初中数学解题方法大全

数学解题方法

一、选择题：

对于选择题，关键是速度与正确率，所占的时间不能太长，否则会影响后面的解题。提高速度与正确率，方法至关重要。方法用得恰当，事半功倍，希望大家灵活运用。做选择题的主要方法有：直接法、特值法、代入法（或者叫验证法）、排除法、数形结合法、极限法、估值法等。

（一）直接法：

有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的．这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法．这种解法最常用，解答中也要注意结合选项特点灵活做题，注意题目的隐含条件，争取少算．这样既节约了时间，又提高了命中率。

例：方程

9001500

300x x

=-的解为（）

A B C D

解：直接计算，同时除以300，再算的x=750。 （二）特值法：

用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法结合运用，达到少计算的目的，从而提高速度。

例：如图，在直角坐标系中，直线l 对应的函数表达式是（ ）

A. 1-=x y

B.1+=x y

C. 1--=x y

D. 1+-=x y

解：看图得，斜率k>0,排除CD ，再在AB 中选，取特值x=0,则y=-1,结果选A 。

（三）代人法：

通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法．

例3．（2007年安徽）若对任意x ∈R,不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

（A ）<－1（B ）||≤1（C ）||<1（D ）≥1 解：

化为

，显然恒成立，由此排除答案A 、D

化为

，也显然恒成立， 故排除C ，所以选B ；

此解法也可以称之为特值法。 （四）排除法：

从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断。它与特例法（特值法）、图解法等结合使用是解选择题的常用方法。

例：直线b kx y +=经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是( )

A. 32+=x y

B.23

2

+-

=x y C. 23+=x y D. 1-=x y 解：当x=0时，y=2,可以排除AD ，当x=3时，y=0,直接选A 。 （五）数形结合法：

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．

（2007年江西）若0＜x ＜，则下列命题中正确的是（ ） A ．sin x ＜

B ．sin x ＞

C ．sin x ＜

D ．sin x ＞

解：sin x 等三角函数会在九下学。在同一直角坐标系中分别作出

与

的

图象，便可观察选D

（六）极限法：

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程。它是在选择题中避免“小题大做”的有效途径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，计算简便，迅速找到答案．

例：对于任意的锐角，下列不等关系式中正确的是（ ） （A ）（B ） （C ）

（D ）

解：（九年级下学期学）当，时 排除

当

，

时

排除选D.

（七）估值法：

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.

例：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF

，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）（B ）5（C ）6（D ）

解：由已知条件可知，EF ∥平面ABCD ，则F 到平面ABCD 的距离为2，

∴VF－ABCD＝*底面积*高=·32·2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D）.

二、填空题：

填空题不像选择题那样有选择的余地，常用的有直接法、数形结合法、估值法等，我就不一一说，参考选择题。

三、解答题：

解答题常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形（或其一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。其特点是：注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的。

主要的三大题型是：方程的应用、函数型综合题和几何型综合题

（一）方程的应用：

主要为一元二次方程的应用，涉及定义域、值域以及方案的定夺。一元一次方程的应用可能在小题中出现，不过两类方程解题思路是一样的。可以分类为：增长率问题、商品定价问题（或者经济问题）、行程问题、工程问题、面积问题、浓度问题、银行问题，水路问题等。本人认为此类题目主要是套公式，万变不离其宗，就是公式，只不过其量不是直接告诉给大家，而是转一个弯，即间接告诉给大家。每一条语句都会派上用场，最关键的是如何列方程，大家可以总结一下：是不是每道应用题都会有量（单价、数量、速度、时间等）变（或者量不同）的语句，而列方程就是根据这些语句列出来的。在设未知数时，一般会用掉一句有量变的语句，方程就根据另一句有量变的句子。一般问什么设什么。还可以列表，一目了然，方便列方程式，特别当你没有思路时，此方法最有效。

（1）增长率问题：

此类问题主要应用在一元二次方程。其公式为：

公式：原来的量×（1+x）^n = 现在的量(n可能为1、2、3...) 表示的是从“原来”到“现在”（中间间隔n年）的平均增长率，原来的量、现在的量都可以直接或间接告诉给大家。直接的好说，关键是看间接的。

例：恒利商厦①九月份的销售额为200万元，②十月份的销售额下降了20%，③商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

解析：设增长率为x.由①②句话得：十月份的销售额（间接得到）为，200万×（1-20%）=160万，再由③套公式得，160万×（1+x）^2 = 193.6万，最后解出x。若还不明白可以

项目年数增长率增长的部分本月销售额

（单位：万元）

九月份------------ --------------- 200

十月份-20% -200×20% 200+（-200×20%）=160

十一月份x 160×x 160+160×x=160（1+x）

十二月份x 160（1+x）×x 160(1+x)+160(1+x)×x=160(1+x)^2=193.6

（2）商品定价问题

公式：成本=进价×购进数量； 销售额=定价×售出数量 ； 利润=定价-进价 ； 总利润=销售额-成本 利润率100%=

?利润

进价

商品定价问题一般会告诉两次购买的情况，两次购买可能定价不同、可能购进数量不同、可能两次的总利润不同等等。最好将表格列出来，然后按照关系列方程。

例1：某书店老板去批发市场购买某种图书，①第一次购用100元，②按该书定价2.8元现售，并快售完．由于该书畅销，③第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5

