(完整版)2019中考数学压轴题

2019中考数学压轴题

52．（2017内蒙古赤峰市，第21题，10分）如图，一次函数

3

1 3

y x

=-+

的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．

（1）若点C在反比例函数

k

y

x

=

的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）点P（23，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．

【答案】（1）

3

y

x

=

；（2）P（231）在反比例函数图象上．

【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；

（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．

【解析】（1）在

3

1

3

y x

=-+

中，令y=0可解得3，令x=0可得y=1，∴A30），B（0，1），∴

tan∠BAO=

3

3

OB

OA

==

，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C3，2），∵点C在反比例函数

k

y

x

=

的图象上，∴k=233

3

y

x

=

；

（2）∵P（23m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2333，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有PD AD

OB OA

=

，即

3

13

m

=

m=1，此时P点坐标为（231）；

当△PDA∽△AOB时，则有PD AD OA OB

=

，即

3

1

3

=

，解得m=3，此时P点坐标为（23，3）；

把P（23，3）代入

23

y

x

=

可得3≠

23

23，∴P（23，3）不在反比例函数图象上，把P（23，1）代入反比例函数解析式得1=

23

23，∴P（23，1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（23，1）．

点睛：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

考点：反比例函数综合题；分类讨论；综合题．

53．（2017内蒙古赤峰市，第26题，14分）如图，二次函数

2

y ax bx c

=++（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为22？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

【答案】（1）

223

y x x

=-++，y=﹣x+3；（2）

9

4；（3）Q（﹣1，0）或（4，﹣5）．

【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；

（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

【解析】（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B （3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即

223

y x x

=-++，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；

（2）设P 点横坐标为m （m ＞0），则P （m ，﹣m+3），M （m ，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）

=﹣m2+3m=239()24m --+，∴当m=32时，PM 有最大值94；

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P 点坐标表示出PM 的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．

54．（2017内蒙古通辽市，第26题，12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

22++=bx ax y 过点A （﹣2，0），B （2，2），与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线

22++=bx ax y 的函数表达式； （2）若点D 在抛物线

22++=bx ax y 的对称轴上，求△ACD 的周长的最小值； （3）在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是直角三角形？若存在直接写出点

P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）211242y x x =-++；（2）2225（3）存在，P （1，1）或（1，﹣3）．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；

（2）由轴对称的最短路径得：因为B 与C 关于对称轴对称，所以连接AB 交对称轴于点D ，此时△ACD 的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；

（3）存在，当A 和C 分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P （1，y ），根据三角形相似列比例式可得P 的坐标．

【解析】（1）把点A （﹣2，0），B （2，2）代入抛物线22++=bx ax y 中，得：42204222a b a b -+=??++=?，解得：

1412a b ?=-????=??，∴抛物线函数表达式为：211242y x x =-++；

（2）∵211242y x x =-++=219(1)4

4x --+，∴对称轴是：直线x=1，如图1，过B 作BE ⊥x 轴于E ，∵C （0，2），B （2，2），对称轴是：x=1，∴C 与B 关于x=1对称，∴CD=BD ，连接AB 交对称轴于点D ，

此时△ACD 的周长最小，∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，∴2224+252222+=22∴△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2225

答：△ACD 的周长的最小值是2225

（3）存在，分两种情况：

①当∠ACP=90°时，△ACP 是直角三角形，如图2，过P 作PD ⊥y 轴于D ，设P （1，y ），则△CGP ∽△

AOC ，∴PG CG OC AO =，∴122CG =，∴CG=1，∴OG=2﹣1=1，∴P （1，1）；

②当∠CAP=90°时，△ACP 是直角三角形，如图3，设P （1，y ），则△PEA ∽△AOC ，∴AE PE OC AO =，∴

322PE =，∴PE=3，∴P （1，﹣3）；

综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．

点睛：本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第3问采用了分类讨论的思想，与三角形相似结合，列比例式可解决问题．

考点：二次函数综合题；最值问题；分类讨论；存在型；压轴题．

55．（2017吉林省，第23题，8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD 沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；

