【江苏省南通市】2017年高考一模数学试卷-答案

江苏省南通市2017年高考一模数学试卷

答 案

1．

2π3

2．{135},, 3．3-

4．0.17

5．5

6．7

7．20

8．32

9

10．1322

11

12

13．(,2)(2,)-∞-+∞

14

．

15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+?∠-，

所以，2222221135cos 22115OA OB AB AOB OA OB +-+-∠=

==??， 即3cos 5β=

． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ

∈

，∴4sin 5

β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13

α=，

因为α

为锐角，所以12sin 13

α===． 所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565

αβαβαβ+=-=?-?=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+

1235456sin 13513565

β=?+?=， 即点3356(,)6565

B -． 16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为A

C 中点． 又因为E 为PC 的中点，

所以//OE PA ．…4分

又因为OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，

所以直线//PA 平面BDE ．…6分

（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分

因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分

又因为PD ?平面PCD ，PC ?平面PCD ，PC

PD P =，

所以OE ⊥平面PCD ．…12分

又因为OE ?平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．

17．解：（1

）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分

解得a =1c =，1b =． 所以椭圆的方程为2

212

x y +=．…4分 （2）由题意知OP 的斜率存在．

当OP 的斜率为0时，

2OP =，2OQ =，所以

．…6分

当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =． 由2

212x y y kx ?+=???=?

得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+， 所以22

22221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k

=．

由1y y x k ?=??=-??

得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********

k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22

111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2

FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分

所以四边形MNPE 的面积2?2S PN MN m ==．…5分

（2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<

，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=． 所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ

=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ?->???->???<???>*???<

所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ

=+=-+-?=-- 2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ

+=--=-+…12分

66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=

，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3

EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，

最大值为26-．…16分

解法二：

设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．

因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =

t BP -． 所以2

132(3)t BP t -=-，2

13333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分 由2236

1302(3)1330

2(3)t t t t

t t ??<?-??-?-+>-??

得2

36()12310

t t t t <

>*??

-+

所以四边形MNPE 面积为2

2

1

11333067

()[(3)(6)]2222(3)2(3t)

t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-?=-- …12分

3

2

6[(3)]623t t =--+≤--． 当且仅当32

(3)23t t -=-

，即33t ==+时取“=”．…14分

此时，（*）成立．

答：当点E 距B

点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，

最大值为6-2．…16分．

19．解：（1）当3

8a =时，23

()ln 8f x x x x =--． 所以31(32)(2)

'()144x x f x x x x +-

=--=，0x (＞)．…2分

令'()0f x =，得2x =，

当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞， 所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1

(2)ln 22f =--．…4分

（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121

'()21ax x

f x ax x x --=--=，0x >．

所以当0a ≤时，221

'()0ax x f x x --=<，