高中数学选修2-1精品教案 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标

1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点

1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程

1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？

2．建构数学：

如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k

r r r 作为基向量，对于空间任一向量a r ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，

z ），使a xi y j zk =++r r r r ；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a r 的空间直角坐标系O xyz -中的

坐标，记作a r ＝（x ，y ，z ）。

在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA u u u r 是确定的，容

易得到

OA =u u u r xi y j zk ++r r r 。

因此，向量OA u u u r 的坐标为OA =u u u r （x ，y ，z ）。 这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。

设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则

a +

b ＝（112233,,a b a b a b +++），

a －

b ＝（112233,,a b a b a b ---），

λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为

a ∥

b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。

例题分析：

例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。

例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，

9），求证：四边形ABCD 是梯形。

例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。练习：见学案

小结：

作业：见作业纸

y k i A(x,y,z)O j x z 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

课前预习学案

预习目标：1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系；

2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

预习内容：

1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单

位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基

底{,,}i j k r r r ，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r 的方向为正方向建立三条数轴：

x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫 ．我们称建立了一个空间直角坐

标系O xyz -，点O 叫原点，向量 都叫坐标向量． 叫坐

标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；

2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ， ，

使 ，有序实数组 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 ，x 叫 ，y 叫 ，z 叫 ．

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；

2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

重点难点：空间向量的坐标表示

学习过程：

例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。

例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。

。

当堂检测：

1求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点

课后练习与提高：

1．一向量的终点在点B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是4，-4和7，则这向量的终点A 的坐标是（ ）

A、(-2,3,0)

B、(-1,3,5)

C、(3,-1,2)

D、(0,2,-2) 2．点(1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是（）

A、(-2,7,1)

B、(-3,7,0)

C、(1,-7,0)

D、(1,2,5)