高考数学试卷(陕西理)

2007普通高等学校招生全国统一考试（陕西）试卷类型B

理科数学 （必修+选修II ）

注意事项：

1．本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题．

2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名，准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点．

3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（共60分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．在复平面内，复数1

2z i

=

+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．已知全集{12345}U =，，，，，集合A {3|2}x x =∈-

B ．{234}，，

C ．{15}，

D ．{5}

3．抛物线2

y x =的准线方程是（ ） A ．410y +=

B ．410x +=

C ．210y +=

D ．210x +=

4．已知5sin 5

α=，则44

sin cos αα-的值为（ ） A ．15

-

B ．35

-

C ．

15

D ．

35

5．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，214n S =，则4n S 等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16

6．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．

33

4

B ．

33

C ．

34

D ．

312

7．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=（0a >，0b >），以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相

切的圆的半径是（ ） A ．ab

B ．22a b +

C ．a

D ．b

8．若函数()f x 的反函数为1

f x -（），则函数(1)f x -与1

(1)f

x --的图象可能是（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．给出如下三个命题：

①四个非零实数a b c d ，，，依次成等比数列的充要条件是ad bc =； ②设,a b ∈R ，且 0ab ≠，若

1a b <，则1b

a

>； ③若2()log f x x =，则(||)f x 是偶函数． 其中不正确．．．

命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①②

C ．②③

D ．①③

10．已知平面α∥平面β，直线m α?，直线n β?，点A m ∈，点B n ∈，记点A B ，之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则（ ） A ．b c a ≤≤ B ．a c b ≤≤ C ．c a b ≤≤ D ． c b a ≤≤ 11．()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数

a b ，，若a b <，则必有（ ）

A ．()()af b bf a ≤

B ．()()bf a af b ≤

C ．()()af a f b ≤

D ．()()bf b f a ≤

12．设集合0123{}S A A A A =，，，，在S 上定义运算⊕为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，0123i j =，，，，，则满足关系式0()z x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

第二部分（共90分）

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．21211lim 21x x x x x +??-=

?+--?

?→ ． 14．已知实数x y ，满足条件240220330x y x y x y ?-+?

+-??--?

≤≥≤，

，，则2z x y =+的最大值为 ．

x

y

O 1

2 1

2

1

2 1

2

1

2 1

2

1

2 1

2

x

y

O x

y

O x

y

O

15．如图，平面内有三个向量OA

OB OC u u u r u u u r u u u r ，，，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为30°，且1OA OB ==u u u r u u u r ，23OC =u u u r

．若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，，则λμ+的值为 ．

16．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种． （用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，

b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24

?? ???

，

． （Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．

18．（本小题满分12分）

某项选拔共有四轮考核，每轮设有一问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘

汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为432

555

，，，且各轮问题能

否正确回答互不影响．

（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选择中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （注：本小题结果可用分数表示） 19．（本小题满分12分）

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，90AD BC ABC ∠=，∥°，PA ⊥平面

ABCD ．32236PA AD AB BC ====，，，．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角P BD A --的大小．

A O

B C

20．（本小题满分12分）

设函数2()x e f x x ax a

=++，其中a 为实数．

（I ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （II ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间． 21．（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3

2

，求AOB △面积的最大值． 22．（本小题满分12分）

已知各项全不为零的数列{}n a 的前k 项和为k S ，且11

()2

k k k S a a k +=∈N*，其中11a =． （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）对任意给定的正整数(2)n n ≥，数列{}n b 满足

1k k b b +=1

k k n

a +-（121k n =-L ，，，），11

b =，求12n b b b +++L ．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

数 学（理工农医类）参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，

每小题5分，共60分）．

1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ａ 10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｂ

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．

P

C B

A

D

E

13．

1

3

14．8 15．6 16．210 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++g ，

由已知πππ1sin cos 2422f m ???

?=++=

? ?

???

?，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 212sin 24f x x x x ?

?=++=++

??

?

， ∴当πsin 214x ?

?+=- ??

?时，()f x 的最小值为12-，

由πsin 214x ?

?+

=- ?

?

?，得x 值的集合为3ππ8x x k k ??

=-∈????

