中考几何综合题专题练习含答案

平面几何题专项训练

一、方法提点

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可以分为几何计算型综合题和几何论证型综合题，它主要是考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键。 解几何综合题，还应注意以下几点：

(1)注意观察、分析图形，把复杂图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；

(2)掌握常规的证题方法和思路；

(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题（常常借助于解直角三角形和两三角形相似的性质），还要灵活运用其它数学思想方法如数形结合、分类讨论等。

二、强化训练

（一） 达标训练

1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．

（2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．

（1）证明：∵AE ∥BD ，

∴∠E ＝∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠ADC ＝2∠BDC

又∵∠C ＝2∠E

∴∠ADC ＝∠BCD

∴梯形ABCD 是等腰梯形 3分 （2）解：由第（1）问，得∠C ＝2∠E ＝2∠BDC ＝60°，且BC ＝AD ＝5

∵在△BCD 中，∠C ＝60°,∠BDC ＝30° ∴∠DBC ＝90°

∴DC ＝2BC ＝10 7分

2.中，AE 是BC 边上的高，将沿方向平移，使点E 与点C 重合，得．

（1）求证：；

（2）若四边形是菱形，且，BC=9的面积.

证明：（1）∵四边形是平行四边形，

ABCD ABE △BC GFC △BE DG =ABFG 60B ∠=°ABCD ABCD A D

G 图 5

E D C B

A

∵是边上的高，且是由沿方向平移而成． ∴．

∴． ∵，

∴． ∴．

（2）∵四边形ABFG 是菱形， ∴AB=BF ．

∵中，，

∴， ∴=1/2BF ． 又BE=FC

∴BE=1/3BC=3.

在中，AE=tg 30°．BE= ∴S ABCD=BC ．AE=9×=9

3.如图，在直角梯形中，∥，．点是的中点，过点作的垂线交于点，

交的延长线于点．点在线段上，且满足，．

（1）若，求证：； （2）求证：． (2010重庆市中考题，答案见《试题研究》)

4.如图，边长为1的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，

与交于点．

（1）若，证明：；

（2）若，证明：；

（3）若的周长为1，求矩形的面积．

（1）证明1：在与中，

∵，

∴． ∴．

证明2：在中，．

在中， ∵，

AE BC CG AE BC CG AD ⊥90AEB CGD ∠=∠=°AE CG =Rt Rt ABE CDG △≌△BE DG =Rt ABE △60B ∠=°30BAE ∠=°1

2

BE AB =

Rt ABE △333ABCD AD BC 90ABC ∠=?E DC E DC AB P CB M F ME AD CF =MF MA = 120=∠MFC MB AM 2=FCM MPB ∠-

=∠2

1

90 ABCD EF GH 、EF GH P AG AE =AF AH =45FAH ∠=°AG AE FH +=Rt GBF △EPHD Rt ADH △Rt ABF △AD AB DH AG AE BF ====，Rt ADH △≌Rt ABF △AF AH =Rt AEF △222

AF AE EF =+Rt AGH △2

2

2

AH AG GH =+AG AE GH EF ==，A E D

H G P

B

F C

A

D

G C B F E

M P

F

E

D

C B

A

（2）证明1：将绕点顺时针旋转到的位置． 在与中， ∵

，

∴．

∴．

∵，

∴．

证明2：延长至点，使，连结． 在与中， ∵，

∴．

∴． ∵，

∴．

∴． ∴． ∴．

∵， ∴．

（3）设，则，．（） 在中，． ∵的周长为1， ∴．

即．

即． 整理得．（*） 求矩形的面积给出以下两种方法： 方法1：由（*）得．①

∴矩形的面积② 将①代入②得

ADH △A 90°ABM △AMF △AHF △ AM AH AF AF ==，，904545MAF MAH FAH FAH ∠=∠-∠=-==∠°°°AMF AHF △≌△MF HF =MF MB BF HD BF AG AE =+=+=+AG AE FH +=CB M BM DH =AM Rt ABM △Rt ADH △AB AD BM DH ==，Rt Rt ABM ADH △≌△AM AH MAB HAD =∠=∠，45FAH ∠=°904545BAF DAH BAD FAH ∠+∠=∠-∠=-=°°°45MAF MAB BAF HAD BAF FAH ∠=∠+∠=∠+∠==∠°AMF AHF △≌△MF FH =MF MB BF HD BF AG AE =+=+=+AG AE FH +=BF x GB y ==，1FC x =-1AG y =-01

