最新高中数学精品课时训练课时提能演练(十四) 2.11

课时提能演练(十四)

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分，共36分)

在点(-1,-1)处的切线方程为( )

1.曲线y=x

x2

(A)y=2x+1 (B)y=2x-1

(C)y=-2x-3 (D)y=-2x-2

2.(2012·宿州模拟)若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)等于( )

(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4

3.y=sinx+tcosx在x=0处的切线方程为y=x+1，则t等于( )

(A)1 (B)2 (C)-1 (D)0

4.（预测题）已知函数f(x)=xlnx.若直线l过点(0,-1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为( )

(A)x+y-1=0 (B)x-y-1=0

(C)x+y+1=0 (D)x-y+1=0

5.（2012·厦门模拟）如图，函数y=f(x)的图象在点P（5，f(5)）处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=（）

(A)1

2

(B)1 (C)2 (D)0

6.（2012·福州模拟)曲线y=e -x 在点（x 0,1e

）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

(A)21e 2 (B)1e (C)2e (D)2e

二、填空题(每小题6分，共18分)

7.(2012·哈尔滨模拟)等比数列{a n }中，a 1=1,a 2 012=4,函数f(x)=x(x-a 1)(x-a 2)…(x-a 2 012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为________.

8.若函数f(x)=4lnx ，点P(x,y)在曲线y=f ′(x)上运动，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则△POM(O 为坐标原点)的周长的最小值为________.

9.函数y=f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g(x)lnf(x)，两边求导数得()()()

()()

f x y

g x lnf x g x y f x ''

='+，于是 y ′=f(x)

g(x)

[g ′(x)lnf(x)+g(x)()

()

f x f x '].运用此方法可以求得y= 1x x (x ＞0)的导

数为________.

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.已知函数f(x)满足如下条件：当x ∈(-1,1]时，f(x)=ln(x+1)，且对任意 x ∈R ，都有f(x+2)=2f(x)+1.

(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程； (2)求当x ∈(2k-1,2k+1]，k ∈N *时，函数f(x)的解析式.

11.（易错题）函数f(x)=ae x ,g(x)=lnx-lna,其中a 为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)

的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离. 【探究创新】

(16分)已知曲线C n ：y=nx 2，点P n (x n ,y n )(x n ＞0,y n ＞0)是曲线C n 上的点(n=1,2，…).

(1)试写出曲线C n 在点P n 处的切线l n 的方程，并求出l n 与y 轴的交点Q n 的坐标； (2)若原点O(0,0)到l n 的距离与线段P n Q n 的长度之比取得最大值，试求点P n 的坐标(x n ,y n ).

答案解析

1.【解析】选A.因为y ′=()

2

2

x 2+，所以，在点(-1,-1)处的切线斜率

k=y ′|x=-1=

()

2

2

12-+=2，所以，切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1，故选A.

2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f ′(1)为常数，先求出f ′(1)，再求 f ′(0).

【解析】选D.f ′(x)=2f ′(1)+2x ，∴令x=1，得 f ′(1)=-2，∴f ′(0)=2f ′(1)=-4.

3.【解析】选A.∵y ′=cosx-tsinx ，当x=0时，y=t ，y ′=1， ∴切线方程为y=x+t ，比较可得t=1.