Z ，． 18．（本小题满分12分）

解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，

，，则14

()5

P A =，23()5P A =

，32()5

P A =， ∴该选手被淘汰的概率

112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++ 142433101

555555125

=+?+??=

． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11

(1)()5

P P A ξ===

， 1212428

(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

， 12124312

(3)()()()5525

P P A A P A P A ξ====?=．

ξ∴的分布列为

ξ 1 2 3

P

15 825 1225

181257

1235252525

E ξ∴=?+?+?=．

解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，

，，则14

()5

P A =，

23()5P A =

，32()5

P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-

432101

1555125

=-??=

． （Ⅱ）同解法一． 19．（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）PA Q ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ．BD PA ∴⊥． 又3tan 3AD ABD AB =

=，tan 3BC

BAC AB

==． 30ABD ∴=o ∠，60BAC =o ∠，90AEB ∴=o ∠，即BD AC ⊥．

又PA AC A =I ．BD ∴⊥平面PAC ．

（Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ．

DE Q ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角．

又9030DAC BAC =-=o

o

∠∠，

sin 1DE AD DAC ∴==，

sin 3AE AB ABE ==，

又43AC =，33EC ∴=，8PC =．

由Rt Rt EFC PAC △∽△得33

2

PA EC EF PC =

=g ． 在Rt EFD △中，23tan 9DE EFD EF =

=，23arctan 9

EFD ∴=∠． ∴二面角A PC D --的大小为23

arctan

9

． 解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，

则(000)A ，

，，(2300)B ，，，(2360)C ，，，(020)D ，，，(004)P ，，， (004)AP ∴=u u u r ，，，(2360)AC =u u u r ，，，(2320)BD =-u u u r ，，，

0BD AP ∴=u u u r u u u r g ，0BD AC =u u u r u u u r

g ．BD AP ∴⊥，BD AC ⊥，

又PA AC A =I ，BD ∴⊥平面PAC ． （Ⅱ）设平面PCD 的法向量为(1)x y =，，n ，

A

E

D

P

C

B y z

x

A

E

D

P C

B

F

则0CD =u u u r g

n ，0PD =u u u r

g n ， 又(2340)CD =--u u u r ，

，，(024)PD =-u u u r

，，， 2340240x y y ?--=?∴?-=??，，解得4332x y ?=-

???=?

，，

43213??

∴=- ? ???

，，n 平面PAC 的法向量取为()

2320BD ==-u u u r

，

，m ， cos

31

>=

=

g m n n m n ． ∴二面角A PC D --的大小为393

arccos

31

． 20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立，2

40a a ∴?=-<，

04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．

（Ⅱ）22

(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤．

由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a <

02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；

当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<， 即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，；

当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，

． 21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意6

33c a a ?=

???=?，，

1b ∴=，∴所求椭圆方程为2

213

x y +=．

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，3AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．

由已知

2

32

1m k =

+，得2

23(1)4m k =+．

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2

2

2

(31)6330k x kmx m +++-=，

122

631

km

x x k -∴+=+，2122

3(1)31m x x k -=+． 2

2

2

21(1)()AB k x x ∴=+-2222

222

3612(1)(1)(31)

31k m m k k k ??

-=+-??++?? 222222222

12(1)(31)3(1)(91)

(31)(31)k k m k k k k ++-++==++

24222121212

33(0)34196123696k k k k k k

=+=+≠+=++?+++≤．

当且仅当2

2

1

9k k

=

，即33k =±时等号成立．当0k =时，3AB =， 综上所述max 2AB =．

∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133

222

S AB =??=．

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当1k =，由11121

2a S a a ==

及11a =，得22a =． 当2k ≥时，由11111

22

k k k k k k k a S S a a a a -+-=-=-，得11()2k k k k a a a a +--=．

因为0k a ≠，所以112k k a a +--=．从而211(1)221m a m m -=+-=-g ． 22(1)22m a m m =+-=g ，*m ∈N ．故*()k a k k =∈N ．

（Ⅱ）因为k a k =，所以

111

k k k b n k n k b a k ++--=-=-+．

所以1121121(1)(2)(1)(1)1(1)21

k k k k k k b b b n k n k n b b b b b k k -----+-+-=

=--L g g L g g g g g g L g g 11(1)(12)k k

n C k n n

-=-=g L ，，，．

故123n b b b b ++++L 12311(1)n n

n n n n C C C C n -??=-+-+-??L {}

012111(1)n n

n

n n n C C C C n n

??=--+-+-=??L g ．

Ｂ卷选择题答案：

1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｂ 5．Ｂ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