定义新运算.汇总题库教师版

定义新运算

教学目标

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨

一定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.

如：2＋3＝5 2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

二定义新运算分类

1.直接运算型

2.反解未知数型

3.观察规律型

4.其他类型综合

模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘

积。

由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）

可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312

【答案】312

【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。6△（3△4）

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）

÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7

【答案】7

【巩固】 设a △2b a a b =?-?，那么，5△6=______，(5△2)△3=_____.

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】 56552613=?-?=△

52552221=?-?=△,1321216435=?-=△

【答案】435

【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示2

P Q +，求3*(6*8) 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】 68373*(6*8)3*()3*7522

++==== 【答案】5

【巩固】 已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ?=-,那么

[]4(68)(35)?⊕⊕?=.

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]=?+-⊕?-=?⊕4[13131]425=?+-=?425298=?-=

【答案】98

【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛

【解析】 原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+÷==+÷=????

【答案】2009

【巩固】 规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a

么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，二试

【解析】 19

【答案】19

【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。如果1△2

＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。

例题精讲

【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试

【解析】 1△2＝1×c ＋2×d =5，2△3＝2×c ＋3×d =8，

可得c =1,d =2

6△1000＝6×c ＋1000×d =2006

【答案】2006

【巩固】 对于非零自然数a 和b ，规定符号?的含义是：a ?b ＝

2m a b a b ?+??（m 是一个确定的整数）。如果1?4＝2?3，那么3?4等于________。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，二试

【解析】 根据1?4=2?3，得到

1423214223m m ?+?+=????，解出m =6。所以，634113423412?+?==??。 【答案】

1112

【例 3】 对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=

2x y x y x y

???+,求2△9。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】北京市，迎春杯

【解析】 根据定义6=2x y x y x y ???+于是有62922952295

???==+? 【答案】255

【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()

111x y xy x y A *=+++，已知 ()()11221212113

A *=+=?++，求19981999*。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】 根据题意得()()()()()()12111,,2116,1211322116

A A A A =-=++==++++，所以 ()()111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000

399811998199920001998000

+*=

+=+=?++????==?? 【答案】11998000

【例 4】 [A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:

([18][22])[7]+÷=.

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【解析】 因为21823=?有(11)(21)6+?+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.

原式(64)25=+÷=.

【答案】5

【巩固】 x 为正数,表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么

<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.

【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,

所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

【答案】11

【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例

如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.

【答案】42

【例 5】 我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数

中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996

??Θ+??+Θ的结果是多少？ 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【解析】 15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)( 2.25)9963412

??Θ+?+===?+Θ+ 【答案】12

【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）

& 5]×[ 5◎（3 & 7）]

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。

[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30

【答案】30

【巩固】 我们规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数。则

()()108651120=-?△△○13+15△

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛

【解析】 根据题目要求计算如下：

()()()()108651120=861315=228=56-?-?+?△○○13+15△ 【答案】56

【例 6】 如果规定a ※b =13×a -b ÷8，那么17※24的最后结果是______。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试

【解析】

17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】218

【巩固】 若用G （a ）表示自然数a 的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G

（6）=4，则G (36)+G (42)= 。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试

【解析】 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所

以有G 36G +=+=429817（）（）。

【答案】17

【巩固】 如果&10a b a b =+÷,那么2&5=。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2004年，第2届，希望杯，4年级，1试

【解析】 2&5=2+5÷10=2.5

【答案】2.5

【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为

244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，

例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，决赛

【解析】 偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、

1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981

【答案】254948903981

【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=

羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼

在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另

一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思

是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它

便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是

从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△

狼)

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【关键词】第五届，华杯赛，复赛

【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△

狼总等于狼，所以原式=狼

【答案】狼

【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗

规定：警察小偷=警察，警察小偷=小偷．

那么：（猎人小兔）（山羊白菜）=．

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】2009年，学而思杯，4年级

【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是白菜

【答案】白菜

模块二、反解未知数型

【例 10】 如果a △b 表示(2)a b -?,例如3△4(32)44=-?=,那么,当a △5=30时, a =.

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【解析】 依题意,得(2)530a -?=,解得8a =.

【答案】8

【巩固】 规定新运算※:a ※b =3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x =.

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【解析】 因为4※1=342110?-?=,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.故3x -20=7,解得x =9.

【答案】9

【巩固】 如果a ⊙b 表示32a b -,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x =

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【解析】 根据题意x ⊙5-5⊙x =(3x -2×5)-(3×5-2x )=5x -25,由5x -25=5,解得x =6.

