质数、合数、分解质因数
学科培优数学
“质数、合数、分解质因数”
学生姓名授课日期
教师姓名授课时长
知识定位
本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理
一、质数与合数的基本概念
1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫
做素数
2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数
3.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数
二、质数和合数的一些性质和常用结论
1. 0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，
即，0和1，质数，合数。
2. 最小的质数是2，最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97
其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为 1，3，7，9
4. 部分特殊数的分解：
=⨯
111337
=⨯1000173137
=⨯⨯1111141271
=⨯100171113
=⨯⨯⨯⨯200733223
=⨯⨯
=⨯⨯⨯1998233337
199535719
+==⨯⨯10101371337
=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯20072008401551173
2008222251
5. 质数的判定方法
判断一个数是否是质数，可以采用“连续小质数试除法”。
例如：判断251是否是质数，可以从最小的质数2开始依次除251，直到所得的商比除数小为止，可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6， (251)
17=14…13，
此时除数17＞商14，由此说明251是质数。
6. 互质的概念
N个自然数互质指的是N个自然数的公约数仅有一个1。
注意：
1.质数与合数的基本性质，100以内质数的分布规律
2.质数与奇偶性及整除性知识点的结合
3.分解质因数法解决数论应用题
4.以质数合数为基础考察其他知识点的运用
5.分解质因数法解部分应用题
例题精讲
【试题来源】
【题目】从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12
【答案】5、17、29、41、53
【解析】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数即14或15将是合数，所以考虑从5开始尝试．
有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？
【答案】4
【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？
A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）
【答案】29
【解析】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的
最大公约数是1，那么至少要分几组？
【答案】3
【解析】要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】6
【题目】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？
【答案】
【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】三个质数的倒数之和为1661
1986
，则这三个质数之和为多少？
【答案】336
【解析】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1
a
、
1
b
、
1
c
，计算它们的和
时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为
F
abc
,如果这个分数能够约分，
那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积。现在和为1661
1986
，分母1986=2×3×331，
所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少? 【答案】25
【解析】本题考查分解质因数法。将2924分解质因数，有2924=2×2×17×43=A×B。题目中要求A+B被5除余l，则A+B和的个位只能为1或6。经验证有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数。
【答案】14
【解析】法一：由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为2p，则p的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2p-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2p-1应为质数，因此2p-1只可能为13，37，61或73。再由条件③知2p-1除以9所得的余数应为4，于是2p-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2 p=14。
法二：从条件③入手，符合条件的偶数有：14，32，50，68，86，再由条件②排除掉32，50，68，最后由条件①排除掉86，所以这个幸运数是14。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等。将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？
【答案】22
【解析】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5+19=7+17=11+13。每个木
块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15，最大是19+19+19=57，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?
【答案】1755或1800．
【解析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，
一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．
当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．
当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．
所以原来的积为1755或1800．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数
是多少？
【答案】7
【解析】最大的质数必大于5，否则10个质数之和将不大于50，又
60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60，故其中最大的质数是7.
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆
出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
【答案】435
【解析】枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？
1.数不大，种类不较少
1.没有规律，不能用排列组合等方法
2.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法
37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19
7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17
共有10种不同的拆法，其中3×5×29=435最小
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?
【答案】28
【解析】本题考查分解质因数法。对1764分解质因数，有1764=2×2×3×3×7×7，而根据题意1764应对应为5个小于10的自然数乘积．通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况：1764=4×3×3×7×7 =2×6×3×7×7=2×2×9×7×7
但是发现其中任何两组的和的差均不是 4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有
1环存在，从而要考虑含有因数1的另外2种情况：
1784=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7
所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】6934
【解析】39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，经组合质因数后有33×34×35=39270．
所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．
则长方体的表面积为：
2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?
【答案】28
5 【解析】有140=2×2×5×7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是：
20
75227,2857225,3547522,140175221=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯，…
倒数第三小的是28
5。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？
【答案】47
【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。从2开始数的13个质数分别是：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于2的偶数即可满足条件。 大于41的奇数最小是43，但是43=41+2是2个质数和的形式。下一个是45，但是45=2+43 所以最小符合条件的数是47.可以写成前13个质数与另一个合数和的形式。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知P,Q 都是质数，并且11932003P Q ⨯-⨯=，则P Q ⨯=?
