(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥??=-t t Ae t f t α,其中,A 和a 为常数。 2、阶跃函数 000)(>??=t t A t f ,其中,A 为常数。 3、单位阶跃函数 4、斜坡函数 000)(≥??=t t At t f ,其中,A 为常数。 A =1时的斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r (t-t 0) 5、单位斜坡函数 6、正弦函数 00sin 0)(≥??=t t t A t f ω,其中A 为常数。 根据欧拉公式: 拉式变换为: 同理余弦函数的拉式变换为:2 2]cos [ωω+= s As t A L 7、脉动函数 t t t t t t A t f <<<????=000,000)(,其中,A 和t 0为常数。 脉动函数可以看做是一个从t =0开始的高度为A /t 0的阶跃函数,与另一个从t =t 0开始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。 8、脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。 9、单位脉冲函数 当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数, 量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设,而不可能在物理系统中发生。但是,如果系统的脉动输入量值很大,而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。 当描述脉冲输入时,脉冲的面积大小是非常重要的,而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。 单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数u (t-t 0)在间断点t=t 0上的导数,即
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? (2) 定义域
若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换公式总结Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? (2) 定义域 若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质
(1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+?式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移 若[()]()f t F s ζ=,则[()]()at f t e F s a ζ-=+ (6) 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=,则1[()]()s f at F a a ζ= (a >0) (7) 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == (8) 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = (9) 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=,22[()]()f t F s ζ=,则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞ -? 3. 拉普拉斯逆变换 (1) 部分分式展开法
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? (2) 定义域
若0 σσ>时,lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在,即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时,则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 (3) 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=,则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移 若[()]()f t F s ζ=,则[()]() at f t e F s a ζ-=+ (6) 尺度变换
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
3.用查表法进行拉氏反变换 420
421 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020
§13拉普拉斯变换 重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点: 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系: 是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延续。 预习知识: 积分变换 §13-1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数,被称为复频率;F(s)为f(t)的象函数,f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 式中c为正的有限常数。 注意: 1)定义中拉氏变换的积分从t=0-开始,即: 它计及t=0-至0+,f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方便。 2)象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s),U(s),原函数f(t)用小写字母表示,如 i(t),u(t)。 3)象函数F(s)存在的条件: 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数
最全拉氏变换计算公式
1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L )( 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理(或称t 域平移定理) )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理(或称s 域平移定理) )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
拉氏变换常用公式
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
Laplace拉氏变换公式表
附录A拉普拉斯变换及反变换
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换公式
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换
§13 拉普拉斯变换 重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点: 1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系: 是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延续。 预习知识: 积分变换 §13-1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解 时域微分方程较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ,它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为 式中s=σ+jω为复数,被称为复频率;F(s)为f(t)的象函数,f(t)为F(s)的原函数。 由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意: 1)定义中拉氏变换的积分从t=0- 开始,即: 它计及t=0- 至0+ ,f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方 便。 2)象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s),U(s) ,原函数f(t) 用小写字母表示,如i(t),u(t)。 3)象函数F(s) 存在的条件: 3.典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的象函数
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换公式总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ?
(2) 定义域 若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞=则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
1拉氏变换的定义 若时间函数 f (t ) 在 t > 0 有定义,则 f (t ) 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)为 ? ∞ -?= =0 )()()]([dt e t f s F t f L ts ???)()(t f s F 2拉普拉斯反变换 s s F t f st d e )(j 21 )( j j ?∞ +∞ -=σσ π ,可表示为:f (t ) =L -1[F (s )] 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1)1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L )( 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理(或称t 域平移定理) )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理(或称s 域平移定理) )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 像 原像
拉氏变换表(包含计算公式)
1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑ 1 1 ) 1() 1(1 2 2 2 ) ()() 0()() (0)0()(]) ([) 0()(])([k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ) ( 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑ ???????????==+-===+=+ + = + = n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 1 1 2 2 2 2 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L )(]))(([=??个 共 4 延迟定理(或称t 域平移定理) )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理(或称s 域平移定理) )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式 1
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3 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ 式中,n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计 算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ 或 i s s i s A s B c ='= )() ( 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式 1
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3 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ 式中,n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计 算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ 或 i s s i s A s B c ='= )() ( 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换公式总结 The following text is amended on 12 November 2020.
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ?
(2) 定义域 若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞=则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移
常用拉普拉斯变换及反变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =????L L (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110?,m m b b b b ,,,110?L 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=?=?++?++?+?=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(L L (F-1) 式中,n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i ?=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c =′= )() ( (F-3) 式中,)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []???????==∑=??n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c ?=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ???= +L = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c ?++?++?+?++?+?++??L L L 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- == ? # 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? (2) 定义域 若0σσ>时,lim () 0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分 0()st f t dt e +∞ -- ? 存在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换 的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 ^ 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时,则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