广东省湛江市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

广东省湛江市2021届新高考数学第一次调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）

A ．

22

B ．21-

C ．2

D ．1

【答案】C 【解析】 【分析】

连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，推导出OH ∥RQ ，且OH ＝

12RQ ＝2

2

，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】 如图，

MN 为该直线被球面截在球内的线段 连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，

则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ， ∴OH ∥RQ ，且OH ＝

12RQ ＝2

2

， ∴MH 22OM OH -2

2212??- ? ???

2

2，

∴MN ＝22MH =

故选：C ． 【点睛】

本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

2．已知函数()sin(2)4f x x π

=-的图象向左平移(0)??>个单位后得到函数()sin(2)4

g x x π

=+的图象，则?的最小值为（ ） A ．

4

π

B ．

38

π C ．

2

π D ．

58

π 【答案】A 【解析】 【分析】

首先求得平移后的函数()sin 224g x x π???

=+- ??

?，再根据sin 22sin 244x x ππ????

?+-=+ ? ????

?求?的最小值. 【详解】

根据题意，()f x 的图象向左平移?个单位后，所得图象对应的函数

()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππ???

?=+-=+-=+???

?，

所以22,4

4

k k Z π

π

?π-=+

∈，所以,4k k Z π

?π=+

∈．又0?>，所以?的最小值为4

π

． 故选：A 【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型. 3．函数()1

log 1

a x f x x x +=

+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象. 【详解】

()

()

()

log1 1

log log1

1

log0.

a

a a

a

x x

x

f x x x x

x

x x

?--<-

+?

==--<<

?

+?

>

?

，，

，，

，

故选C．

【点睛】

识图常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

4．已知数列{}n a的前n项和为n S，且()()()

21

2*

111N

()

n n n

S S S n

++

++=+∈，12

1,2

a a

==，则n

S=( )

A．

()1

2

n n+

B．1

2n+C．21

n-D．1

21

n++

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件判断出数列{}1

n

S+是等比数列，求得其通项公式，由此求得

n

S.

【详解】

由于()()()

21

2*

111N

()

n n n

S S S n

++

++=+∈，所以数列{}1

n

S+是等比数列，其首项为

11

112

S a

+=+=，第二项为212

114

S a a

+=++=，所以公比为

4

2

2

=.所以12n

n

S+=，所以21

n

n

S=-.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A ．

4032

2017

B ．

2015

2016

C ．

2016

2017

D ．

2015

1008

【答案】D 【解析】

循环依次为111

1,1,2;3,1,3;6,1,4;336

s t i s t i s t i =====+===+

+=L

直至1111,2016;12123122015t i =+

+++=++++++L L 结束循环，输出11111111

12(1)1212312201522320152016t =++++=-+-++-++++++L L L

12015

2(1)20161008

=-=，选D.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1

a d

=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】

由136,,a a a 成等比数列得2

316a a a =?，即()()2

11125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得

1

4a d

=. 故选：A . 【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 7．已知复数()()2019

311i i z i

--=

（

i 为虚数单位）

，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4

B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限

C ．z 的共轭复数42z i =-

D ．z =【答案】D 【解析】 【分析】

利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】

因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故45043

34i 24i 24i 2

42i i i i

z ?++++=

===-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共 轭复数为42z i =--，C 错误；22(4)225z =-+=，D 正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.

8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A ．3

B ．

3

C ．

33

D ．

23

3

【答案】C 【解析】 【分析】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

其底面面积1

1(11)12

S =??+=，高h =

故体积13V Sh ==

故选：C ． 【点睛】

本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 9．关于函数11

()4sin 4cos 232

3f x x x ππ????=+++ ? ?????，有下述三个结论：

①函数()f x 的一个周期为

2

π； ②函数()f x 在423,ππ??

?

??

?上单调递增；

③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②

C ．②③

D ．③

【答案】C 【解析】 【分析】

①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ??

∈?

???

时，1717,231224x πππ??+∈????，1()212π??=+ ???f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11

()4sin 4cos 232

3f x x x ππ????=+++

? ?????的值域等价于函数

11

()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1

()2

3π??=+ ???g x x 再

求值域. 【详解】 因为

171711

4sin 4cos 4cos 4sin ()22122122122

12f x x x x x f x πππππ??????????+=+++=+++≠ ? ? ? ? ???????????，故

①错误； 当3,42x ππ??

∈?

???时，1717,231224x πππ??+∈????

，所以

111

()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ??????=+-+=+ ? ? ???????

，111,212324πππ??+∈????x 所以()f x 在

423,ππ??

???

?上单调递增，故②正确； 函数11

()4sin 4cos 232

3f x x x ππ????=+++

? ?????的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，

易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈

时，1

()2

3g x x π??=+∈ ???，故③正确.

故选：C. 【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

10．已知点P 在椭圆τ：22

22x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P

关于x 轴的对称点为Q ，设34

PD PQ =u u u r u u u r

，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ

的离心率e=（ ） A ．

12

B

．

2

C

D

【答案】C 【解析】 【分析】

设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ??

-

???

，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.

【详解】

设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ?

?- ??

?，设()22,B x y ，

则22

112

222

2222

11

x y a b x y a b ?+=????+=??，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-， 21212

21212PB

y y x x b k x x a y y -+==-?-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()121112

4PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PB

k k ?=-，即2

241b a -=-，故2234a c =

，故2

e =.

故选：C .

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

11．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,0

31,0a x x a x f x x ++>?=?-≤?

，若()3f a =，则()f a -=（ ）

A ．2

B ．

2

3

C ．23

-

D ．89

-

【答案】C 【解析】 【分析】

根据分段函数的解析式，知当0x ≤时，()1

3

1,x f x +=-且()3f x <，由于()3f a =，则

()log 3a f a a a =+=，即可求出a .

【详解】 由题意知：

当0x ≤时，()1

3

1,x f x +=-且()3f x <

由于()3f a =，则可知：0a >， 则()log 3a f a a a =+=， ∴2a =，则2a -=-， 则()()1

22313

f a f --=-=-=-

. 即()23

f a -=-. 故选：C. 【点睛】

本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ?周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43

-

B ．34

-

C ．

34

D ．

43

【答案】A 【解析】 【分析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】

结合题意，绘制图像

要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以

PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14?? ???，所以斜率为104

1314

k -==-

-，故选A ． 【点睛】

本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 【答案】

5

36

【解析】 【分析】

首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】

根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.

当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排

法唯一），所以方法数有22

426C C ?=种.

当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排

法唯一），所以方法数有225310330C C ?=?=种.

当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边

（排法唯一），所以方法数有226415690C C ?=?=种.

当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右

边（排法唯一），所以方法数有22752110210C C ?=?=种.

当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在

右边（排法唯一），所以方法数有22862815420C C ?=?=种.

当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排

在右边（排法唯一），所以方法数有22973621756C C ?=?=种.

所以该验证码的中间数字是7的概率为2102105

63090210420756151236

==+++++.

故答案为：536

【点睛】

本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

14．已知非零向量,a b r r 的夹角为3

π

，且

1,2b a b =-=r r r a =r

______.

【答案】1 【解析】 【分析】

由已知条件得出2244||||cos ,3a a b a b b -??<>+=r r

r r r r ,可得22||||10a a --=r r ，解之可得答案.

【详解】

向量a b r

r

，的夹角为

3

π,且2||a b -=r r ,||1b =r ,可得:2244||||cos ,3a a b a b b -??<>+=r r

r r r r , 可得22||||10a a --=r r

, 解得||1a =r ，

故答案为:1. 【点睛】

本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.