（2）四边形ABC'D′的周长为；

（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

【答案】（1）证明见解析；（2）3（3）3或3．

【分析】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；

（2）先判定四边形ABC'D'是菱形，再根据边长33，即可得到四边形ABC'D′的周长为43

（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长．

【解析】（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，∴AD∥B'C'

∴四边形AB'C'D是平行四边形，∵B'为BD中点，∴Rt△ABD中，AB'=1

2BD=DB'，又∵∠ADB=60°，

∴△ADB'是等边三角形，∴AD=AB'，∴四边形AB'C'D是菱形；

（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，∴AB∥C'D'，∴四边形ABC'D'是平行四边形，由（1）可得，AC'⊥B'D，∴四边形ABC'D'是菱形，∵33∴四边形ABC'D′的周长为3

故答案为：3

（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：

∴矩形周长为6+

3或23+3．

点睛：本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

考点：菱形的判定与性质；矩形的性质；图形的剪拼；平移的性质；操作型；分类讨论．56．（2017吉林省，第25题，10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P 从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P 的运动时间为x（s）．

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为 cm（用含x的代数式表示）；

（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；

（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；

（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．

【答案】（1）x；（2）x=4

5；（3）

2

2

2

4

(0)

5

234

208 (1)

25

1

2 2 (12)

2

x x

y x x x

x x x

?

<≤

?

?

?

=-+-<≤

?

?

?

-+<<

?

?；（4）1＜x＜

3

2．

【分析】（1）国际已知条件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ=x；（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；

（3）如图②，当0＜x≤4

5时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图③，当

4

5＜x≤1时，过C作

CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=2，根据正方形和三角形面积公式得到y的解析式；如图④，当1＜x ＜2时，PQ=4﹣2x，根据三角形的面积公式得到结论；

（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，2，得到x的值，于是

得到结论．

【解析】（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，故答案为：x；

（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∴GP=2x，∴2x+x+2x=4，

∴x=4 5；

（3）如图②，当0＜x≤4

5时，y=S

正方形DEFQ=DQ2=x2，∴

2

y x

=；

如图③，当

4

5＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=

1

2AB=2，∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣

1

2FM2，∴y=x2﹣

1

2（5x ﹣4）2，∴

2

23

208

2

y x x

=-+-

；

如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，∴DQ=2﹣x，∴y=S△DEQ=

1

2DQ2，∴y=

1

2（2﹣x）2，∴

2

1

22

2

y x x

=-+

；综上所述：

2

2

2

4

(0)

5

234

208 (1)

25

1

2 2 (12)

2

x x

y x x x

x x x

?

<≤

?

?

?

=-+-<≤

?

?

?

-+<<

?

?

（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，即2x=2，∴x=1，当Q为BC的中点时，BQ=2，PB=1，∴AP=3，∴2x=3，∴x=

3

2，∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜

3

2．

点睛：本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．

考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；分段函数；压轴题．

57．（2017吉林省，第26题，10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2

4

(2)

3

y a x

=--

经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．

【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．

【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m 的取值范围．

【答案】【问题】：

1

3；【操作】：

2

2

14

(2)(04)

33

14

(2)(04)

33

x x x

y

x x

?

--≤≥

??

=?

?--+<<

??

或

；【探究】：当1＜x＜2或x＞7时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤210m≥10

【分析】【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；

【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；

【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；

【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；

分三部分进行讨论：

①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，

2

14

(2)

33

m--

]，根据h≥1，列不等式解出即可；

②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；

③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．

【解析】【问题】

∵抛物线

2

4

(2)

3

y a x

=--

经过原点O，∴

2

4

0(02)

3

a

=--

，a=

1

3，故答案为：

1

3；

【操作】：如图①，抛物线：

2

14

(2)

33

y x

=--

，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x 轴折叠后所得抛物线为：

2

14

(2)

33

y x

=--+

，如图②，图象G对应的函数解析式为：

2214(2)(04)3314(2)(04)33x x x y x x ?--≤

≥??=??--+<

【探究】：如图③，由题意得：

当y=1时，214(2)33x --=0，解得：x1=2+7，x2=2﹣7，∴C （2﹣7，1），F （2+7，1），当y=1

时，214(2)033x --+=，解得：x1=3，x2=1，∴D （1，1），E （3，1），由图象得：图象G 在直线l 上方的部分，当1＜x ＜2或x ＞2+7时，函数y 随x 增大而增大；