元，○

4用去了150元，○5所购数量比第一次多10本．○6当这批书售出5

4

时，出现滞销，○

7便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？

解析：此题有量变得语句有4句（③○5○6○7），但就列方程而言，只有两句有用，即

③（进价不同）○

5（购进数量）两句。现在有两种设法，一种是根据③设，根据○5列方程；一种是根据○

5设，根据③列方程。现列表：

方法1：设第二次批发价为x ，则第一次批发价为（x －0.5）元。按 ○

5的意思：数量2－数量1=a 列方程为 150/x －100/(x-0.5)=10，解得x.再根据○

6○7得： 2.8×150×

54＋2.8×50%×150×（1-5

4

）－150=。。。 方法2大家自己列。

（3）行程问题

公式：路程=时间×速度（s=t*v 或t=s/v 或v=s/t ）

此类问题最好将文字变为图形，然后解之。一般为相遇问题，涉及到至少2个人，大多数情况为2个人。方程式一般形式为：路程1 ＋路程2 ＝路程3；也可能为： 时间1 ＋ a = 时间2；或者为：速度1 + a = 速度2。

例1：①甲、乙两地相距828km ，②一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．③直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．

解析：此题有两句有量不同的句子，即②(速度不同)③(时间不同)两句。现在问什么设什么，设普通快车的速度为x ，由②得直达快车的速度为1.5x 。再由①和公式可得普通快车运行所需的时间为828÷x ，直达快车所需的时间为828÷1.5x ；现根据有量不同的句子列式子：由③得直达快车所需时间比普通快车少6h ，即：t 普－t 快=6，然后将t=s/v 代人，列式子得：828÷x －828÷1.5x=6最后解出x 。此题为一元一次方程的应用。

例2：甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。①甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，②结果乙比甲晚20小时到达厦门。③已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？

解析：此题有两句量变（或量不同）的句子，即②(时间不同)③(速度不同)两句。 设甲客轮的速度为x 小时/海里，则由③得乙速为(x+6)小时/海里。再由①及公式得，甲所需时间为180/x;乙所需时间为720/(x+6)小时。现根据有量不同的句子列式子：由②得， t 乙－t 甲 = 20，然后将t=s/v 代人，列式子得：180/x －720/(x+6) = 20最后解出x 。此题为一元二次方程的应用。

由②得，t 乙－t 甲 = 20，然后将t=s/v 代人，列式子得：180/x －720/(x+6) = 20最后解出x 。

（4）工程问题

公式：工程量 = 时间×效率；花费=工期×每天工费 一般情况下把整个工作量看成1，然后按照公式列方程。

例1：某工程由①甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，②乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，③甲、丙两队合做5天完成全部工程的

3

2

，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

解析：此题为一元一次方程的应用。本题分两步走，按照公式，第一步将每个队的工期算出来，第二步将每个队的每天工费算出来。

例2：为加强防汛工作,①市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固,由于采用新的加固模式,②现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,③因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天.○4为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加多少米?

解析：本题有量变得语句有两句，即②(效率不同)③(时间不同)两句。题目问的是效率，根据②设原计划每天加固x米，则现在计划每天加固（x+20）米，再根据③及公式列方程。算最后结果时特别注意○4的意思。

（5）面积问题

公式：正方形，面积=边长×边长；矩形，面积=长×宽；圆，面积=π×半径^2

例1：一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截

去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.

那么纸盒的高是多少？

解析：知道了底面的长和宽此题就解出来了，注意四个小正方形是相等的。

（6）浓度问题

公式：溶液的总质量=水的质量+溶质的质量

浓度=溶质的质量÷溶液的总质量

项目

次数

水的质量溶质的质量溶液的总质量浓度

原来

第一次

第二次

例1：要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．

解析：设加x千克的盐，列表为：

项目次数水的质量

（千克）

溶质的质量

（千克）

溶液的总质量（千克）浓度

原来40-40×15% 40×15% 40 15% 第一次40-40×15% x 40+x 20% 再根据公式列方程。

（7）银行问题

公式：利息=本金×年利率×年数

项目

次数

本金年利率年数利息第一次

第二次

例：王红梅同学①将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并②将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时③存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样○4到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

解析：设第一次存款时的年利率为x,按题目意思列表：

4

（8）水路问题

公式：逆水，船实际速度=船速-水速；顺水，船实际速度=船速+水速

路程= 船实际速度×时间

此类问题关键就是船的实际速度，再就跟行程问题差不多，不一一列举。

还有其他较为复杂的题目，大家可以根据自己的实际情况量力而行，能做多少是多少。

（二）函数型综合题：

通常是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

初中已知函数有①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。

求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

（三）几何型综合题：

这通常是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式（即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么）和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等；⑥直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y=f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y=f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似等。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现。

全等三角形

1．判定和性质

② 全等三角形面积相等．

对于三角形全等的判定，其解题思路为

??

?

??

???

????

?

?

?????

??

?

??

??????

???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 特别要注意：公共边，对顶角，中垂线。