湖南省长沙市一中2019届高三第一次月考数学(理)试题及答案

湖南省长沙市一中2019届高三第一次月考数学（理）试题及答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．命题：00R,21x x ?∈≥的否定是

A ．00R,21x x ?∈<

B ．00R,21x x ??≥

C ．R,21x x ?∈≥

D ．R,21x x ?∈<

答案：D

2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是

A ．y ＝－x ＋1

B ．1

2y x = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．1y x

= 答案：B

3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x | x(x ＋3)＜0}，B ＝{x | x ＜－1}，则右图中阴影部分表示的集合为

A ．{x |－3＜x ＜－1}

B ．{x |－1≤x ＜0}

C ．{x |－3＜x ＜0}

D ．{x |－1＜x ＜0}

答案： B

4．方程log 3x ＋x －3＝0的实数解所在的区间是

A ．(0，1)

B ．A ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4)

答案：C 5．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且23(2)1

a f a -=

+，则 A ．23a < B ．213a a <≠-且 C ．213a a ><-或 D ．213a -<< 答案：D

6．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：

则y 关于x 的函数关系与下列最接近的函数(其中a 、b 、c 为待定系数)是

A ．y ＝a ＋bx

B ．y ＝a ＋b x

C ．y ＝ax 2＋b

D ．b y a x

=+ 答案：B

7．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)(其中a ＞b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x ＋b 的图象大致为

A B C D

答案：A

8．已知函数13()ln 144f x x x x

=-+-，g(x)＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)，则实数b 的取值范围是

A ．17(2,]8

B ．[1，＋∞]

C ．17[,)8

+∞ D ．[2，＋∞] 答案：C 解析：2(1)(3)()4x x f x x ---'=

，令f ′(x)＝0得x 1＝1，x 2＝3?(0，2)． 当x ∈(0，1)时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x ∈(1，2)时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为1(1)2

f =-． 由于“对任意x 1∈(0， 2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)”等价于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值12-

”． （*） 又g(x)＝(x －b)2＋4－b 2，x ∈[1，2]，所以

①当b ＜1时，因为[g(x)]min ＝g(1)＝5－2b ＞0，此时与（*）矛盾；

②当b ∈[1，2]时，因为[g(x)]min ＝4－b 2≥0，此时与（*）矛盾；

③当b ∈(2，＋∞)时，因为[g(x)]min ＝g(2)＝8－4b ． 解不等式1842

b -≤-，可得178b ≥． 综上，b 的取值范围是17[,)8+∞． 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

9．幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3,3)，则f(x)的解析式是 ． 答案：12()f x x =

10．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是 增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x 的取值范围是 ． 答案：1(,10)10

11．如图所示的程序框图运行后，输出的S 的值是 ．

答案：31

12．若函数()(4)2(1)2

x

a f x a x x ??=?-+≤??是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[4，8)

13．先作与函数1ln 3y x

=-的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到图象C 1．又y ＝f(x)的图象C 2与C 1关于y ＝x 对称，则y ＝f(x)的解析式是 ．

答案：y ＝e x

14．已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：

f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图象如图所示：

则f(x)的单调递增区间是 ；f(x)的最大值是 ．

答案：[－1，0]和[2，4] 2

15．定义min{p ，q}表示p 、q 中的较小者，若函数214

()min{log ,3log }f x x x =+，则满足f(x)＜2的x 的取

值范围是 ．

答案：(0，4)∪(4，＋∞)

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．(本小题满分12分)

已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝a x ＋1在R 上单调递减，命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不

同的两点，如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求a 的取值范围．

解析：若命题p 为真，则0＜a ＜1． …………2分

若命题q 为真，则(2a －3)2－4＞0，即1522

a a <>或． …………5分 ∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 有且只有一个为真． …………7分

（1）若p 真q 假，则01151122

a a a <

a a a ≥???<>??或，∴52a >．…………11分 综上所述，a 的取值范围是15[,1)(,)22

+∞．…………12分 17．(本小题满分12分)

设函数21()x x f x x

--=的值域是集合A ，函数g(x)＝lg[x 2－(a ＋1)2x ＋a(a 2＋a ＋1)]的定义域是集合B ，其中a 是实数．

（1）分别求出集合A 、B ；

（2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．

解析：（1）由1()1f x x x =+

-知，A ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．…………4分 由x 2－(a ＋1)2x ＋a(a 2＋a ＋1)＝(x －a)[x －(a 2＋a ＋1)]＞0得x ＜a 或x ＞a 2＋a ＋1，

即B ＝(－∞，a)∪(a 2＋a ＋1，＋∞)．…………8分

（2）∵A ∪B ＝B ，∴23,11

a A B a a >-???++

18．(本小题满分12分) 已知函数2()(0,)a f x x x a x

=+≠∈R ． （1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．

解析：（1）当a ＝0时，f(x)＝x 2为偶函数；…………2分

当a ≠0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．…………5分

（2）设x 2＞x 1≥2，

2212121212121212

()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=?+-．…………8分 由x 2＞x 1≥2得x 1x 2(x 1＋x 2)＞16，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，

要使f(x)在 [2，＋∞)上是增函数，只需f(x 1)－f(x 2)＜0，

即x 1x 2(x 1＋x 2)－a ＞0恒成立，则a ≤16．…………12分 另解：2

()2a f x x x '=-，要使f(x)在 [2，＋∞)上是增函数， 只需当x ≥2时，f ′(x)≥0恒成立， ………8分 即220a x x

-≥恒成立．…………10分 ∴a ≤2x 2．

又x ≥2，∴a ≤16，故当a ≤16时，f(x)在 [2，＋∞)上是增函数． …………12分

19．(本小题满分13分)

市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%(x ＞0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正数)，预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为2018件．

（1）写出该商品销售总金额y 与x 的函数关系，并求出当12

k =时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？

（2）如果在涨价过程中只要x 不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k 的取值范围．

解析：（1）y ＝10(1＋x%)×2018(1－kx%)＝－kx 2＋100(1－k)x ＋20180(k ＞0)．……4分 取12k =，22115010000(50)1125022

y x x x =-++=--+， 当x ＝50时，即商品价格上涨50%时，y max ＝20180．…………7分 （2）y ＝－kx 2＋100(1－k)x ＋20180(k ＞0)为二次函数，其图象开口向下，对称轴为50(1)k x k

-=， 在适当的涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x ∈(0，100]时是增函数．…………9分 ∴50(1)100k k

-≥． 又k ＞0，∴50(1－k)≥100k ，∴103k <≤

，即符合题意的k 的范围是1(0,]3．……13 20．(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝(a 2＋8)e x ，函数g(x)＝(x 2＋ax －2a －3)e 3－x ．

（1）若a ＝0，求g(x)的单调递增区间；