坐标正反算法在盾构隧道曲线段中的应用

坐标正反算法在盾构隧道曲线段中的应用

宗永倩郝伟李雁沼

摘要深圳地铁7号线西丽湖站～西丽站区间隧道左线长1723.561m，右线隧道长1744.961m，是全线区间最长的盾构隧道，区间线路设计有多处转弯段，一般的测量计算较为复杂，尤其在施工测量放线及掘进过程中管片轴线偏差复核时要求精度高，难度较大。本文结合深圳地铁7号线7301-2标项目的实际情况和地铁隧道曲线的特点，利用曲线参数方程在泰勒级数展开式的基础上，略去高次项，推导出曲线范围内已知任意点P中桩里程和偏距计算坐标的坐标正算公式；在迭代法的基础上探究坐标反算，推导出一种已知任意点P坐标反算中桩里程和偏距的一元二次直接求解近似方程；

实际中利用公式编制出方便快捷的Excel公式，较好的解决了这一难题。

关键词坐标正反算盾构隧道曲线段测量

1 工程概况

深圳市城市轨道交通7号线7301-2标施工范围为西丽湖站、西丽站及西丽湖站～西丽站区间，采用盾构法施工。其中左线隧道长1723.561m，右线隧道长1744.961m，区间正线线间距为9.73～39.63m，左线设计隧道转弯半径分别为350m、1200m、500m、3000m，右线隧道转弯半径分别为500m、1200m、500m。

2 正算公式推导

曲线要素：曲线半径R，偏移量e，第一缓和曲线长，圆曲线长，第二缓和曲线长，第一直线前视方位角，第二直线前视方位角，ZH点坐标(，)，HY点坐标(，)，HZ点坐标(，)，圆心O坐标(，)。曲线上任一点的切线与第一直线的夹角。已知曲线内任一点P的桩号和偏距，计算P点的坐标(。

2.1 第一段缓和曲线

图1 缓和曲线内任意点P坐标正算的求解示意图

（1）建立以ZH点为原点，过ZH点的缓和曲线的切线为X轴，ZH点上缓和曲线的半

径为Y轴的直角坐标系，如图1所示。

点P的中桩坐标：

（2）为了在已知坐标的测量控制点上进行曲线放样，必须将以ZH点为原点的切线直角坐标系中的曲线坐标转换到线路导线测量坐标系中，由第一直线在测量坐标系中前视方位角和ZH点在测量坐标系中的坐标(，)，求得曲线任意点P在测量坐标系中的中桩坐标为(，)。

曲线位于ZH点切线的左侧：

曲线位于ZH点切线的右侧：

（3）利用点P中桩坐标(，)代入公式计算偏距为d的边桩坐标(，

)。

偏距为d的边桩坐标：

（“”，为“”）

2.2 圆曲线

图2 圆曲线内任意点P坐标正算的求解示意图

（1）建立以HY点为原点，过HY点的圆曲线的切线为X轴，HY点上圆曲线的半径为Y 轴的直角坐标系，如图2所示。

点P的中桩坐标：

（2）P点中桩坐标经坐标转换公式转换到测量坐标系中得到，。

HY点切线方位角

（“”，为“”）

偏距为d的边桩坐标：

（“”，为“”）

2.3第二段缓和曲线

计算方法参考第一段缓和曲线。

3 反算公式推导（以左偏曲线为例）

曲线要素：曲线半径R，偏移量e，第一缓和曲线长，圆曲线长，第二缓和曲线长，第一直线前视方位角，第二直线前视方位角，ZH点桩号，坐标 (，)，HY点桩号，坐标 (，)，HZ点桩号，坐标 (，)。曲线上任一点的切线与第一直线的夹角。已知曲线内任一点P坐标 (，求P点的桩号和偏距。3.1 第一段缓和曲线

图3 缓和曲线内任意点P坐标反算的求解示意图

（1）P点(经坐标转换公式转换到以ZH点为原点，过ZH点的缓和曲线的切线为X轴，ZH点上缓和曲线的半径为Y轴的直角坐标系中得到P (，如图3所示。

坐标

P点对应的弧长为

设

经过实际检验，只能取其一得到最终解

点中桩里程

（2）在点弧长已求得的情况下，可计算得到点在以ZH点为原点，过ZH点的缓和曲线的切线为X轴，ZH点上缓和曲线的半径为Y轴的直角坐标系中的中桩坐标。

点K的中桩坐标：

（3）通过坐标转换得到K点在测量坐标系中的中桩坐标

K点的切线方位角

（4）点P到点K的距离即为P点偏离线路中心线的距离，因偏移量为e，所以点P距隧道中心线的距离为

（“”，为“”）

3.2 圆曲线

图4 圆曲线内任意点P坐标反算的求解示意图

如图4所示，根据已知条件求得圆心坐标(，)、方位角和，则P点桩号和偏距分别为

3.3 第二段缓和曲线

计算方法参考第一段缓和曲线

4 坐标正反算法应用

4.1 坐标正算应用

在深圳地铁7号线西丽湖站～西丽站区间，最小曲线半径为350m的第一缓和曲线段坐标正算应用中，采用坐标正算法计算相应坐标与专业软件计算成果进行对比，实测计算的六组坐标正算成果及其误差比较见表1。

（mm）（mm）

4.2 坐标反算应用

在深圳地铁7号线西丽湖站～西丽站区间，最小曲线半径为350m的第一缓和曲线段管片轴线复核应用中，采用坐标反算法计算相应桩号和偏距与专业软件计算成果进行对比，实测计算的六组隧道中心坐标反算成果及其误差比较见表2。

根据表中的EXCEL公式计算成果和专业软件计算成果误差比较可得知，在盾构隧道最小半径段，以上公式的计算精度仍能满足工程施工需要及轨道交通测量规范要求。

4.3 公式应用注意事项

当任意点P位于直线段时的坐标的正反算和点P位于圆曲线段时的坐标的反算均为采用三角函数的运算方法直接求解，计算结果准确无误，不存在任何误差。当任意点P位于第一缓和曲线段、圆曲线段、第二缓和曲线段时，其坐标正算是利用曲线方程在泰勒级数展开式的基础上略去高次项求解坐标，计算结果含有一定误差，但因曲线方程已经取了足够的高次项，误差已经很小，计算结果的误差都在1mm以内。当任意点P位于第一缓和曲线段、第二缓和曲线段时，其对应中桩里程及偏距的直接求解法使用了缓曲线近似方程，计算结果含有一定误差，但因取了足够的高次项，误差已经很小。一般情况下，偏距d远小于曲线半径R，或曲线半径R比较大时，计算结果的误差都在1mm以内甚至更低，具体施测应用中，隧道结构物的位置均在中线两侧的数十米范围内，其偏距d均较小，再考虑到点P坐标在实际获取过程中比如置棱镜误差等的产生，盾构施工与验收规范要求管片中心轴线偏差（横向±100mm，竖向±100mm），贯通误差（横向±50mm，竖向±25mm，纵向为±50mm），故直接求解法完全可以满足工程施工需要及测量规范要求。

5 结语

深圳地铁7号线西丽湖站～西丽站区间盾构隧道于2015年3月已顺利贯通，由以上公式编制的Excel表格在盾构施工测量放线、管片轴线误差复核、竣工断面测量中得到了较好的应用，大大缩短了计算的时间，提高了工作效率。