l , B l AB 与 l 是异面直线 7. ．异面直线所成的角： 已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点 O a b ′ 作直线 a // a, b // b ， a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关，把 b O a , b 所成的锐角 （或直角） 叫异面直线 a, b 所成的角 （或夹角）．为 了简便，点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围： (0, ] 2 8. ．异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角， 则叫两条异面直线垂直． 两
平行四边形综合性质及经典例题
一对一个性化辅导教案
平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、 课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．
3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积． （一） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗
七年级下册平行线的判定定理习题精选
七年级下册第五章 相交线与平行线的判定定理及应用 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这 种关系的两个角，互为_____________. 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两 边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个 角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关 系只有________与_________两种. 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平 行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________.
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
八年级数学下册第18章平行四边形18.1平行四边形的性质第4课时平行四边形的性质定理的综合课堂练习新
第18章平行四边形 18. 1 平行四边形的性质 第4课时平行四边形的性质定理的综合 1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为______. 2．如图，在平行四边形ABCD中，如果AB＝5，AD＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，那么DF＝____． 3．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF、CE，求证：AF∥CE. 4．[xx·金牛区期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，作CF ⊥BE于点F. (1)求证：BF＝EF； (2)若AB＝6，DE＝3，求ABCD的周长．
5．[xx·厦门期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF∥AE，DF 与BC的延长线交于点F，AE、DC的延长线交于点G，连结FG.若AD＝3，AG＝2，FG＝22，求直线AG与DF之间的距离． 6．[xx·黄冈]如图，在ABCD中，分别以边BC、CD为腰作△BCF、△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连结AF、AE. (1)求证：△ABF≌△EDA； (2)延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证：BF⊥B C.
7．[平定县期末]下面是一个有关特殊平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：已知在ABCD中，∠ABC＝120°，点D又是等边三角形DEF的一个顶点，DE 与AB相交于点M，DF与BC相交于点N(不包括线段的端点)． (1)如图1，若AB＝BC，求证：BD＝BM＋BN； (2)如图2，若BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，求证：∠BDC＝90°. 图1 图2 参考答案 1．105° 2．4 3．
八年级数学下册 平行四边形的判定()教案
18．1.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1) 1．掌握平行四边形的判定定理；(重点) 2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质： 1．两组对边分别平行且相等； 2．两组对角分别相等； 3．两条对角线互相平分． 那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？ 二、合作探究 探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形． 解析：根据题意，利用全等可证明AD ＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF 为平行四边形． 解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF ＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF ＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF ＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决． 探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D的度数； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形． 解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明． (1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D ＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°； (2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB ＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．探究点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形 如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD 第 1 页共3 页
立体几何判定定理与性质定理汇总
文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号语言：α?a ，α?b ，且b a //α//a ?． 图形语言： 定理二（平面与平面平行的判定定理） 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 符号语言：β?a ，β?b ，P b a = ，α//a ，α//b αβ//?． 图形语言： 定理三（直线与平面平行的性质定理） 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 符号语言：α//a ，β?a ，且b =βα b a //?． 图形语言： 证明：因为b =βα ，所以α?b ． 又因为α//a ，所以a 与b 无公共点． 又因为β?a ，β?b ，所以b a //． 定理四（平面与平面平行的性质定理） 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：βα//，a =γα ，b =γβ b a //?． 图形语言： α b a P βα b a a α βa b αγ a b αβ
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ，α?a ，α?b α//c ?． 图形语言： 定理六（平面与平面垂直的判定定理） 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言：α⊥a ，β?a ，αβ⊥?． 图形语言： 定理七（直线与平面垂直的性质定理） 文字语言：垂直于同一平面的两条直线平行． 符号语言：α⊥a ，α⊥b b a //?． 图形语言： 定理八（平面与平面垂直的性质定理） 文字语言：对于两个相互垂直的平面，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面． 符号语言：βα⊥，m =βα ，β?a ，m a ⊥α⊥?a ． 图形语言： c a b αP αβa αb a βa m α
平行四边形及其性质第二课时教案
平行四边形及其性质(2) 学习目标： 知识目标：1．经历探索“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的过程发展探究意识．2．掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质定理 能力目标：提高综合运用知识的能力． 情感态度与价值观：感受数学概念与实际生活的紧密联系． 学习重难点： 重点：运用“平行四边形的对角线互相平分”这一性质解决简单的问题 难点：运用平行四边形的性质定理进行有关计算. 教学过程： 知识回顾 1．平行四边形的定义： 2．性质定理： 【设计意图】 复习上节课学习的性质，并引出本节课的主题 合作探究: 平行四边形的性质定理3 如图：线段AC、BD就是?ABCD的对角线，线段OA与OC、OB与OD长度有何关系 你能证明你的结论吗 已知：?ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∴△AO D≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD. 定理3：平行四边形的对角线互相平分 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA＝OC，OB＝OD． （平行四边形的对角线互相平分） 【设计意图】：
采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现验证了所要学习的内容，并用规范的数学语言将它们表达出来．对平行四边形的性质的归纳是学生对平行四边形特征的再认识，是知识的一次升华，培养了学生的概括能力，突出了教学的重点． 例题讲解： 例2．如图?ABCD的对角线AC与BD交于点O.经过点O作一条直线，分别交AD，BC于点E， F. 求证：OE=OF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC, AD‖BC∴∠1=∠2 ∵∠3=∠4 ∴△OAE≌△OCF（ASA） ∴OE=OF 归纳：学生审题是解题的关键，通过运用平行四边形的性质学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识 当堂检测： 1.如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，(1)若AC=18cm,BD=24cm, 则AO= , BO= , 又若AB=13厘米，则△COD的周长为． （2）若△AOB的周长为30cm, AB=12cm,则对角线AC与BD的和为． 2.已知：如图：ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD 拓展延伸 小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗 课堂小结: 本节课学习了平行四边形的性质定理 3 作业: 课本 P9第4,5题 板书设计: 平行四边形及其性质(2)
《平行线的性质定理》教案
《平行线的性质定理》教案 学习目标 1、理解和总结证明的一般步骤、格式和方法. 2、探索平行线的性质定理的证明，培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 3、结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论. 教学重难点 平行线的性质公理及定理. 教学过程 【温故知新】 (一)、知识链接：(两条直线平行的判定定理) 1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4．下列不能使两直线平行的是( ) A.内错角相等 B.同旁内角互补 C.对顶角相等 D.同位角相等 (二)、导学释疑： 证明：已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠2=∠3. 平行线的性质1定理：两直线平行，同位角相等. 【合作探究】 探究一、已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠1=∠2. 平行线的性质2定理：两直线平行，内错角相等. 探究二、两直线平行，同旁内角互补
(1)根据这一定理的文字叙述，你能作出相关图形吗？ (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ (3)你能说说证明的思路吗？并试着写出证明过程. 平行线的性质3定理：两直线平行，同旁内角互补. 【做一做】 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 【总结提升】 总结规律：根据本节课的学习，你能说说命题证明的一般步骤吗？ (1)根据题意画出图形；(若已给出图形，则可省略) (2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证； (3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程； (4)检查证明过程是否正确完善. 【当堂检测】 完成课本50页随堂练习.