【答案】398
【解析】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P 和Q 中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q 是2，解出P=199,P ×Q=398。
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】将1到9这9个数字在算式()()()()()()
1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数。
【答案】35
15273=- 【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有
c
a c a ad c
b
c
d a b ⨯=⨯-=-1，即有1=-ad cb ，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为3515273=-
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】1.有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．
2.可不可能存在连续的100个合数呢？
【答案】见解析
【解析】1.例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．
2.存在。
评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n 个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n 个合数．其中n!表示从1一直乘到n 的积，即1×2×3×…×n ．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?
【答案】14
【解析】4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．
评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．
我们再对65，195，325，375，975等一一验证．严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】
【答案】
【解析】
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】
【试题来源】
【题目】已知3个不同质数的和是最小合数的平方，则这3个质数的乘积是多少？
【答案】66
【解析】66
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】两个不同质数的倒数相加，所得分子是42，则分母分别可以是多少？
【答案】5，37；11，31；13，29；19，23；
【解析】5，37；11，31；13，29；19，23；
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
【答案】31
【解析】31
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
3.【题目】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大
13岁，那么乙今年多大？
【答案】27
【解析】27
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？【答案】125
【解析】125
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?
【答案】14
【解析】14
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
【答案】30；168
【解析】30；168
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?
【答案】374
【解析】374
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？
【答案】17
【解析】17
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？
【答案】89
【解析】89
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】一个两位质数，数字和是质数，而且将这个两位数分别乘以3，5，7之后得到的数的数字之和仍为质数，求满足条件的两位数。
【答案】67
【解析】67
【知识点】质数、合数、分解质因数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
小学奥数质数合数分解质因数
本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a << （完整版）质数和合数_知识点整理 质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 （2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 ③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常见最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数 就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是： 6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数：5和7 两个合数的互质数：8和9 一质一合的互质数：7和8 7、两数互质的特殊情况： ⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质； ⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质； 三、经验之谈： 书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边，把合数写在右边，比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36； 短除法是除法一种简化，利用短除法分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数 一、填空。 1、最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（）， 【专题知识点概述】 一、质数与合数的概念 1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做 素数 2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数 3.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 二、质数和合数的一些性质和常用结论 1. 0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分， 即，0和1，质数，合数。 2. 最小的质数是2，最小的合数是4。 3. 常用的100以内的质数： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为 1，3，7，9 4. 部分特殊数的分解： =? 