数理经济学课后题第2章

第二章 习题答案

1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}

6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？ 解：

2220206000212160001513.61p q p q q q ======当时，，得；当时，，得

所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。

2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。 证明：因为边际成本函数，

()()2

2C'156331120

q q q q =-+=-+>

所以，其边际成本总是正的。

3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。 解：边际成本函数为

(

)C'20q =+

4．设某一商品的需求函数为：1

8000

)(2

+=

=p p q q D

，其中：q 为需求量，p 为价格。若价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？ 解：

2280008000

997.568.5109.22

918.51

p q p q ======++当时，；当时， 所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.

5．若某人的效用函数取下述形式：322121)3()2(),(++=x x x x u ，其中：u 为总效用函数，

1x ，2x 为所消费商品的数量，要求计算：

（1）每一商品的边际效用函数；

（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。 解：（1）商品1的边际效用函数：()()3112223MU x x =++

商品2的边际效用函数：()

()

2

2212323MU x x =++

（2）

123x x ==当时，()()31232332160MU =++=

6．假定某厂商的生产函数为：αα-=1),(L AK L K Q ，其中：0>A 及10<<α。证明：劳动的边际产出是正的，且关于L 单调递减（固定K 时）。

证明：劳动的边际产出

()()

11L Q Q MP AK L L L

αα

αα-?==-=-? 10,0,0Q L α->>>

0L MP ∴>

()21

210

Q AK L L

αααα--?=--

7．对某一商品的如下需求集D 或需求函数)(p q D ，计算需求弹性)(p ε： （1）{}

100)1(|),(2=+=p q p q D ，并确定p 为何值时，需求缺乏弹性？ （2）p p q D 470)(-=，并确定p 为何值时，需求缺乏弹性？

（3）{}

200)2(|),(32=+=p q p q D ，并确定p 为何值时，需求具有弹性？ 解：（1）

()()

2

2

212221*********qp p dq p p

p p q dp p p ε---??=

?=-+?=???

?

++

2

22||1,011qp

p p p

ε=<<<+则当即时，需求缺乏弹性

（2）

44704704qp

p dq p p q dp p p

ε-=?=?-=+-

470

||=107048

qp p p p ε<<<-则当，即时，需求缺乏弹性

（3

）

()3

332231323242qp p dq p p p q dp

p ε-?=?=

+?=-

?+?

23

3

3

3||=12

42qp p p p ε>>

+则当，即时，需求具有弹性

8．求证：若需求函数为bp a p q D -=)(，其中a 与b 为正的常数，则当b a p 2/0<<时，需求是缺乏弹性的。

证明：

()D q p a bp =-，

qp

p dq bp q dp a bq

ε-=?=

-则 ||112qp bp p a bq a b

ε<<<<

-时需求缺乏得0弹，性当，即

问题得证。

9．令),(21x x f 是1度的齐次函数，证明0112111≡+x f x f 证明：

()()12121212

,,f x x f f x x f x x x x ??∴

+=?? 是一次齐次函数 上式两边对x 1求偏导得：

2212

211121f f f f x x x x x x x ????++=????

1111220f x f x ∴+=

证毕。

10．某商品的供给函数为2/12R P Q ++=βα，其中：0<α，0>β，而R 是降雨量，求：供给的价格弹性Qp ε及降雨量弹性QR ε。 解：

2

112

2

2

2

22QP P dQ

P

P

P Q dP

P R

P R

βεβαβαβ=

?=?=

++++

1122

112

2

2

2

112

2

QR R dQ R

R

R Q dR

P R

P R

εαβαβ-=

?=?=

++++

11．外国对我国出口的需求X 取决于外国的收入f Y 及我国的价格水平P ，并有关系式成立：

22

/1-+=P Y X f

，求：外国对我国出口的需求相对于我国价格水平的偏弹性。

解：

23

1/221/2

2

22XP

f f P dX P P P X dP Y P Y P ε----=?=?-=-++

12．证明下列函数是齐次函数，并证明欧拉定理成立。

(1)2

2121),(x x x x f =

(2)2

22121),(x x x x x f +=

(3))2()(),(22212121x x x x x x f -+= (4))(),(22212121x x x x x x f -=

解：（1）以t 乘以每个变量有，

()()()2

323

1212

121

2

,,f tx tx tx tx t x x t f t t ===

所以函数为三次齐次函数。

()22212211212

12

12

233,f f x x x x x x x x f t t x x ??+=+==??

∴欧拉定理成立 （2）以t 乘以每个变量有，

()()()2222

2

2

1212212

2

12

,,f tx tx t x x t x t

x x

x t f t t =+=+=

所以函数为二次齐次函数。

()()212211*********

2222,f f x x x x x x x x x x f t t x x ??+=++=+=?? ∴欧拉定理成立

（3）以t 乘以每个变量有，

()()()121

121212222222

12121,,22t x x x x f tx tx t f t t t x t x t x x -++==?=--

所以函数为二次齐次函数。

()

()

()

()

222212112122121212

2

2

2

22212

1

2

1

2

222422x x x x x x x x x x f f x x x x x x x

x x

x --+-++??+=?+

???--

()12

1222

12,2x x f t t x x +=-=--

∴欧拉定理成立

（4）以t 乘以每个变量有，

()()

()2

2

1011212

2222

122122

,,tx x f tx tx t f t t t x x t x x x x

==

=--

所以函数为零次齐次函数。

()()()()

2

2

2112212

1

121212222212

12

2

12

2

220

x x x x x x x x x f f

x x x x x x x x x x x x ---??+=?-?=??--

∴欧拉定理成立

13．若人口函数为bt

H H 20=，消费函数为at

e C C 0=，求人口增长率、消费增长率、人均

消费增长率。 解：

00112ln 2ln 22bt

H bt

dH r H b b H dt H =?=???=

0011at

C at

dC r C e a a C dt C e =?=???=

/l n 2

C H C H r r r a b =-=-

14．已知生产函数),(L K F Q =，求用K 和L 的增长率表示的Q 的增长率。 解：

1111Q dQ Q dK Q dL K Q dK L Q dL r Q dt Q K dt L dt Q K K dt Q L L dt

??????=?=?+?=?+?

??????? 所以Q 的增长率可以表示为r K 和r L 的加权之和，其权重分别为Q 对K 和L 的弹性 15．若消费C 以比率α增长，人口H 以比率β增长，求人均消费增长率。 解：/C H

C H r

r r αβ=-=-

16．某国商品出口为)(t G G =，其增长率为t α；该国服务出口为)(t S S =，增长率为t

β。试确定总出口增长率。 解：

E G S

G S G S

r r r r G S G S

+==+++ G S G S t G S t

αβ=?+?++

()

G S t G S αβ+=

+

17．农产品的价格以每年4%的速度上涨，产量以2%的速度增加，求来自农业部门的收益R

的年增长率。

解：R PQ =，

=6%

R PQ p q r r r r =+=则

18．在同一时间内，一企业的输入量以10%的速度增加，而输入成本以3%的速度增长。总

输入成本的增长率是多少？ 解：TC CQ =，

=13%

TC CQ C Q r r r r =+=则

19．就业机会E 每年以4%的速度增加，而人口以2.5%的速度增长。求每人就业PCE 的增

长率。

解：/PCE E P =，/= 1.5%PCE

E P E P r

r r r =-=则

20．国民收入Y 以1.5%的速度增长，而人口P 以2.5%的速度增加。求每人国民收入的增长

率。

解：人均国民收入y=Y/P ，/= 1.0%y Y P Y P r r r r =-=-则