安徽省宿州市十三所省重点中学2020学年高一数学上学期期中联考试题

安徽省宿州市十三所省重点中学2020学年高一数学上学期期中联考

试题

(满分150分，时间120分钟)

第I卷(60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。)

1.映射f：A→B，在f作用下A中元素(x，y)与B中元素(x－1，3－y)对应，则与B中元素(0，

1)对应的A中元素是

A.(－1，2)

B.(0，3)

C.(1，2)

D.(－1，3)

2.函数

1

3

y x

=的图象是

3.已知A＝{x|－1＜x＜k，x∈N}，若集合A中恰有3个元素，则实数k的取值范围是

A.(2，3)

B.[2，3)

C.(2，3]

D.[2，3]

4.下列表示错误的是

A.??{?}

B.{1}∈{{0}，{1}}

C.A∪?＝A

D.

R

eQ＝无理数

5.已知集合A＝{x|1＜x＜2}，关于x的不等式2a＜2－a－x的解集为B，若A∩B＝A，则实数a 的取值范围是

A.(－∞，－1]

B.(－∞，－1)

C.(－1，＋∞)

D.[－1，＋∞)

6.若函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝

(2)

2

f x

的定义域是

A.[－1

2

，

1

2

] B.[－

1

2

，0)∪(0，

1

2

] C.[0，1)∪(1，4] D.(0，1]

7.设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则a，b，c的大小关系为

A.a

B.b

C.a

D.b

8.设2a＝5b＝m，且11

1

a b

+=，则m等于

9.函数f(x)＝|x －2|－lnx 在定义域内的零点的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0且a≠1)的图象不经过第一象限，则有

A.a>1且b≤0

B.a>1且b≤1

C.0

D.0

11.已知函数242,1()1log ,1

x ax x f x a x x +-

A.(1，2]

B.(－∞，2]

C.2

D.(0，2]

12.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－2m)4－x －2－x ＋3＜0恒成立，则实数m 的取值范围是

A.(0，2)

B.[0，2]

C.(－2，4)

D.[－2，4]

第II 卷(90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.函数f(x)＝lg(2x 2＋1)的值域为 。

14.计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝ 。

15.已知函数f(x)＝

(0，1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 。

16.对于给定的函数f(x)＝a x －a －x (x ∈R ，a ＞0，a≠1)，下列正确的是 。(只需写出所有正确的编号)

①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R 上不具有单调性；

③函数f(|x|)的图象关于y 轴对称； ④当a ＞1时，函数f(|x|)的最大值是0； ⑤当0＜a ＜1时，函数f(|x|)的最大值是0。

三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知集合A ＝{x|x ＜－1，或x ＞2}，B ＝{x|2p －1＜x ＜p ＋3}，若A∩B＝B ，求实数p 的取值范围。

18.(12分)设f(x)＝log a (1＋x)＋log a (3－x)(a ＞0，a≠1)，且f(1)＝2。

(1)求a 的值；

(2)求f(x)在区间[0，32

]上的最大值。 19.(12分)已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ?-+>?==??+

，是奇函数。

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围。

20.(12分)已知函数f(－x)＋1，g(x)＝ax。

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若存在x∈[1，4]，使f(x)＞g(x)成立，求实数a的取值范围。

21.(12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t(天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格(单

位：元)为g(t)＝1

2

t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格(单位：元)为g(t)＝40(31≤t≤50，

t∈N)。

(1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t(天)的函数关系；

(2)求日销售额S的最大值。

22.(12分)已知函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝ax－2a＋1。

(1)若对任意x1∈[1，4]，总有x2∈[1，4]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围；

(2)定义区间[m，n]的长度为n－m，若函数y＝f(x)(x∈[1，t])的值域区间长度为D，是否存在常数t，使得区间D的长度为5－2t？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由。

