高中数学：3.1.1《实数指数幂及其运算》 _1

《实数指数幂及其运算》教案

第一课时

学习目标

1．知识与技能目标

理解整数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；

理解根式的概念和性质，并能用于相关计算中.

2．过程与方法目标

通过复习回顾初中所学二次根式的相关性质，用类比的思想来完成根式的学习；

3．情感态度与价值观目标

通过复习回顾旧知识，来完成新知识的学习，在这一过程中培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；

重点难点

教学重点：根式的概念、性质

教学难点：根式的概念

教学过程

（I ）复习回顾

师：在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质.现在，我们一起来看屏幕.

a 0=1（a ≠0）

n a a 1=-（a ≠0,n +N ∈）师：这儿我们为什么都要求a ≠0？（引导学生分析清楚）

师：另外，我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念.

则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根.这样，我们可以给出n 次方根的定义.

（II ）讲授新课

1.n 次方根的定义：

若x n =a(n>1且n ∈N*)，则x 叫做a 的n 次方根.

师： n 次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x 如何用a 表示呢？

生：正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数.

师：跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.

这样，再由n 次方根的定义我们便可得到n 次方根的性质：

2.根式运算性质：

①

a a n n =）（（n>1,且n +N ∈） ,

||,a n a n ?=??当为奇数时；当为偶数时

师：关于性质的推导，我们一起来看：

师：性质②有一定变化，大家应重点掌握，接下来，我们来看例题：

3.例题讲解

)(||)()4(3

|3|)3()3(10

|10|)10()2(8

81244233b a b a b a b a >-=-=--=-=-=-=--=πππ）（－）（

师：根指数 n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉性质运用，请大家来做练习题.

（III ）课堂练习

.625)4()32()3()3()2(,321245----，）（

（IV ）课时小结

（V ）课后作业

教材练习A ：1

第二课时

学习目标

1．知识与技能目标

理解分数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；

会对根式、分数指数幂进行互化；

了解无理指数幂.

2．过程与方法目标

通过复习回顾初中所学的整数指数幂及上节课所学根式的相关性质，用类比的思想来完成分数指数幂的学习；

3．情感态度与价值观目标

培养学生用联系观点看问题；

教学重难点

教学重点：

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解.

教学过程

（I）复习回顾

师：上一节课，我们一起复习了整数指数幂折运算性质，并学习了根式的运算性质.

师：对于整数指数幂运算性质（2），当a>0,m,n是分数时也成立.

（说明：对于这一点，课本采用了假设性质（2）对a>0,m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广性质（2），为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备）.

师：对于根式的运算性质，大家要注意被开方数a n的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子.

幂运算性质（2）.因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.

（II ）讲授新课

1.正数的正分数指数幂的意义： 1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m n m 且

师：大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

2.规定：

（1）)1*,,,0(1

>∈>=-n N n m a a a n m

n m

且

（2）0的正分数指数幂等于0.

（3）0的负分数指数幂无意义.

师：规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：

3.有理指数幂的运算性质：

（1）a r ?a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q)

（2）(a r )s =ar ?(a>0,r,s ∈Q)

（3）(a ?b)r =a r ?b r (a>0,b>0,r ∈Q)

4.例题讲解

例2：求值：2

13332

41168100481－－－，，（），（）。分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.

解：

。＝）＝（）＝（）（；＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－8

2732328116642224

1101101010100422

28343443632323121221221

232332332???? 例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质.

)0(,,3232>??a a a a a a a 式中

解：

)()(;;43

21232121311323323323252122122a a a a a a a a a a a a a a

a a a a ==?===?=?==?=?++

5．无理指数幂

师：若a>0,p 是一个无理数，则a p

（如以推广到无理指数幂.

我们现在还无法给出无理指数幂严格的定义，但是上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，而有关概念和证明我们现在也不考虑.

现在我们可能还有一些疑问，

1.4，1.41，1.414

；

1.5，1.42，1.415

其次，我们相应地可用有理指数幂的序列

31.4，31.41，31.414，……或31.5，31.42，31.415，……

来近似地计算无理指数幂.

一般地，当a>0，α为任意实数时，实数指数幂a α都有意义.

例1．利用科学计算器计算（精确到0.001）：

1.5223

0.2; 3.14; 3.1;

例2．利用科学计算器计算函数值.已知

，求，(-)，(-),(),(),() (精确到)。

f(x) 2.72f(3)f2f1f1f2f30.001

课后作业

教材练习A：2，3；B：1，2，3

人教版高中高二文科数学选修1-2测试题教学教材

高二数学（文）选修1-2测试题（60分钟）满分：100分考试时间：2018年3月姓名：班级：得分：附：1.22 (),()()()() n ad bc K n a b c d a b a c b c b d -= =+++++++ 2.“X 与Y 有关系”的可信程度表： P (K 2≥k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、单项选择题（每题4分，共40分。每题只有一个选项正确，将答案填在下表中） 1、下列说法不正确的是（） A ．程序图通常有一个“起点”，一个“终点” B ．程序框图是流程图的一种 C ．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成 D ．流程图与结构图是解决同一个问题的两种不同的方法 2．给出下列关系：其中具有相关关系的是（） ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积。 A ．①②③ B ．①③④ C ．②③ D ．①③ 3、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中的白色地面砖有( )． A ．4n －2块 B ．4n ＋2块 C ．3n ＋3块 D ．3n －3块 4、如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则直接影响“计划” 要素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。 A.假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角都大于60度； C. 假设三内角至多有一个大于60度； D. 假设三内角至多有两个大于60度。 6、在复平面内，复数 103i i +的共轭复数应对应点的坐标为（） A ． (1,3) B ．(1,-3) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 7、已知两个分类变量X 和Y ，由他们的观测数据计算得到K 2的观测值范围是3.841 D ．101?A ≥ 二、填空题：（每小题4分，共16分） 11、对于一组数据的两个线性模型，其R 2分别为0.85和0.25，若从中选取一个拟合效果好的函数模型，应选（选填“前者” 或“后者”） 12、2006 )11( i i -+=___________ 13、若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积12 S r a b c =++（）；利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，；则四面体的体积V= 14、把“函数y=2x+5的图像是一条直线”改写成三段论形式：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ???∑∑∑∑n n i i i i i=1 i=1 n n 2 2 2i i i=1 i=1 (x -x)(y -y) x -nxy b == , (x -x)x -nx a =y -bx y 开始 ① 是否 S ＝0 A ＝1 S ＝S +A A ＝A +2 输出x 结束

高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；

过点（1，0），即当x =1，y =0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数，在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。【例题选讲】例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小：（1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =．例4、设函数f （x ）＝x 3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ．（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．

高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾

高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论；二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函

高一数学必修一知识点整理归纳

高一数学必修一知识点整理归纳【集合与函数概念】一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：https://www.360docs.net/doc/a811960155.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数

高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

幂函数【知识梳理】 1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞， 0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞， 0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋ ∞)上单调递增定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．

特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}．【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法

高一数学必修1基础试题附答案

高一数学必修1基础试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.11 2.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则 A.A B B.B A C.A =B D.A ∩B =? 3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2 ＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ＝{x |31 C.00，则a 的取值范围是 A.(0，12 ) B.(0，?? ?21 C.( 1 2 ，+∞) D.(0，+∞) 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上) 13.若不等式x 2 ＋ax ＋a －2>0的解集为R ，则a 可取值的集合为__________.