111337 =?1000173137 =??1111141271 =?100171113 =????200733223 =?? =???1998233337 199535719 =???20072008401551173 +==?? 2008222251 =??? 10101371337 5.唯一分解定理： 任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成几个质数乘积的形式，并且分解的形式是唯一的。 【典型例题】 例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？ 解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。 例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。 解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。 例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？ 解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。 因数的和是：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170 例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？ 解：每次拿的个数都是96的因数（除96和1之外），这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。 【精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23×32×7=22×32×（2×7），还少（2×7），使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056。【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明理由。14，33，35，30，75，39，143，169. 解：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个（包括相同的），其中：质因数2有两个，质因数3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为： （1）（14，75，33，169）和（30，35，39，143） 或（2）（14，75，39，143）和（30，35，33，169）. 【课后分层练习】 在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2× 质数、合数、分解质因数 质数、合数、分解质因数 走进来 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。 举个简单例子，12的分解因数可以有以下几种：12=2×2×3=4×3=1×12=2×6，其中1，2，3，4，6，12都可以说是12的因数，即相乘的几个数等于一个自然数，那么这几个数就是这个自然数的因数。2，3，4中，2和3是质数，就是质因数，4不是质数。 求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法，和除法的性质差不多。短除法还可以用来求多个数的公因式。 一起做 1．判断下面各数是质数还是合数? 100l 137 1187 437 943 1359 2、判断269、439是质数还是合数? 提示：用最小的质数顺次试除，除到除数人于或等于商时为止。 3、两个质数和是20，它们的乘积最大是多少? 提示：和一定时，两数的差越？乘积越？ 4、36的全部因数有多少个?216的全部因数有多少个? 提示：写出36的全部因数，找出因数个数和质因数的关系。 5、36的全部因数的和是多少?360的全部因数的和是多少? 提示：写出36的所有因数并求和，找出和与质因数的关系。 6、李聪是个中学生，他参加了全市的数学竞赛(满分100分)。他说：“我的名次、分和我的年龄乘起来是3738。李聪得了多少分，获得了第几名? 提示：将3738分解质因数，根据年龄、名次及分数的特点组数。 7、小亚、小美和小欧是三个好朋友，他们三人的年龄依次相差2 岁，已知他们三人的年龄之积是1680，他们中年龄最大的上了初中，小亚和小欧在同一学校学习，小亚不是年龄最小的，那么三个好朋友的年龄分别是多少? 8、在1一1000自然数中，有哪些数有奇数个因数?这样的数共有多少个? 提示：从1开始列举一下，哪些数有奇数个因数，观察有奇数个因数个因数的数有什么特点？ 我能行，展现自己 (一)填空题 1．最小的质数是( )，最大的两位质数是( )。 2．两位数中最小的合数与l0以内最大的质数之积是( )。 3．在自然数中，最小的质数、最小的合数、最小的奇数之和是( )。 4．用比10小的所有质数组成的最大数是( )。用比l0小的所有合数组成的最小数是( )。 5．选用1、2、3、7四个数组成的最小三位合数是( )。 6．A、B、C是三个不同的质数，己知A+B+C：12，则A是( )，B是( )，C是( )。 (二)解答题 1．有七个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少? 2．两个质数和是45，这两个质数的积是多少? 3．一个两位质数，将它们的十位数字和个位数字对调后仍是一个两位质数，这样的数共有几个，求它们的和是多少? 4．已知A是质数，(A十l0)与(A十14)也是质数，求质数A是几。 5．求100以内所有只有三个因数的自然数的和是多少? 6．把24、216、1008分解质因数，并求出它们因数的个数。 7．把2l0个大小相同的正方形，拼成一个长方形，有多少种不同的拼法? 8．72的所有因数的和是多少?248的所有因数的和是多少? 9．冬冬参加小学数学竞赛，满分是100分。他说：“我的分数、 (七)质数合数分解质因数 闵识要点］ 若a能被b養除，b就是a的约数。 1. 质数与合数 自然数按其约数的个数可以分成三类： ⑴单位1:只含有1这一个约数的自然数。 ⑵质数(也称为素数)：只含有1与它本身这两个约数的自然数。 (质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2履质数中唯一的偶数。100之内有25个质数。) (3)合数：含有三个或三个以上约数的自然数。 2. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 如：12 = 2X2X3；70 = 2X5X7; 126 = 2X3X3X7; ............................ 若校大的自然数要进行分解质因数往往用短除法。 练习：把21六、107八、504()写成质因数连乘的形式： 例 1 ：a、b、c 是质数，c 是一名数，且aXb+c=1993o 那么a+b+c=( ) 。 例2:用一.二、3、4、五、六、7、八、9这九个数字组成质数, 若是每一个数字都要用到，而且只能用一次，那么这九个数字最多能1 组成多少个质数? 例3: 1500的约数有（）个。这些约数的和是（）。 例4:有8个不同约数的自然数中，最小的一个是（）。 例5: 504乘以一个自然数a,取得一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 练习： 1.36（）的约数有 __ 个，这些约数的和是________ 。 2.找出1992所有不同的的质因数，它们的和是 ______ o 3.若a、b、c、d是四个互不相等的自然数，且aXbXcXd= 1988, 那么a+b+c+d的最大值是 ______ 。 