理想白噪声和带限白噪声的产生与分析解析

理想白噪声和带限白噪声

的产生与分析

摘要 利用Matlab 仿真分析产生的高斯白噪声和均匀白噪声通过低通滤波器和

带通滤波器后的时域及频域波形，以便更好地理解白噪声。

背景 在实际应用中，通信设备的各种电子器件、传输线、天线等都会产生噪

声，伴随着信号的产生、传输和处理的全过程。噪声也是一种随机过程，而白噪声具有均匀功率谱密度，在数学处理上具有方便、简单的优点。电子设备中的起伏过程如电阻热噪声、散弹噪声等，在相当宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，可以当做白噪声处理，因而研究白噪声的特性显得非常重要。

实验特点与原理

（1）随机信号的分析方法

在信号系统中，把信号分为确知信号与随机信号两类。在工程技术中，一般用概率密度、均值、均方值、方差、自相关函数、频谱、功率谱密度等描述随机过程的统计特性。

①均值

均值E[x(t)](μ)表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T 内的幅值平均值表示：∑-==1

0/)()]([N t N t x t x E

均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。 ②均方值

均方值E[x 2

(t)](2

?)，或称为平均功率：N t x t x E N t /)()]([(1

022

∑-==

均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。

③方差

定义： N t x E t x N t /)]]([)([1

22

∑-=-=σ

可以证明，2?=2σ+2μ。其中：2σ描述了信号的波动量；2μ 描述了信号的静态量。

④自相关函数

信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。对于平稳随机过程x(t)和y(t)在两个不同时刻t 和t+τ的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。在离散情况下，信号x(n)和y(n)的相关函数定义为：

∑∑-=-+=10

1

N t xy N /)t (y )t (x ),t (N R τττ τ,t=0,1，2,……N-1

随机信号的自相关函数表示波形自身不同时刻的相似程度。与波形分析、频谱分析相比，它具有能够在强噪声干扰情况下准确地识别信号周期的特点。

⑤频谱

信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号)(f x ，从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为：

-j2πf t ()()x f x t e dt ∞

-∞

=

?

⑥功率谱密度

随机信号的功率谱密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参量，表示x(t)的平均功率在频域上的分布。它只反映随机信号的振幅信息，而没有反映相位信息。随机过程的功率谱密度为：

]|)(|lim

[)(2

X E x G Ti T ω∞→= －∞＜ω＜＋∞ （2）白噪声

①理想白噪声

均值为零而功率谱密度为非零常数，即

()01

2N S N ωω=-∞<<+∞，

的平稳随机过程()N t 称为白噪声。

利用维纳—辛钦公式，不难得到白噪声的自相关函数为

()()12j N N

R S e d ωτ

τωωπ∞-∞=?04j N e d ωτωπ∞-∞=?()012

N δτ= ②若一个具有零均值的平稳随机过程()X t ，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。带限白噪

声又可分为低通型的和带通型的。

低通型带限白噪声的功率谱密度满足

()0

, 0,X S W

S W

ωωω≤?=?>? 自相关函数为

()()12j X X

R S e d ωτ

τωωπ∞-∞=?012W

j W

S e d ωτωπ

-=?

0sin WS W W τ

πτ

=

带通型带限白噪声的功率谱密度满足

()000

,220,

X W W S S ωωωω?

-<<+?=???其它

自相关函数为

()()

00

sin 2cos 2

X W WS R W ττωττπ

=

（3）Matlab 相关函数

rand(m,n) 产生m 行n 列的均匀分布 randn(m,n) 产生m 行n 列的高斯分布 [c,lags] =xcorr(x,maxlags,'option') 自相关函数，'option'选择'unbiased'无偏估计，时域区间[-maxlags:maxlags] ，序列长度2*maxlags+1

[Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) 功率谱密度，偶数点时，Pxx 长度(nfft/2 + 1)，w 范围[0,pi]

[f,xi] = ksdensity(x) 一维概率密度 fft(X) 傅里叶变换

[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') 巴特沃斯滤波器，Wp 为通带边界频率,Ws 为阻带边界频率,Rp 通带最大衰减,Rs 为阻带最小衰减，n 为阶数，Wn 为归一化频率

[z,p,k] = buttap(n) 巴特沃斯模拟低通滤波器模型 [h,w] = freqz(hd,n) 离散时域滤波器的频率响应，h 、w 长度为n ，w 范围[0,pi] filter(b,a,X) 滤波器