【答案】6

【巩固】 对于数a 、b 、c 、d ，规定，＝2ab －c ＋d ，已知< 1、3、5、x >＝7，求x 的值。

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【解析】 根据新定义的算式，列出关于x 的等式，解出x 即可。将1、3、5、x 代入新定义的运算得：2×1×3

－5＋x ＝1＋x ，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x ＝7，x ＝6。

【答案】6

【例 11】 定义新运算为1a a b b

+=e ，⑴求2(34)e e 的值；⑵若4 1.35x =e 则x 的值为多少？ 【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【解析】 ⑴因为313414+==e ，所以212(34)2131

+===e e e ⑵14 1.354

x x +==e ，14 1.35 5.4, 4.4x x +=?==，所以x 的值为4.4. 【答案】⑴3⑵4.4

【巩固】 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ，其中a 、b 表示

自然数.如果(3)23660x **=，那么x 等于几？

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算

【解析】 方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数．36606061=?，即：60*23660=，

则360x *=；60345=??，即3*360=,所以3x =．

方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *23660=，y *2(1)36606061y y =+==?,所以60y =，那么也就有x *360=，60345=??，即3*360=，所以x 3=．

【答案】3

【例 12】 定义a b *为a 与b 之间（包含a 、b ）所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：

714=(7+9+11+13)4=10*÷，1810=(18+16+14+12+10)5=14 *÷．在算术(1999)=80**的方格

中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算

【解析】 1999=(19+99)2=59*÷，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是

80259101?-=；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80260100?-=．因此所填的数可能是100和101．

【答案】100和101

【巩固】 如有a #b 新运算，a #b 表示a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；

2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#x ））=5，则x 可以是________（x 小于50）

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算

【关键词】101中学，入学测试

【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的

方法.

第一步先把（21#x ）看成一个整体y .对于21#y =5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y 等 于（21-5）=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，

这样满足要求的数为26，47…，即形如21N +5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y 所 代表的式子（21#x ）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y 的值都得舍去.现在只剩下8，与16.

第二步求：（21#x ）=8与（21#x ）=16.对于（21#x ）=8可分别解得，把21作被除数时：x =13， 把21作除数时为：x =29，50，…形如21N +8的整数（N 是正整数）.

对于（21#x ）=16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x =37，58……所有形如21N +16 这样的整数.（N 是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37．

【答案】13,29,37．

【例 13】 已知x 、y 满足[]2009x y +=，{}20.09y y +=；其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示x 的

小数部分，即{}[]x x x =-，那么x =。

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第3题

【解析】 根据题意，[]y 是整数，所以2009[]x y =-也是整数，那么{}[]0x x x =-=，由此可得

20.09{}20.09020.09y x =-=-=，所以[]20y =，2009[]2009201989x y =-=-=。

【答案】1989

【例 14】 规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数．若（A ○5＋B △3）×（B ○5+

A △3）＝96，且A 、

B 均为大于0的自然数，A ×B 的所有取值为．（8级）

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A 或者B 有3

类不同的范围，A 小于3，A 大于等于3，小于5，A 大于等于5。对于B 也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。

1) 当A ＜3，B ＜3，则（5+B ）×（5+A ）=96=6×16=8×12，无解；

2) 当3≤A ＜5，B ＜3时，则有（5+B ）×（5+3）=96，显然无解；

3) 当A ≥5，B ＜3时，则有（A +B ）×（5+3）=96，则A +B =12.

所以有A =10，B =2，此时乘积为20或者A =11,B =1,此时乘积为11。

4) 当A ＜3，3≤B ＜5，有（5+3）×（5+A ）=96，无解；

5) 当3≤A ＜5，3≤B ＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；

6) 当A ≥5，3≤B ＜5，有（A +3）×（5+3）=27，则A =9.此时B =3后者B =4。则他们乘积有27与36两种；

7) 当A ＜3，B ≥5时，有（5+3）×（B +A ）=96。此时A +B =12。A 与B 的乘积有11与20两种；

8) 当3≤A ＜5，B ≥5，有（5+3）×（B +3）=96。此时有B =9.不符；

9) 当A ≥5，B ≥5，有（A +3）×（B +3）=96=8×12。则A =5,B =9，乘积为45。

所以A 与B 的乘积有11,20,27，36,45共五种

【答案】11,20,27,36,45

模块三、观察规律型

【例 15】 如果 1※2＝1＋11

2※3＝2＋22＋222

3※4＝3＋33＋333＋333＋3333

计算（3※2）×5。

【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算

【解析】 通过观察发现：a ※b 中的b 表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a 组成，都由一个数位，

依次增加到b 个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075

【答案】3075

【巩固】 规定:6※2=6+66=72

2※3=2+22+222=246,

1※4=1+11+111+1111=1234.