【应用】：∵D （1，1），E （3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S △PDE=1

2DE?h≥1，∴h ≥1；

①当P 在C 的左侧或F 的右侧部分时，设P[m ，214(2)33m --]，∴h=214(2)33m --﹣1≥1，（m ﹣2）2

≥10，m ﹣2≥10或m ﹣2≤﹣10，m ≥2+10或m ≤2﹣10；

②如图③，作对称轴交抛物线G 于H ，交直线CD 于M ，交x 轴于N ，∵H （2，43），∴HM=43﹣1=1

3＜1，∴当点P 不可能在DE 的上方；

③∵MN=1，且O （0，0），a （4，0），∴P 与O 或A 重合时，符合条件，∴m=0或m=4；

综上所述，△PDE 的面积不小于1时，m 的取值范围是：m=0或m=4或m ≤2﹣10或m ≥2+10．

点睛：本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、对称性、二次函数的性质、图形和坐标特点、折叠的性质；运用了数形结合的思想和分类讨论的思想，应用部分有难度，根据面积的条件，先求出底边的长和确定高的取值是关键．

考点：二次函数综合题；翻折变换（折叠问题）；分类讨论；阅读型；压轴题．

58．（2017吉林省长春市，第23题，10分）如图①，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P 从点A 出发，沿折线AB ﹣BC 向终点C 运动，在AB 上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每

秒3个单位长度的速度运动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒4

3个单位长度的速度运动，P ，Q 两点同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．设点P 运动的时间为t 秒．

（1）求线段AQ 的长；（用含t 的代数式表示）

（2）连结PQ ，当PQ 与△ABC 的一边平行时，求t 的值；

（3）如图②，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，以PE ，EQ 为邻边作矩形PEQF ，点D 为AC 的中点，连结DF ．设

矩形PEQF 与△ABC 重叠部分图形的面积为S ．

①当点Q 在线段CD 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；

②直接写出DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2时t 的值．

【答案】（1）AQ=8﹣43t （0≤t ≤4）；（2）t=32s 或3s ；（3）①22231624 (0)21634048 (2)3

2203024 (23)3t t t S t t t t t t ?-+≤≤???=-+-<≤???-+-<≤??；②t=35s 或6

5s ．

【分析】（1）利用勾股定理先求出AC ，根据AQ=AC ﹣CQ 即可解决问题；

（2）分两种情形列出方程求解即可；

（3）①分三种情形a 、如图1中，当0≤t ≤32时，重叠部分是四边形PEQF ．b 、如图2中，当3

2＜t ≤2时，重叠部分是四边形PNQE ．C 、如图3中，当2＜t ≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ ．分别求解即可；

②分两种情形a 、如图4中，当DE ：DQ=1：2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2．b 、如图5中，当NE ：PN=1：2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；

【解析】（1）在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴22AB BC -22106- =8，∵CQ=4

3t ，

∴AQ=8﹣4

3t （0≤t ≤4）．

（2）①当PQ ∥BC 时，AP AQ AB AC =，∴485310

8t t -=，∴t=32s ． ②当PQ ∥AB 时，CQ CP CA CB =，∴463(2)386t t --=，∴t=3．

综上所述，t=3

2s 或3s 时，当PQ 与△ABC 的一边平行．

（3）①如图1中，a、当0≤t≤3

2时，重叠部分是四边形PEQF．

S=PE?EQ=3t?（8﹣4t﹣4

3t）=2

1624

t t

-+．

b、如图2中，当3

2＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．

S=S四边形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣1

2?

4

5 [5t﹣

5

4（8﹣

4

3t）]?

3

5[5t﹣

5

4（8﹣

4

3t0]=

2

16

4048

3

t t

-+-

．

C．如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．

S =S四边形PBQF -S△FNM=4

3t?[6﹣3（t﹣2）]﹣

1

2?[

4

3t﹣4（t﹣2）]?