2 质数、合数和分解质因数 【知识要点】 一个自然数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数） 一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数 1既不是质数，也不是合数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 【典型例题】 例1.三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？ 分析：由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能大，那么这两个质数的差值应尽可能小。显然，和是78的两个质数中，以41与37的差最小，即这两个数的积最大。 解：80＝2＋37＋41 2×37×41＝3034 答：这三个质数的积最大是3034。 例2.班主任王老师带领五（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知王老师与学生共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？ 分析：依题意可知 种树总数＝每人种树棵数×师生总人数 即：312＝每人种树棵数×（1+学生人数） 由于学生人数是3的倍数，再加上王老师一人，则师生总人数被3除余1。 因此先将312分解质因数312＝23×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。解：312＝23×3×13 若312＝24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题目中条件不符。 若312＝6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。 因此，这个班共有学生51人，每人种树6棵。 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2） ＝32×35×38（合题意） 要求的三个自然数分别是32、35和38。 第四讲：质数、合数、分解质因数 【知识概述】 1、一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。 2、由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。 3、两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。 4、质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。 5、把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。 【例题精讲】 例题1 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数? 解要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用． 有1、4、8、9可以组成质数、，而6可以与前面的一位质数中的组合成质数。所以这9个数字最多组成了这6个质数。 例题2 四个小孩，恰好一个比一个大一岁，其年龄之积是3024，这四个小孩中最大的一个是多少岁？解：将3024分解后再重新组合，看怎么才能组合成四个连续自然数相乘 3024= 重新组合后 3024= 所以这四个小朋友中最大的一个是。 例题3月明×中秋＝（月明和中秋分别代表不同的两位数，圆圆圆表示三位数）。则“月明”和“中秋”这两个两位数各是多少？ 解：因为圆圆圆=111×圆=3×37×圆 所以圆= 所以月明= 中秋= 例题4、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少? 解有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 其中第三个最简真分数为。 例题5、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙 质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 （2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 ③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常见最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是： １ 质数合数分解质因数 课本知识回顾： 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____. 两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____. 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数； 除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要 大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3. 部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、质数合数的认知 【例 1】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 【巩固】 两个质数的和是49，求这两个质数的乘积是多少？ 五年级数学培优：质数、合数、分解质因数 １、按照约数个数的多少可以把自然数分为、、。 ２、4×7=28，4是28的，7是28的，也是28的。 ３、91、25、1、87、61、54、97中，质数有，合数有。 把合数分解质因数： １、一个长方形的面积是130平方厘米，它的长和宽是互质数。这个长方形的长和宽可能是多少？ ２、用2520个棱长是1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是12厘米，长和宽都大于高。 它的长和宽各是多少厘米？ ３、26÷（）=（）……2，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？ ４、在3张牌上分别写上3个最小的连续奇数，如果随意从其中取出至少一张组成一个数，其中有几个是质数？将它们写出来。 ５、小聪的姐姐参加了今年的中学数学竞赛，小聪问姐姐：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”姐姐告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？” ６、⑴两个质数的和是30，这两个质数的乘积的最小值是多少？ ⑵两个合数的和是30，这两个合数的乘积的最大值是多少？ ７、把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？ 通过本次学习，我的收获是 。 第一部分必做题 １、(☆)两个质数的和是16，这两个质数的积可能是（）或（）。 ２、(☆)前1000个自然数（不包括0）中有168个质数，那么合数的个数有（）个。３、(☆)一个长方体的体积是105立方厘米，它的长、宽、高是三个不同的质数，这个长方体的表面积是（）平方厘米。 ４、(☆)判断。 ⑴一个质数的约数都是质数。（） ⑵两个质数相乘的积一定是合数。（） ⑶只有合数有质因数，质数没有质因数。（） ⑷一个质数加上2以后，结果还是质数，20以内这样的质数有5个。 （） ⑸质数与质数的和一定是合数。（） ５、(☆)有两个合数，这两个合数又是互质数，这样的数有很多个，如果这两个合数的积是一个最大的四位数，这两个合数是（）和（）。 ６、(☆☆)两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ ７、(☆☆)一包糖有224块，要分成块数相等的几包，每包块数要在5块以上、10块以下，共有几种分法？ ８、(☆☆)用105个大小相同的正方形拼成一个长方形。请设计不同的拼法。 ９、(☆☆)把504与数a相乘，正好得到一个平方数，数a是多少？ 第二部分选做题 10、(☆☆)8642013579这个数是质数还是合数？为什么？ 11、(☆☆)三个连续自然数的最小公倍数是168 ，这三个数分别是 （）、（）、（）。 质数、合数、分解质因数1．（1）求126的约数个数； （2）求126的所有约数的和。 结论： 2．A、B、C为三个小于20的质数，A+B+C=30，且A 6．连续九个自然数中最多有几个质数？为什么？ 7．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数； 8．写出13个连续自然数，它们各个都是合数； 9．要使四个数的乘积135×1925×486×（）结果的最后五位都是零，括号内的数最小是几？ 10．46305乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方。求最小的a和这个整数。 11．把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相 等。 12．有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560， 求这三个自然数。 13．有一列自然数：1、4、7、10、 (397) 400，现将这些数相乘，乘积的尾部有多少 个零？ 14．把自然数从1开始作连乘积，即1×2×3×4×……，那么当乘到多少时，乘积的最后十 位数字第一次全是零。 15．将一批图书分给三个班，他们所得的本数一个班比一个班多3本，且各班所得图书本数 的乘积为58968。那么三个班各得多少本图 书？ 16．互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。 17．已知一个数有8个约数，那么这个数最小是几？ 18．已知一个数所有约数的和为72，求所有满足条件的数。 质数和合数知识重点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1 ）、质数（或素数）：只有1和它自己两个因数。 （2 ）、合数：除了1和它自己还有其余因数（最罕有三个因数：1、它自己、其余因数）。 （3 ）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘获取，质数相乘必定得合数。 ③20之内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100之内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100之内找质数、合数的技巧： 看是不是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常有最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：自己；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：自己；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，假如两个因数都是质数就不再进行分解了；假如两个 因数中海油合数，那我们连续分解，向来分解到所有因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上边两个例子，分别是用短除法对18,30 分解质因数，左侧的数字表示“商”，竖折 下边的表示余数，要注意步骤。详尽步骤是： 6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数： 5 和7 两个合数的互质数：8 和9 一质一合的互质数：7 和8 7、两数互质的特别状况： ⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数必定互质； ⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质； 三、经验之谈： 书写分解质因数的结果时不可以把质因数相乘写在等号左侧，把合数写在右侧，比方36=2×2×3 2×2×3×3=36； ×3 就不可以写 成 短除法是除法一种简化，利用短除法分解质因数时，除数和商都不可以是1，由于1不是质数 一、填空。 1、最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（）。 2、20之内的质数有（），20之内的偶数有（），20 之内的奇数有（）。 第二讲质数、合数和分解质因数 一．根本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数〔也叫做素数〕。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37 ∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数〔如：1~9中有4个质数2、3、5、7〕。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14〔=2×7〕放在第一组，那么7和6〔=2×3〕只能放在第二组，继而15〔=3×5〕只能放在第一组，那么5必须放在第二组。 这样，14×15=210=5×6×7。 18 = 2x3x 3 30=2x3 x5 质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 （2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一泄得合数。 ③20 以内的质数：有8 个（2、3、5、7、11. 13. 17、19） ④ 100 以内的质数有25 个：2、3、5、7、11. 13、17、19、23、29、31、37、41. 43、47、53、59、61、67、71. 73. 79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数. 关系：奇数X 奇数二奇数 3、常见最大.最小 质数X质数二合数 A的最小因数是：1:最小的奇数是：1: A的最大因数是：本身：最小的偶数是：0： A的最小俗数是：本身；最小的质数是：2： 最小的自然数是：0；最小的合数是：4： 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例: 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海汕合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为1匕。把36分解质因数是：36=2X2X3X3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 2| 30 3| 15 5 分析：看上而两个例子，分别是用短除法对1&30分解质因数，左边的数字表示“商S 竖折下而的表示余数，要注意步骤.具体步骤是： 2X2（完整版）质数和合数_知识点整理
(教材专用)质数,合数,分解质因数
质数 合数 分解质因数
质数、合数、分解质因数
质数合数分解质因数
小学数学竞赛质数、合数和分解质因数
五年级奥数 质数合数分解质因数
第四讲 质数、合数、与分解质因数
(完整版)质数和合数_知识点整理
质数合数分解质因数
五年级数学培优：质数、合数、分解质因数
质数,合数,分解质因数
质数和合数知识点
二讲质数合数和分解质因数
质数和合数知识点整理