7※5=

【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算

【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415.

【答案】86415

【例 16】 有一个数学运算符号?，使下列算式成立：

248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73??=

【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算

【解析】 通过对248?=，5313?=，3511?=，9725?=这几个算式的观察，

找到规律：，因此

【答案】17

【巩固】 规定a △b (2)(1)a a a b =?+-+-, 计算：（2△1）++L （11△10）=______.

【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算

【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求

的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b ＝a －1，所以，我们不妨把b ＝a －1代入原定义．

a △

b (2)(1)a a a b =?+-+-就变成了a △b (2)(1)(1)a a a a =?+-+--=2a ．所以2△122=，3△2

23=，……，3△2211=，则原式22=＋23＋24＋…＋21111122315056

??=-=． 这里需要补充一个公式：22222(1)(21)12346

n n n n ?++++++=L L ． 【答案】505

【例 17】 一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为()S n ，为偶数的那些数字的和记为()E n ，例如

()134134S =+=，()1344E =．

()()12(100)S S S +++=L ；()(1)(2)100E E E +++L ＝．

【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算

【关键词】2007年，第5届，走美杯，5年级，决赛

【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。

数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。

所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；

所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。

【答案】400

模块四、综合型题目

【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2，43△14

1=，根据这几个算式找规律，如果 8

5△x =1，那么x =. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛

【解析】 规律是a △b =(a －b )×2, 所以85△x =1285=???

? ??-x ，即81=x 【答案】18

【例 19】 如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即

⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++。

现在规定一种运算"*"，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：

(,)*(,)(,)a b c d a c b d a c b d =?+??-?。

例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)=?+??-?=

请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试

【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)

(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)

所以“*”满足交换律

[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47)

(2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69)

所以“*”不满足结合律

【答案】 “*”满足交换律

“*”不满足结合律

【例 20】 用{}a 表示a 的小数部分，[]a 表示不超过a 的最大整数。例如：

{}[]{}[]0.30.3,0.30;4.50.5,4.54

====记2()21x f x x +=+，请计算

(){}()11,;1,133f f f f ???????????? ? ?????????????的值。 【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【关键词】2004年，希望杯，第二届，四年级，二试

【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1

【答案】0.4，1，0，1

【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连

的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图A 表示：2+3，B 表示2+3×2－

1。图C 中表示的式子的运算结果是________ 。

【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试

【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个

圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2

【答案】2

【例 22】 64222=??222???表示成()646f =;24333333=????表示成()2435g =.

试求下列的值:

(1)()128f =

(2)(16)()f g =

(3)()(27)6f g +=;

(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:()()()f x y f x f y ?=+.

【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【解析】 (1)()7(128)27f f ==;

(2)()()44(16)243(81)f f g g ====;

(3)因为()()336(27)636332(8)g g f f -=-=-===,所以(8)(27)6f g +=;

(4)略

【答案】(1)7 (2)81 (3)8

(4) 令2,2,m n x y ==则(),()f x m f y n ==.

()()()222()()m n m n f x y f f m n f x f y +?=?==+=+.

【例 23】 对于任意有理数x , y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y =ax by cxy +-,其中的,,a b c 表示已知数,等式

右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m =x (m ≠0),则m 的数值是 _________。

【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算

【解析】 由题设的等式x ※y =ax by cxy +-及x ※m =x (m ≠0),得000a bm c m ?+-??=, 所以bm =0,又m ≠0,故

b =0.因此x ※y =ax -cxy . 由1※2=3,2※3=4,得23264

a c a c -=??-=? 解得a =5,c =1. 所以x ※y =5x -xy ,令x =1,y =m 得5-m =1,故m =4.

【答案】4

【巩固】 x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y =mx +ny ，x △y =kxy ，其中m 、n 、k 均为自然

数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算

【解析】 x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y =mx +ny ，x △y =kxy ，其中m 、n 、k 均为自然数，

已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值.k 值求出后， l △2的值也就计算出来了，我们设1△2=a .