平行四边形的性质及判定(复习课)
平行四边形的性质及判定（复习课） 教学目的： 1、深入了解平行四边形的不稳定性； 2、理解两条平行线间的距离定义（区别于两点间的距离、点到直线的距离） 3、熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形性质定理1、定理2及其推论、定理3和四个平行四边形判定定理，并运用它们进行有关的论证和计算； 4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点，体验“特殊--一般--特殊”的辨证唯物主义观点。 教学重点：平行四边形的性质和判定。 教学难点：性质、判定定理的运用。 教学程序： 一、复习创情导入 平行四边形的性质： 边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。 角：对角相等（定理1）；邻角互补。 平行四边形的判定： 边：两组对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1） 二、授新 1、提出问题：平行四边形有哪些性质：判定平行四边形有哪些方法： 2、自学质疑：自学课本P79-82页，并提出疑难问题。 3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。 4、反馈归纳：根据预习和讨论的效果，进行点拨指导。 5、尝试练习：完成习题，解答疑难。 6、深化创新：平行四边形的性质： 边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。 角：对角相等（定理1）；邻角互补。 平行四边形的判定： 边：两组对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1） 7、推荐作业 1、熟记“归纳整理的内容”； 2、完成《练习卷》； 3、预习：（1）矩形的定义？ （2）矩形的性质定理1、2及其推论的内容是什么？ （3）怎样证明？ （4）例1的解答过程中，运用哪些性质？
5.4平行线的性质定理和判定定理
7.3平行线的判定 【知识沙盘】 【学习目标】 1.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来规范证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”. 2.能用平行线的判定解决一些简单的问题. 【重点】1. 能规范证明平行线的判定定理. 2.平行线判定定理的简单应用. 【难点】用数学语言和符号语言对文字命题的表述. 【学情分析】 经过前面的学习我们发现，我们得打的任何一个结论都要有依据。而我们根据这些“依据”推理、证明，从而得到结论的过程叫做证明。在“同位角相等，两直线平行”的基本事实下，我们将通过演绎推理得到“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直
线平行”，从而得到平行线的判定定理. 【教学过程】 一、导入 你能用折纸的方法折出两条平行线吗？你的依据是什么？通过前面的学习，我们知道了“同位角相等，两直线平行”的基本事实，那我们能利用它证明另外两个判定定理吗？让我们一起来探究吧！ 二、自主学习 阅读并完成学习指导书的知识储备，完成【自主学习】A级和B级. 三、交流研讨 出示答案，自主订正 四、精讲部分 （一）不讲内容： ①知识储备、归类总结 ②A级1,2 （二）略讲内容： ①B级 3 3.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中 o = B70 = ∠.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论. D ∠ = C A110 = ∠ ∠，o
直线平行） （同旁内角互补，两ＢＤ（等式的性质） Ｂ（已知） Ｂ，直线平行） （同旁内角互补，两（等式的性质） （已知） ，理由：ＢＤ解：C A A A DC AB D A D A C A DC A B O O //18070110//18070110////o o o o ∴=∠+∠∴=∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠ （三）精讲内容： ① C 级 4 4.如图，点Ｄ，Ｅ分别在AB 和AC 上，.ABC BE ∠平分 （１）若DEB DBE ∠=∠,求证：BC DE //. （２）若BC DE //，求证：BDE ?为等腰三角形. （３）在(1)的条件下，若O EBC 25=∠，求BDE ∠的度数．
平行四边形的性质及判定(提升版)
第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3
平行四边形定义性质以及判定定理
性质 （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （简述为平行四边形的两组对边分别相等”） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为平行四边形的两组对角分别相等”） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。 （简述为平行四边形的邻角互补”） （4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为平行线间的高距离处处相等”） （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。 （简述为平行四边形的对角线互相平分”） （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论） （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。） （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点. （10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。 （11 ）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，贝U AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A 的n等分点，则AC和DE互相（n+1）等分。 （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。 （13 ）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。 （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。 （15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积 平行四边形的判定方法（共6种） 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5. 所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形； 6. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 辅助线作法 一、连接对角线或平移对角线。 二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。 三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。 四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。 五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的定义、性质： （1）平行四边形对边平行且相等.
平行线的判定定理和性质定理练习题
平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥C F ． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B