【必考题】初三数学上期中试卷(附答案)

【必考题】初三数学上期中试卷(附答案)

一、选择题

1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）． A ．10x =，24x =

B ．11x =，25x =

C ．11x =，25x =-

D ．11x =-，25x =

2．﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3

B ．3

C ．-

13

D ．

13

3．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )

A ．68°

B ．20°

C ．28°

D ．22°

4．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ） A ．

1

6

B ．

29

C ．

13

D ．

23

5．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）

A ．y 1＜y 2

B ．y 1＞y 2

C ．y 的最小值是﹣3

D ．y 的最小值是﹣4

6．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )

A ．①③

B ．②③

C ．②④

D ．②③④

7．已知()

2

22

226x y y x +-=+，则2

2x

y +的值是（ ）

A ．－2

B ．3

C ．－2或3

D ．－2且3

8．已知关于x 的方程()2

1

1230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ）

A ．1

B ．-1

C ．±1

D ．2

9．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于

（ ） A ．1

B ．1或4

C ．4

D ．0

10．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．任意数的绝对值都是正数

B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等

C ．如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a

D ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上

11．求二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；

②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()2

1a b am bm m ->+≠-；⑤1

3

a >

；其中，正确的结论有（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）

A ．30o

B ．35o

C ．25o

D ．60o

二、填空题

13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．

14．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.

15．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．

16．已知点C 在以AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB ＝10，BC ：AC ＝3：4，阴影部分的面积为_____．

17．二次函数2

y ax bx c =++的部分对应值如下表：

利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是____________ 18．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分

,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同

一个组的概率是_______．

19．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．

20．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．

三、解答题

21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.购买件数销售价格

不超过30件单价40元

超过30件每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元

23．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．（1）小丽选到物理的概率为；

（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．

24．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．

（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若tan∠P=3

4

，AD=6，求线段AE的长．

25．已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=. （1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；

（2）若抛物线()2

313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试

确定此抛物线的解析式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】

∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，

则?

2b a =?2b

=2， 解得：b=?4，

∴x 2+bx=5即为x 2?4x?5=0， 则(x?5)(x+1)=0， 解得：x 1=5，x 2=?1. 故选D. 【点睛】

本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案. 【详解】

根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B ． 【点睛】

本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

3．D

解析：D

试题解析：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，

∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，

∵∠2=∠1=112°，

而∠ABD=∠D′=90°，

∴∠3=180°-∠2=68°，

∴∠BAB′=90°-68°=22°，

即∠α=22°．

故选D．

4．C

解析：C

【解析】

解：画树状图如下：

一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，

∴P（一红一黄）=2

6

=

1

3

．故选C．

5．D

解析：D

【解析】

试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误；选项D，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.

考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．

6．D

解析：D

【分析】 【详解】

试题分析：①∵二次函数图象的开口向下， ∴a ＜0，

∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，

∴﹣

2b

a ＞0， ∴

b ＞0，

∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0，

∴abc ＜0，故①错误；

②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0）， ∴a ﹣b+c=0，故②正确； ③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．

由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2（a+c ）+c ＜0，

∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确； ④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．

由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2b+b ﹣a ＜0，

∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确． 故选D ．

考点：二次函数图象与系数的关系．

7．B

解析：B 【解析】

试题分析：根据题意，先移项得()

2

22

2260x y y x +---=，即

(

)

2

22

2260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得

2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.

故选B.

点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构

造出简单的一元二次方程求解即可.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可． 【详解】

∵关于x 的方程()2

1

1230m m x x +-+-=是一元二次方程，

∴m 2+1=2且m-1≠0， 解得：m=-1， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

先把x ＝0代入方程求出m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值． 【详解】

解：把x ＝0代入方程得m2?5m ＋4＝0，解得m ?＝4，m ?＝1， 而a?1≠0， 所以m ＝4． 故选C ． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】

A. 任意数的绝对值都是正数是随机事件，错误；

B. 两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，错误；

C. 如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a 是必然事件，正确;

D. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上是随机事件，错误； 故选D.

【点睛】

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b

x a

=-

=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，

y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，

∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b

x a =-

=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13

a c >-,然后利用1c <-得到13

a >-. 【详解】

∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12b

x a

=-

=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；

∵抛物线2

y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为

1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称

轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；

∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；

∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2

y ax bx c =++得：2

y am bm c =++，

∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误；

∵对称轴为直线12b

x a

=-

=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13

a c >-,

根据图象得1c <-，∴1

3

a >-

，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，

y a b c =-+.

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】

连OA ，OB ，如图，

∵OA=OB=AB ， ∴△OAB 为等边三角形， 60AOB ∴∠=o ， 又1

2

C AOB ∠=

∠Q ，

16030.2

C ∴∠=?=o o

故选：A ． 【点睛】

本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．

二、填空题

13．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r 则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案

为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识

解析：10 【解析】 【分析】

由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算． 【详解】

设圆锥底面圆的半径为r ，

则2πr=

12030

180

π?， 解得：r=10，

所以圆锥的底面半径为10． 故答案为：10． 【点睛】

考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．

14．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=

解析：②③④ 【解析】 【分析】

由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-

2b

a

=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根． 【详解】

∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac>0，所以①错误； ∵顶点为D(?1,2)，

∴抛物线的对称轴为直线x=?1，

∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(?3,0)和(?2,0)之间， ∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间， ∴当x=1时，y<0， ∴a+b+c<0，所以②正确 ∵抛物线的顶点为D(?1,2)， ∴a?b+c=2，

∵抛物线的对称轴为直线x=?2b

a

=?1， ∴b=2a ，

∴a?2a+c=2，即c?a=2，所以③正确； ∵当x=?1时，二次函数有最大值为2， 即只有x=?1时, ax 2+bx+c=2，

∴方程ax 2+b x+c?2=0有两个相等的实数根，所以④正确 【点睛】

此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义.