[b,a]=ellip(n, Rp , Rs , Wn ，'option') 椭圆滤波器

实验设计与实现

（1）用 Matlab 编写和仿真程序。系统框图如图所示：

（2）输入信号x(t)：x(t)分别为高斯白噪声信号和均匀白噪声信号，测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图，分析实验结果。

（3）设计一个低通滤波器和一个带通滤波器。

要求低通滤波器的通带为0KHz-2KHz、通带衰减小于 1db、阻带衰减大于35db。带通滤波器的通带为10KHz-20KHz、通带衰减小于1db、阻带衰减大于35db。（4）分别计算高斯白噪声、均匀白噪声经低通滤波、带通滤波器后的均值、均方值、方差、概率密度、自相关函数、频谱及功率谱密度，并加以分析。

（5）所有结果均用图示法来表示。

仿真程序：

h1.m%高斯白噪声通过低通滤波器

Fs=10000;Ns=1024;

x=randn(Ns,1);%产生高斯白噪声

t=0:Ns-1;

figure(1)

plot(t,x);

grid on

title('高斯白噪声波形')

xlabel('t')

x_mean=mean(x) %均值

figure(2)

plot（t,x_mean）

grid on

x_std=std(x) ; %标准差

x_var=x_std.^2 %方差

x_msv=x_var+x_mean.^2 %均方值

figure(3)

plot（t,x_mean）

grid on

%计算高斯白噪声的相关函数

[x_c,lags]=xcorr(x,200,'unbiased');%相关函数

figure(2)

plot(lags,x_c);%画出相关函数的图形

title('白噪声的自相关函数')

grid on

% 利用periodogram函数计算功率谱

nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1);

k=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(x_c));

[Pxx,f]=periodogram(x_c,window,nfft,Fs);

x_Px=Pxx(index+1);

figure(3)

plot(k,x_Px);

grid on

title('白噪声的功率谱')

Xlabel('Frequency/Hz')

%求高斯白噪声的一维概率密度

[x_pdf,x1]=ksdensity(x);

figure(4)

plot(x1,x_pdf);%画出高斯白噪声的一维概率密度

grid on

title('白噪声的一维概率密度')

%求高斯白噪声的频谱

f=(0:Ns-1)/Ns*Fs;

X=fft(x);%对高斯白噪声进行傅里叶变换

mag=abs(X); %取信号X的幅度

figure(5)

plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2));%画出白噪声的频谱

grid on

title('白噪声频谱');

xlabel('Frequency/Hz');

% 利用双极性Z变换设计0-2kHz低通滤波器

fp=2000;fs=2200;

rp=0.5;rs=50;

wp=2*pi*fp/Fs;

ws=2*pi*fs/Fs;

wap=tan(wp/2);

was=tan(ws/2);

Fs=1;

[N,Wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');%估计所需滤波器的阶数[z,p,k]=buttap(N);

[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);

[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);

[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2);

[H,w]=freqz(bz,az,512,Fs*10000);%计算数字滤波器的频率响应figure(6)

plot(w,abs(H));%低通滤波器的频谱

title('0-2kHz的低通滤波器的频谱')

xlabel('Frequency/Hz')

ylabel('Mag of frequency response')

grid on

%白噪声通过滤波器以及通过后y相关参数

y=filter(bz,az,x);%白噪声通过滤波器

y_mean=mean(y) %y的均值

y_std=std(y); %标准差

y_var=y_std.^2 %方差

y_msv=y_var+y_mean.^2

[y_pdf,y1]=ksdensity(y);

figure(7)

plot(y1,y_pdf);%y的一维概率密度

grid on

title('y的一维概率密度函数图像');

[y_c,lags1]=xcorr(y,200,'unbiased');%计算y的相关函数figure(8)

plot(lags1,y_c);%画出y的相关函数的图形

axis([-50,50, -0.1,0.5 ]);

title('y的自相关函数')

grid on

%计算y的频谱

Y=fft(y);%对y进行傅里叶变换

magY=abs(Y);

figure(9)

plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2));%画出y的频谱

grid on

title('白噪声通过低通滤波器的频谱');

xlabel('Frequency/Hz');

%y的功率谱

nfft=1024;Fs=10000;

index=0:round(nfft/2-1);

ky=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(y_c));

[Pyy,fy]=periodogram(y_c,window,nfft,Fs);

y_Py=Pyy(index+1);

figure(10)

plot(ky,y_Py);

grid on

title('白噪声通过低通滤波器后的功率谱')

xlabel('Frequency/Hz')

