理科数学全国二卷试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.31i i

+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{}

240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）

A ．90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π

5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则2z x y =+的最小值是

（ ）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根

据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9.若双曲线C:22221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224

x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）

A

．2 B

D

10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与

1C B 所成角的余弦值为（ ）

A

．

2 B

．5 C

．5

D

．3 11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 12.已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（ ）

A.2-

B.32-

C. 4

3

- D.1-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = ．

14.函数(

)23sin 4f x x x =+-（0,2x π??

∈????

）的最大值是 ．

15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11

n

k k

S ==∑

． 16.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为

F N 的中点，则F N = ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2

B

A C +=．

(1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）其频率分布直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新

养殖法的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率；

（2

（3

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值

20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足

为N ，点P 满足2NP NM =. (1) 求点P 的轨迹方程；

(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点

F .

21.（12分）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知330,0,2a b a b >>+=，证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 2n

1

n + 16. 6 三、解答题 17.解：

（1）由题设及2

sin 8sin 2

A B C B π

π++==得，故

上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17

1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==

得，故14

a sin 217

ABC S c B ac ?== 又17

=22

ABC S ac ?=，则

由余弦定理及a 6c +=得 所以b=2 18.解：

（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ” ，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”

由题意知 ()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 故()P B 的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为 故()P C 的估计值为0.66

因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?= （2

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为

()0.0040.0200.04450.340.5++?=<，

箱产量低于55kg 的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34

50+

2.35kg 0.068

（）

≈5． 19.解：

（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．

因为E 为PD 的中点，所以EF AD ,12

EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=?得BC AD ∥，又

1

2

BC AD =

所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形， CE BF ∥．

又BF PAB ?平面，CE PAB ?平面，故CE PAB ∥平面 （2）

由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则(000)A ，，，(100)B ，，，(110)C ，，

，(01P ，，

(10PC =，，,(100)AB =，，则

因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而(00)=n ，，1是底面ABCD 的法向量，所以

0cos ,sin 45BM =n

=即（x-1）2+y 2-z 2=0

又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=则

由①，②得x x y y ????????????

??=-=????

=1+=1-22=1(舍去)，=1

z z 22 所以

M 1-,1? ??

，从而1-,1?= ??

AM

设()000,,x y z m =是平面ABM 的法向量，则 所以可取m =（0，

2）.于是cos 10=

=m n

m,n m n

因此二面角M-AB-D 20.解

（1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y

由2=NP NM 得00=,=

x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22

122

+=x y

因此点P 的轨迹方程为222+=x y

（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则

()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn ，

由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0

所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：

（1）()f x 的定义域为()0，

+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1

1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x

若a =1，则()1

1-

g'x =x

.当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，a=1

（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1

22ln ,则'()2h x x x h x x

=--=-

当10,2x ?

?

∈ ???时，()'＜0h x ；当1

,+2x ??

∈∞ ???时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2?

?

???单调递减，在1

,+2??

∞ ?

??

单调递增

又()()21＞0,＜0,102h e h h -??= ???

，所以()h x 在10,2?? ??

?

有唯一零点x 0，在1,+2

??

∞???

?

有唯一零点1，且

当()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x . 因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01'＜4

f x

因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()110,1,'0e f e --∈≠得 所以()2-20＜＜2e f x - 22.解：

（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知 由16OM OP =得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ

因此2C 的直角坐标方程为()()2

2

240x y x -+=≠

（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B ραρ,由题设知

cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积

当=-

12

π

α时，S 取得最大值

所以△OAB 面积的最大值为 23.解： （1） （2）因为

所以()3

+8≤a b ，因此a+b≤2.