3

4[

4

3 t﹣4（t﹣2）]=

2

2030243t t -

+-．

综上所述：22231624 (0)21634048 (2)3

2203024 (23)3t t t S t t t t t t ?-+≤≤???=-+-<≤???-+-<≤?? ；

②a 、如图4中，当DE ：DQ=1：2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2．

则有（4﹣4t ）：（4﹣43t ）=1：2，解得t=3

5s ；

b 、如图5中，当NE ：PN=1：2时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2．

∴DE ：DQ=NE ：FQ=1：3，∴（4t ﹣4）：（4﹣43t ）=1：3，解得t=6

5s ．

综上所述，当t=35s 或6

5s 时，DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2．

点睛：本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

考点：相似三角形的判定与性质；四边形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；压轴题．

59．（2017吉林省长春市，第24题，12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个

函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为

()

()

10

10

x x

y

x x

-+<

??

=?

-≥

??．

（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；

（2）已知二次函数

2

1

4

2

y x x

=-+-

．

①当点B（m，3

2）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当﹣3≤x≤3时，求函数

2

1

4

2

y x x

=-+-

的相关函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣1

2，1），（

9

2，1}），连结MN．直接写出线段

MN与二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

【答案】（1）1；（2）①m=2

或

或m=2

；②最大值为

43

2，最小值为﹣

1

2；（3）﹣3

＜n≤﹣1或1＜n≤5 4．

【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为

3(0)

3(0)

ax x

y

ax x

-+<

?

=?

-≥

?，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3

求解即可；

（2）二次函数

2

1

4

2

y x x

=-+-

的相关函数为

2

2

1

4(0)

2

1

4(0)

2

x x x

y

x x x

?

-+<

??

=?

?-+-≥

??，①分为m＜0和m≥0两种情况

将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，

2

1

4

2

y x x

=-+-

，然后可此时的最大

值和最小值，当0≤x≤3时，函数

2

1

4

2

y x x

=-+-

，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3

≤x≤3时的最大值和最小值；

（3）首先确定出二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点

时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．

【解析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为

3(0)

3(0)

ax x

y

ax x

-+<

?

=?

-≥

?，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，

解得：a=1．

②当﹣3≤x＜0时，

2

1

4

2

y x x

=-+

，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的

最大值为43 2．

当0≤x≤3时，函数

2

1

4

2

y x x

=-+-

，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣

1

2，当

x=2时，有最大值，最大值y=7 2．

综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数

2

1

4

2

y x x

=-+-

的相关函数的最大值为

43

2，最小值为﹣

1

2；

（3）如图1所示：线段MN与二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数的图象恰有1个公共点．

所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如图2所示：线段MN与二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数的图象恰有3个公共点

∵抛物线

24

y x x n

=-++与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1，∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段

MN与二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数的图象恰有2个公共点．

如图3所示：线段MN与二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线

24

y x x n

=-++经过点（0，1），∴n=1．

如图4所示：线段MN与二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线

24

y x x n

=--经过点M（﹣

1

2，1），∴

1

4+2﹣n=1，解得：n=

5

4，∴1＜n≤

5

4时，线段MN与

二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数的图象恰有2个公共点．

综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤5 4．

点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图

象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数

24

y x x n

=-++的相关函数与线段MN恰好有1个交

点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．

考点：二次函数综合题；新定义；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．

60．（2017四川省内江市，第28题，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

2y ax bx c =++（a ≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；

（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）233384y x x =-++；（2）S=29910

5t t -+，运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；（3）t=2417或t=30

19．

【分析】（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 、c 的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案．

【解析】（1）∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，∴A （﹣2，0），把点A （﹣2，0）、

B （4，0）、点

C （0，3），分别代入2y ax bx c =++（a ≠0），得：423016430a b a b -+=??++=?，解得：38343a b c ?=-???=??=???，所以该抛物线的解析式为：233384y x x =-++；

（2）设运动时间为t 秒，则AM=3t ，BN=t ，∴MB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，3）．在Rt △

BOC 中，22

34+．如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN BN OC BC =，即3

5HN t =，∴HN=35t ，∴S △MBN=12MB?HN=12（6﹣3t ）?35t ，即S=299105t t -+ =299(1)1010t --+，当

△PBQ 存在时，0＜t ＜2，∴当t=1时，S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）如图2，在Rt △OBC 中，cos ∠B=