01x y <<<<，Rt GBF △2

2

2

2

2

GF BF BG x y =+=+Rt GBF △221BF BG GF x y x y ++=+++=22

1()x y x y +=-+2

2

2

12()()x y x y x y +=-+++22210xy x y --+=EPHD 21

2(1)

x y x -=

-EPHD (1)(1)S PH

EP FC AG x y ===--··(1)(1)S x y =--E D H

C

F

B M

G A

P （2）图

．

∴矩形的面积是

． 方法2：由（*）得， ∴矩形的面积

∴矩形的面积是．

（二）拓展训练

5．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ． (1)求证：△ABD ≌△ECB ；

(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数．

21(1)12(1)x x x ??

-=--??

-??

1

(1)

2(1)x x -=--12

=EPHD 12

1()2

x y xy +-=

EPHD (1)(1)S PH EP FC AG x y ===--··1()x y xy =-++1

12=-12

=EPHD 12

4.（2008甘肃省兰州市，9分）如图，平行四边形中，，，

．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点． （1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．

（1）证明：当时，，

又

，

四边形为平行四边形．

3分

（2）证明：四边形为平行四边形，

． ．

5分 （3）四边形可以是菱形． 6分

理由：如图，连接，

由（2）知，得， 与互相平分．

当时，四边形为菱形．

7分

ABCD AB AC ⊥1AB =5BC =AC BD ，O AC O BC AD ，E F ，90ABEF AF EC BEDF AC O 90AOF ∠=AB EF ∥AF BE ∥∴ABEF ABCD AO CO FAO ECO AOF COE ∴=∠=∠∠=∠，，AOF COE ∴△≌△AF EC ∴=BEDF BF DE ，AOF COE △≌△OE OF =EF ∴BD ∴EF BD ⊥BEDF A

B

C

D

O F E

A

B

C

D O F E

在中，，

，又，，

8分

，

绕点顺时针旋转时，四边形为菱形． 9分

3.在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结EF 、CE 、BF 、CF ．

（1）判断四边形AECD 的形状（不需证明）；

（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明； （3）若，求四边形BCFE 的面积．

（1）平行四边形；

（2） 或（） 证明：连结DE ．

∵，E 为AB 中点，

∴． 又∵，

∴四边形BCDE 为矩形．

∴．

中，，F 为AD 中点， ∴． ∴为等边三角形．

∴． 而，

得（S ．A ．S ．） （其他情况证明略）

（3）若，则，2 ∵S △ECF ＝

＝

CD ·DE ＝×2×2＝2 ＝

BE ·BC ＝×2×2＝2 Rt ABC △512AC =-=1OA AB ∴==AB AC ⊥45AOB ∴∠=45AOF ∴∠=AC ∴O 45BEDF 2AB CD =2CD =BEF FDC △≌△AFB EBC EFC △≌△≌△2AB CD =DC EB

∥AB BC ⊥90AED ∠=°Rt ABE △60A ∠=°1

2

AE AD AF FD =

==AEF △18060120BEF ∠=-=°°°120FDC ∠=°BEF FDC △≌△2CD =4AD = DE BC ==32

1AECD S 212

1

33CBE S △212

1

33D C B A

F

E

D C

B

A F

E

∴S 四边形BCFE ＝S △ECF +S △EBC ＝2+2＝4．

4.在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 在AD 上，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ，∠GCE ＝45°.

（1）求证：GE ＝BE ＋GD

（2）运用（1）题解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．

（1）证明：在正方形ABCD 中，

∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ．

3分 （2）解：GE ＝BE ＋GD 成立． 4分

理由是：

∵△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ．

∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD 即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，

又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°． ∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ， ∴△ECG ≌△FCG ． ∴GE ＝GF ．

∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ．

8分

（3）解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ． 在直角梯形ABCD 中，

∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°， 又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ， ∴四边形ABCD 为正方形． ∴AG ＝BC ＝12． 已知∠DCE ＝45°， 根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG ． 10分

设DE ＝x ，则DG ＝x －4， ∴AD ＝16－x ．

333BC

AGDF

E 图1

B 图2C

AD

E G

在Rt △AED 中，∵，即．

解这个方程，得：x ＝10． ∴DE ＝10． 12分

2

22AE AD DE +=()2

2

2

816+-=x x