浙江高考数学试卷完整解答

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）e= A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}

2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A.m ∥l B.m ∥n

C.n ⊥l

D.m ⊥n

3.函数y =sin x 2的图象是

4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥??

--≤??-+≥?

夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是

A.

35

5

B.2

C.

32

2

D.5

5.已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则 A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<

D. (1)()0b b a -->

6.已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x

f x x ≥∈R . A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2b

f a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b f a ≥，则a b ≥ 8.如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且

*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ， *1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N

.

(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)

若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则

A.{}n S 是等差数列

B.{}2n S 是等差数列

C.{}n d 是等差数列

D.{}

2

n d 是等差数列

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.

10.已知a ∈R ，方程222

(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.

12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2

，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．

13．设双曲线x 2

–23

y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则

|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．

14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．

15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =2

3

，求cos C 的值．

17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*

N n ∈. （I ）求通项公式n a ；

（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.

18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.

（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；

（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.

19.（本题满分15分）如图，设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；

（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.

20.（本题满分15分）设函数()f x =3

1

1x x

+

+，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）34<()f x 32

≤.

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（文科）

一、选择题

1.【答案】C

2. 【答案】C

3. 【答案】D

4.【答案】B

5. 【答案】D

6. 【答案】A

7. 【答案】B

8. 【答案】A

二、填空题

9. 【答案】80 ；40． 10.【答案】(2,4)--；5． 11. 【答案】2；1． 12．【答案】－2；1． 13．【答案】(27,8)．

14．【答案】

69

15．【答案】

7

三、解答题

16．

【答案】（1）证明详见解析；（2）22

cos 27

C =. 【解析】

试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力． 试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，

故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，

又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此，A π=（舍去）或2A B =，

所以，2A B =. （2）由2cos 3B =

，得5sin 3

B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-

，45sin 9

A =， 22

cos cos()cos cos sin sin 27

C A B A B A B =-+=-+=

. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理. 【结束】 17.

【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*

2,13511,2,2

n n n T n n n n N =?

?

=?--+≥∈?

?.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力． 试题解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=??

=+?，则1213

a a =??=?，

又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=，

所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）设1|32|n n b n -=--，*

n N ∈，122,1b b ==. 当3n ≥时，由于1

3

2n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.

设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.

当3n ≥时，229(13)(7)(2)3511

31322

n n n n n n n T --+---+=+-=-，

所以，2*

2,13511,2,2

n n n T n n n n N =?

?

=?--+≥∈?

?. 考点：等差、等比数列的基础知识.

【结束】 18.

【答案】（1）证明详见解析；（2）217

. 【解析】

试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．

试题解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，

因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以 AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，

又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以 BCK ?为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥， 所以BF ⊥平面ACFD .

（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角， 在Rt BFD ?中，33,2BF DF ==

，得21cos 7

BDF ∠=， 所以直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为

21

7

.

考点：空间点、线、面位置关系、线面角. 【结束】 19.

【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞ . 【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.

试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得

12

p

=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()

2

,2,0,1A t t t t ≠≠±.

因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241

y x

x sy ?=?=+?消去x 得

2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B t

t ??

- ???.

又直线AB 的斜率为212t

t -，故直线FN 的斜率为21

2t t

--，

从而的直线FN:()2112t y x t

-=--，直线BN:2

y t =-，

所以2232,1t N t t ??

+- ?-??

，

设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：2

222

2

223

1

t t t t t m t t +

=+---， 于是2

221

t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.

综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞ . 考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 【结束】

20. 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 【解析】

试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题

和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x

-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3

x x ≤，

进行放缩，得到()32f x ≤

，再结合第一问的结论，得到()3

4

f x >，从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4

423

111,11x x x x x x x

----+-=

=--+ 由于[]0,1x ∈，有411,11x x x

-≤++即2311

1x x x x -≤-++，

所以()2

1.f x x x ≥-+

(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()()3121113333

11222122

x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32

f x ≤

. 由(Ⅰ)得()2

2

1331244f x x x x ?

?≥-+=-+≥ ??

?，

又因为1193

2244

f ??

=> ???

，所以()34f x >，

综上，

()33

.42

f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数. 【结束】