仿真波形：

0200400

60080010001200

-4

-3-2-10123

4高斯白噪声波形

t

-200

-150-100-50050100150200

-0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

白噪声的自相关函数

-4

-3-2-101234

00.050.10.150.20.250.30.350.4

0.45白噪声的一维概率密度

050010001500

2000250030003500400045005000

1

2

3

4

5

6

7

x 10

-6

白噪声的功率谱

Frequency/Hz

050010001500

2000250030003500400045005000

1020304050607080

90白噪声频谱

Frequency/Hz

050010001500

2000250030003500400045005000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0-2kHz 的低通滤波器的频谱

Frequency/Hz

M a g o f f r e q u e n c y r e s p o n s e

-3

-2-10123

00.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

y 的一维概率密度函数图像

-50

-40-30-20-1001020304050

-0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

y 的自相关函数

050010001500

2000250030003500400045005000

10

20

30

40

50

60

70

白噪声通过低通滤波器的频谱

Frequency/Hz

050010001500

2000250030003500400045005000

00.511.522.533.54

-6

白噪声通过低通滤波器后的功率谱

Frequency/Hz

h2.m%高斯白噪声通过带通滤波器

Fs=100000;Ns=1024;

x=randn(Ns,1);%产生白噪声 t=0:Ns-1; figure(1) plot(t,x); grid on

title('高斯白噪声波形') xlabel('t')

x_mean=mean(x) %均值 x_std=std(x) ; %标准差 x_var=x_std.^2 %方差

x_msv=x_var+x_mean.^2 %均方值

%计算高斯白噪声的相关函数%

[x_c,lags]=xcorr(x,200,'unbiased');%相关函数figure(2)

plot(lags,x_c);%画出相关函数的图形

title('白噪声的自相关函数')

grid on

% 利用periodogram函数计算功率谱%

nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1);

k=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(x_c));

[Pxx,f]=periodogram(x_c,window,nfft,Fs);

x_Px=Pxx(index+1);

figure(3)

plot(k,x_Px);

grid on

title('白噪声的功率谱')

Xlabel('Frequency/Hz')

%求白噪声的一维概率密度

[x_pdf,x1]=ksdensity(x);

figure(4)

plot(x1,x_pdf);%画出白噪声的一维概率密度

grid on

title('白噪声的一维概率密度')

%求高斯白噪声的频谱

f=(0:Ns-1)/Ns*Fs;

X=fft(x);%对白噪声进行傅里叶变换

mag=abs(X); %取信号X的幅度

figure(5)

plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2));%画出白噪声的频谱grid on

title('白噪声频谱');

xlabel('Frequency/Hz');

%产生一个十阶IIR带通滤波器

%通带为10KHz--20KHz，并得到其幅频响应

Fs=100000

[b,a]=ellip(10,0.5,50,[10000,20000]*2/Fs); [H,w]=freqz(b,a,512);

figure(6)

plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));

title('带通滤波幅频响应');

set(gcf,'color','white')

xlabel('Frequency Hz');

ylabel('Mag of frequency response');

grid on

%白噪声通过带通滤波器以及通过后y相关参数

y=filter(b,a,x);%白噪声通过带通滤波器

y_mean=mean(y) %y的均值

y_std=std(y); %标准差

y_var=y_std.^2 %方差

y_msv=y_var+y_mean.^2

[y_pdf,y1]=ksdensity(y);

figure(7)

plot(y1,y_pdf);%y的一维概率密度

grid on

title('y的一维概率密度函数图像');

[y_c,lags1]=xcorr(y,200,'unbiased');%计算y的相关函数figure(8)

plot(lags1,y_c);%画出y的相关函数的图形

title('y的自相关函数')

grid on

%计算y的频谱

Y=fft(y);%对y进行傅里叶变换

magY=abs(Y);

figure(9)

plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2));%画出y的频谱

grid on

title('白噪声通过带通滤波器的频谱');

xlabel('Frequency/Hz');

%y的功率谱

nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1);

ky=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(y_c));

[Pyy,fy]=periodogram(y_c,window,nfft,Fs);

y_Py=Pyy(index+1);

figure(10)

plot(ky,y_Py);

grid on

title('白噪声通过带通滤波器后的功率谱')

Xlabel('Frequency/Hz')

仿真波形：