最新空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院 第八章空间解析几何测试题

一、填空题（共7题，2分/空，共20分）

1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___

___. 2.已知向量(1,1,1)a →

=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→

→→??c b a )(=__(-2,-1,0)____.

3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是

4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.

5.曲线C:220

1

x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,

对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.

6.曲线C:220

x y

z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线

C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.

7.椭球面125

492

22=++z y x 的体积是_____ ____________.

二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）

1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里

,,a b c 是3个非零实数.

解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-，

13(0,,)M M b c =-

于是1M ，12M M ，13M M 所确定的平面方程是000x a

y b z a

c b

c

---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .

2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=??+=?,:2l 0

10x y z -=??-=?

.

(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是

1

110

x y z +==

-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是

2

110

x y z -==

，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是

1212003

(,,)1106110M M v v =-=0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

(2) 由于12(0,0,2)v v ?=，122v v ?=

1l 和2l 间的距离121212

(,,)

6

32

M M v v d v v =

=

=? (3)公垂线方程是1110000

221100002x y z x y z ?+?

-=????-??=?

??，即

0x y x y +=??

-=?

。

3.求曲线221x y

z ?=?=?

绕x 轴旋转产生的曲面方面.

解：设1111(,,)M x y z 是母线221

x y

z ?=?=?上任意一点,则过1111(,,)M x y z 的纬圆方程是

222222

11110x y z x y z x x ?++=++?

-=?

，（1） 又211

121

x y z ?=?=? ，（2） 由（1）（2）消去111,,x y z 得到2222220x y z --+=.

4.已知单叶双曲面222

14925

x y z +-=,)0,0,2(P 为腰椭圆上的点, (1)求经过点P 两条直母线方程及其夹角;

(2)求这两条直母线所在的平面π的方程及平面π与腰椭圆所在平面的夹角.

解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是()(1)253

()(1)253x z

y w u x z y u w ?+=+????-=-??与

()(1)253

()(1)25

3x z

y t v x z y v t ?+=-???

?-=+?? 把点)0,0,2(P 分别代入上面两方程组，求得,w u t v ==代入直母线方程，

得到过点)0,0,2(P 的两条直母线12531253x z y x z y ?+=+????-=-??与1253

125

3x z

y x z y ?+=-????-=+??，即

15106300

15106300x y z x y z -+-=??

+--=?

与 15106300

15106300

x y z x y z ++-=??

---=? 两直母线的方向向量可分别取1(0,3,5)v =和2(0,3,5)v =-，设两直母线的夹角是θ，则有12128cos 17v v v v θ?-=

=，8

arccos 17

θπ=-.

（2）两直母线所在平面π的方程是

2

03

50035

x y z

-=-，即2x = 显然平面π与腰椭圆所在的平面的夹角是0.

四、证明题(共2题,第一题10分,第二题15分,共25分)

1.求证:曲线23

222

()(

,,)111t t t r t t t t t t t →

=++++++在一个球面上,这里的(,)t ∈-∞∞.

证明:设()(,,)r t x y z =，则有222x y z y ++=，即22211

()24x y z +-+=

所以曲线23222()(,,)111t t t r t t t t t t t →

=++++++在球心为1(0,,0)

2,半径为1

2

的球面上。

2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:

(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.

证明: (1) 双曲抛物面的u 族直母线中任一条直母线都平行于平面0=+b

y

a x , v 族直母线中任一条直母线都平行于平面0=-b

y

a x ,

因而结论成立.---------5分

(2)不妨取u 族直母线来证明，任取u 族直母线中两条直母线

1l ：?????=-=+z b y a x u u b y a x )(211①和 2l ：?????=-=+z b y a x u u b y

a x )(222

②

其中21u u ≠.由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程

表示的平面,即1l 和2l 在两个平行平面上,因而1l 和2l 不会相交.

又由于直线1l 的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(1111ab

u

a b b u a u b a v --=--?=

直线2l 的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(2222ab

u

a b b u a u b a v --=--?=

由于21u u ≠,因此1l 和2l 不会平行,从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.