15．【解析】【分析】设BD ＝x 则EC ＝3xAE ＝6﹣3x 根据S △DEB ＝·BD·AE 得到关于S 与x 的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD ＝x 则EC ＝3xAE ＝6﹣3x ∵∠A ＝90° 解析：

3

2

【解析】 【分析】

设BD ＝x ，则EC ＝3x ，AE ＝6﹣3x ，根据S △DEB ＝1

2

·BD ·AE 得到关于S 与x 的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可. 【详解】

解：设BD ＝x ，则EC ＝3x ，AE ＝6﹣3x ， ∵∠A ＝90°， ∴EA ⊥BD ， ∴S △DEB ＝

12?x （6﹣3x ）＝﹣32x 2+3x=﹣32（x ﹣1）2+32

， ∴当x ＝1时，S 最大值＝3

2

. 故答案为：32

． 【点睛】

本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.

16．π﹣24【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积根据AB ＝10BC ：AC ＝3：4可以求得ACBC 的长再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算【详解】∵AB 为直径

解析：

25

2

π﹣24 【解析】 【分析】

要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据AB ＝10，BC ：AC ＝3：4，可以求得AC ，BC 的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算． 【详解】 ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵BC ：AC ＝3：4， ∴sin ∠BAC ＝

3

5

， 又∵sin ∠BAC ＝BC

AB

，AB ＝10， ∴BC ＝35

×10＝6， AC ＝

43×BC ＝43

×6＝8， ∴S 阴影＝S 半圆﹣S △ABC ＝12×π×52﹣12

×8×6＝25

2π﹣24．

故答案为：25

2

π﹣24． 【点睛】

本题考查求阴影部分的面积，解题关键在于能找到阴影部分的面积与半圆的面积、直角三角形的面积，三者的关系.

17．x ＜-1或x ＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可【详解】由题意得二次函数的对称轴为故当时y 随x 的增大而增大当时y 随x 的增大而减小∵∴当函数值y ＞0时x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3故答案为

解析：x ＜-1或x ＞3 【解析】 【分析】

根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】

由题意得，二次函数的对称轴为1x =

故当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小， ∵()()1,0,3,0-

∴当函数值y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3 故答案为：x ＜-1或x ＞3． 【点睛】

本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的增减性是解题的关键．

18．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人

恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概

解析：1 4

【解析】

【分析】

根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】

如下图所示，

小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，

∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是

41 164

，

故答案为：1

4

．

【点睛】

本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答

19．；【解析】【分析】先求出小琳所在班级的女生人数再根据概率公式计算可得【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60=24人∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加小琳被抽到的概率是故答案为

解析：1 24

；

【解析】

【分析】

先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．【详解】

∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，

∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是1 24

．

故答案为1 24

．

20．【解析】【分析】连接OAOB根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得∠AOB＝90°又OA＝OBAB＝4根据勾股定理得圆的半径是2【详解】解：连接OAOB∵∠C＝45°∴∠AOB＝90°又∵

解析：2

2． 【解析】 【分析】

连接OA ，OB ，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠AOB ＝90°，又OA ＝OB ，AB ＝4，根据勾股定理，得圆的半径是22． 【详解】 解：连接OA ，OB

∵∠C ＝45° ∴∠AOB ＝90° 又∵OA ＝OB ，AB ＝4 ∴2224OA OB += ∴OA ＝22． 【点睛】

本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理根据圆周角定理得出∠AOB ＝90°是解题的关键.

三、解答题

21．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π. 【解析】

【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形即可；

（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可； 【详解】（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示； （2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示； （3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形 =

2

2

22

22

90?·13

90?·11

360

360

ππ++-

=2π．

【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

22．王老师购买该奖品的件数为40件．

【解析】

试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．

试题解析：∵30×40=1200＜1400，

∴奖品数超过了30件，

设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：

x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，

解得：x1=40，x2=70，

∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，

∴x=70不合题意舍去，

答：王老师购买该奖品的件数为40件．

考点：一元二次方程的应用．

23．（1）1

2

；（2）

1

6

【解析】

【分析】

（1）由题意可知小丽只有两种可选择：物理或历史，即可求解；

（2）从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】

（1）因为小丽只有两种可选择：物理或历史，所以小丽选到物理的概率为1 2

（2）设思想政治为 A，地理为 B，化学为 C，生物为 D，画出树状图如下：

共有 12 种等可能情况，选中化学、生物的有2 种，

∴P（选中化学、生物）=

2

12

=

1

6

.

【点睛】

本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．

24．（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2

【解析】

试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．

（2）由OC∥AD，推出OC OP

AD AP

=，即

10

610

r r

-

=，解得r=15

4

，由BE∥PD，AE=AB?sin

∠ABE=AB?sin∠P，由此计算即可．

试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：

连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．

（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=3

4

，∴PD=8，AP=10，设半

径为r．∵OC∥AD，∴OC OP

AD AP

=，即

10

610

r r

-

=，解得r=15

4

．∵AB是直径，∴∠

AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB?sin∠ABE=AB?sin∠P=15

2

×

3

5

=

9

2

．

点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25．（1）证明见解析；（2）y=x2+4x+3．

【解析】

【分析】

（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；

（2）令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值.

【详解】

解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3．当m≠0时，原方程为一元二次方程．

∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0．

∴此时方程有两个实数根．

综上，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根．（2）∵令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0

解得x1=-3，x2=-1

m

．

∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1．

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．

考点：二次函数综合题．