45OB BC =． 设运动时间为t 秒，则AM=3t ，BN=t ，∴MB=6﹣3t ．

①当∠MNB=90°时，cos ∠B=45BN MB =，即4635t t =-，化简，得17t=24，解得t=2417；

②当∠BMN=90°时，cos ∠B=6345t t

-=，化简，得19t=30，解得t=3019． 综上所述：t=2417或t=30

19时，△MBN 为直角三角形．

点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．

61．（2017四川省南充市，第25题，10分）如图1，已知二次函数

2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象过点O （0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为38

-

，直线l 的解析式为y=x ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；

（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．

【答案】（1）

2

28

33

y x x

=-

；（2）y=x﹣3；（3）P坐标为（0，﹣3

）或（

32333

2

+-

，

32333

2

--

）或（

32333

2

++

，

32333

2

-+

）．

【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，3

8

-

），设抛物线的解析式为

2

(2)

3

y a x

8

=--

，把（0，0）代入得到a=

2

3，即可解决问题；

（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，

2

28

33

m m

-

），B（

2

211

33

m m

-+

，0），由E、B关于对称轴对称，可得

2

211

()

33

2

m m m

+-+

=2，由此即可解决问题；

（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；

【解析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，3

8

-

），设抛物线的解析式为

2

(2)

3

y a x

8

=--

，把（0，0）代入得到a=

2

3，∴抛物线的解析式为

2

2

(2)

33

y x

8

=--

，即

2

28

33

y x x

=-

．

（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，

2

28

33

m m

-

），B（

2

211

33

m m

-+

，0），

∵E′在抛物线上，∴E、B关于对称轴对称，∴

2

211

()

33

2

m m m

+-+

=2，解得m=1或6（舍弃），

∴B（3，

0），C（1，﹣2），∴直线l′的解析式为y=x﹣3．

（3）如图2中，①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．

②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），则有

222

3232

()(3)(32)

22

m m

-+--=

，解得m=

32333

+-

或

32333

++

，∴P2（

32333

+-

，

32333

--

），P3（

32333

++

，

32333

-+

）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（

32333

2

+-

，

32333

2

--

）或（

32333

2

++

，32333

2

-+

）．

点睛：本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．

考点：二次函数综合题；几何变换综合题；分类讨论；压轴题．

62．（2017四川省宜宾市，第24题，12分）如图，抛物线

2

y x bx c

=-++与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）245y x x =-++；（2）m 的值为7或9；（3）Q 点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或

（4，5）．

【分析】（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

（2）由题意可求得C 点坐标，设平移后的点C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m 的值；

（3）由（2）可求得E 点坐标，连接BE 交对称轴于点M ，过E 作EF ⊥x 轴于点F ，当BE 为平行四边形的边时，过Q 作对称轴的垂线，垂足为N ，则可证得△PQN ≌△EFB ，可求得QN ，即可求得Q 到对称轴的距离，则可求得Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q 点坐标；当BE 为对角线时，由B 、E 的坐标可求得线段BE 的中点坐标，设Q （x ，y ），由P 点的横坐标则可求得Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q 点的坐标．

【解析】

（1）∵抛物线2y x bx c =-++与x 轴分别交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，∴102550b c b c --+=??-++=?，解

得：45b c =??=?，∴抛物线解析式为

245y x x =-++； （2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C （﹣6，8），设平移后的点C 的对应点为C′，则C′

点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=245x x -++，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）

或（3，8），∵C （﹣6，8），∴当点C 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m 的值为7或9；

（3）∵245y x x =-++=2(2)9x --+ ，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P （2，t ），由（2）可知E 点

坐标为（1，8），分两种情况讨论：

①当BE 为平行四边形的边时，连接BE 交对称轴于点M ，过E 作EF ⊥x 轴于点F ，当BE 为平行四边形的边时，过Q 作对称轴的垂线，垂足为N ，如图，则∠BEF=∠BMP=∠QPN ，在△PQN 和△EFB 中，∵∠QPN=∠BEF ，∠PNQ=∠EFB ，PQ=BE ，∴△PQN ≌△EFB （AAS ），∴NQ=BF=OB ﹣OF=5﹣1=4，设Q （x ，y ），则QN=|x ﹣2|，∴|x ﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，∴Q 点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；