高中数学-命题及其关系、充要条件练习

高中数学-命题及其关系、充要条件练习

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________．

解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．

答案若q，则p

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．

解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．

答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的________条件．

解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1.

答案充分不必要

4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y 是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y 不是偶数，则x，y不都是偶数”．

答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数

5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”

是“x∈C”的________条件．

解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．

答案充分必要

6．(·盐城调研)“m<1

4

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________

条件．

解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤1 4 .

答案充分不必要

7．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．

解析当c2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac2＞bc2，则a＞b”，逆命题正确，则否命题也正确．

答案 2

8．(·扬州模拟)下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；

③“x>2”是“1

x

<

1

2

”的充分不必要条件；

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．

其中说法不正确的序号是________．

解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真

命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1

x

<

1

2

，则

1

x

－

1

2

＝

2－x

2x

<0，解得x<0

或x>2，所以“x>2”是“1

x

<

1

2

”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和

逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．

答案①②

二、解答题

9．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．解原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．

逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.

判断如下：

∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．

10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

解 p ：x 2－8x －20≤0?－2≤x ≤10，

q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0?1－a ≤x ≤1＋a .

∵p ?q ，q p ，

∴{x |－2≤x ≤10}

{x |1－a ≤x ≤1＋a }． 故有??? 1－a ≤－2，

1＋a ≥10，

a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.

因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

一、填空题

1．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________． 解析 否命题既否定题设又否定结论．

答案 若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数

2．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件①a ＝－b ；②a ∥b ；③a ＝2b ；④a ∥b 且|a |＝|b |中，使a |a |＝b

|b |成立的充分条件是________． 解析 对于①，注意到a ＝－b 时，a |a |≠b |b |

；对于②，注意到a∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于③，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |

；对于④，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |，综上所述，使a |a |

＝b |b |

成立的充分条件是a ＝2b .

答案 ③

3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.

答案 3或4

二、解答题

4．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ?綈p ，且綈p 綈q 等价于p ?q ，且q p .

记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝??????x ??? 12

≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0|＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，

则A B .

从而??? a ＋1≥1，

a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12

. 故所求实数a 的取值范围是?

?????0，12.