(1△2）*3=a *3，按“*”的定义：a *3=ma +3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值， 通过（2*3）△4=64求出k 的值.

因为1**2=m ×1+n ×2=m +2n ，所以有m +2n =5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：

12m n =??=?，223m n =???=??

（舍去）31m n =??=? ①当m =1，n =2时：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k

有32k =64，解出k =2.

②当m =3，n =1时：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k

有36k =64，解出719k =，这与k 是自然数矛盾，因此m =3，n =1，719

k =这组值应舍去。 所以m =l ，n =2，k =2.

（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.

【答案】10

【例 24】 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：a *b (1)(2)(1)a a a a b =+++++++-L ，其中a 、

b 表示自然数.⑴求1*100的值；⑵已知x *10=75，求x 为多少？⑶如果（x *3）*2=121，那

么x 等于几？

【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【解析】 ⑴1*100=1234(11001)5050++++++-=L

⑵x *10=(1)(2)(3)(101)1045x x x x x x +++++++++-=+=L 75,解得x =3

⑶方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个加数．1216061=+，即：60*2=121，则x *3=60；60192021=++，即19*3=60,所以x =19．

方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *2=121，y *2(1)121y y =++=,1216061=+所以y =60，那么也就有x *3=60，60192021=++，即19*3=60，所以x =19．

【答案】19

【巩固】 两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8

级）

(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;

(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;

(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x . 【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【解析】 (1)1991☉2000=9;

由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.

(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.

1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9. 2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13. 因此(2)的解为x =3,9,13.

(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.

用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19.

方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14.

当y =7时,分两种情况解19☉x =7.

1) x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.

2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=261927x =?+=45.

当y =14时,分两种情况解19☉x =14.

1) x <19,这时x 除19余14, x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的.

2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33.

总之,方程(19☉x )☉19=5有四个解,x =12,26,33,45.

【答案】(1)9；3；1(2)x =3,9,13. (3)x =12,26,33,45.

【例 25】 设a ,b 是两个非零的数,定义a ※b a b b a

=+. (1)计算(2※3)※4与2※(3※4). (2)如果已知a 是一个自然数,且a ※3=2,试求出a 的值. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【解析】 (1)按照定义有2※32313326=+=,3※434254312=+=.于是(2※3)※4136

=※4=1341324745613424133126+=+=.2※(3※4)=2※25

2522425120112251222524600

12

=+=+=.

(2)由已知得

323a a

+=① 若a ≥6,则3a ≥2,从而323a a

+>与①矛盾.因此a ≤5,对a =1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a =3符合要求.

【答案】(1) (2※3)※4745312=；2※(3※4)1201600

=. (2) a =3

【巩固】 定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b .

比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)说明,如果c 整除a 和b ,则c 也整除a ⊙b ;如果c 整除a 和a ⊙b ,则c 也整除b ;

(3)已知6⊙x =27,求x 的值. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3, 因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.

(2)略

(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为 6与x 的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的倍数,可见 6和x 的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.

由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x ?=?.

所以15x =.

【答案】(1)81；10

(2)如果c 整除a 和b ,那么c 是a 和b 的公约数,则c 整除a ,b 的最大公约数,显然c 也整除a ,b 最小 公倍数,所以c 整除最小公倍数与最大公约的差,即c 整除a ⊙b .

如果c 整除a 和a ⊙b ,由c 整除a 推知c 整除a ,b 的最小公倍数,再由c 整除a ⊙b 推知,

整除a ,b 的最大公约数,而这个最大公约数整除b ,所以c 整除b .

(3)15x =

【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3=234++；7⊙2=78+：3⊙5=34567++++，……

按此规则，如果n ⊙8=68，那么，n =____.

【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，

⊙后面的数表示加数的个数，于是(1)(2)(7)68n n n n +++++++=L ，即(3)(4)684n n +++=÷ .5n =

【答案】5n =

【例 26】 国际统一书号ISBN 由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和

书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：

某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：

①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；

②207÷11＝18……9；

③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。

依照上面的顺序，求书号ISBN -7-303-07618-□的核检码。

【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试

【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196； 19611179÷=L ；

1192-=。

所以该书号的核检码是2.

【答案】2

【例 27】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B ，图1

中的路线对应下面的算式：121221216-+++-++=.请在图2中用粗线画出对应于算式：21222111--++++++的路线．

【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【关键词】2003年，希望杯

【解析】 如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要

减去2，向右前进一格要加上2.

【答案】