宿州市十三所重点中学2020学年度第一学期期中质量检测

高一数学参考答案

1.A

2.B 【解析】 取81,81-=x ，则21,21-=y ，选项B ，D 符合；取1=x ，则1=y ，选项B 符合题意．

3.C

4.D

5.A 解析 由2a <2－a －x ，解得x <－2a ，即B ＝{x |x <－2a }。

∵A ∩B ＝A ，∴A ?B ，∴2≤－2a ，解得a ≤－1。

6．D 解析：由已知有022010

x x x ≤≤??<≤?≠?，答案：D

7.B 解析：因为y ＝log 5x 在定义域内是单调递增函数，所以b ＜a 。又log 54＜1＜log 45，所以a ＜c ，即b ＜a ＜c 。

8.B 解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，

所以1a ＋1b

＝log m 2＋log m 5＝log m 10. 因为1a ＋1b ＝1，所以log m 10＝1.所以m =10

9.C 解析：由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示。由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 故选C.

10.C

11.D 解析：当0>a 时 若x ≥1时，f (x )＝1＋alog 2x ≥1，

若x ＜1时，f (x )＝x ＋4－2a 最大值=)1(f 1+4-2a 必须大于或等于1，才能满足f (x )的值域为R ，可得1+4-2a ≥1解得]2,0(∈a ．

当0≤a 时，若x ≥1时，f (x )＝1＋alog 2x ≤1，，若x ＜1时，f (x )＝x ＋4－2a ≤=)1(f 1+4-2a ，不符合题意，故选D 。

12.B 解析 原不等式变形为m 2－2m <8?2x

， ∵函数y ＝2x

在(－∞，－1]上是增函数， ∴0<2x

≤21

，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－2m <8?2x 恒成立等价于 22002m m m ≤?≤≤－，故选B.

二填空题

13.[0,+∞)

14.6 解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102

×0.25)＝4＋log 525＝6.

15. ()(],00,1-∞? 解析：当0a =时，()0f x =不符合题意；当0a >时，符合题意，又101a a -≥?≤，故(]0,1a ∈；当0a <时，符合题意。综上()(],00,1a ∈-∞?

16.①③⑤ 解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①真；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当01时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，④假，当0

三、解答题

17.解：当?=B 时， 4,312≥+≥-p p p 4分

当?≠B 时，

??

???≥-+<-?????-≤++<-2123

1213312p p p p p p 或，423,4<≤-≤∴p p 或 ..8分 2

3,4≥-≤∴p p 或 10分 18.解： (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，

∴a ＝2 2分

(2)由????? 1＋x>0，3－x>0，得x ∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)

4分

f (x )＝lo

g 2(1＋x )＋log 2(3－x )

＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， 7分

∴当x ∈(－1,1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，∴函数f (x )在30,2??????

上的最大值是f (1)＝log 24＝2 12分

19．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，

所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .

又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，

于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2. .. 6分

(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，

作出f (x )的图象如图所示，

结合f (x )的图象知

????? a －2＞－1，a －2≤1， .10分

所以1＜a ≤3，

故实数a 的取值范围是(1,3]． 12分

20.解：（1）易知()1f x x =+ 1分 令120x x >>，则()()12

121212

0f x f x x x x x -=-=>+，

即()()12f x f x >，故()f x 在()0,+∞上单调递增. 6分

（2）由[]1,4x ∈()()2

f x

g x a x x >?<+ ???，

∴存在[]1,4x ∈，2

a x x <+ ???成立，故2max

a x x ?

?

<+ ? ? ?????，

10分

而2max

2x x ??

+= ? ? ?????，故2a < . 12分

21．解：（1）根据题意，得

S=，

=

.5分

（2）当1≤t ≤30，t ∈N 时，S=﹣（t ﹣20）2+6 400，

当t=20时，S 有最大值，为6 400； 8分 当31≤t ≤50，t ∈N 时，S=﹣80t+8 000为减函数，

当t=31时，S 有最大值，为5520 11分 ∵5520＜6 400，

∴当销售时间为20天时，日销售额S 有最大值，

最大值为6400元 12分

22. 解：（1）由题知当[]1,4x ∈，)}(|{)}(|{x g y y x f y y =?= 当[]1,4x ∈，()[]1,3f x ∈-；

当0a =时，()1g x =时不符合题意； 2分

当0a >时，()[]1,12g x a a ∈-+，

要使[][]111,31,122123a a a a a -≤-?-?-+??≥?+≥?,

. 4 分

当0a <时，()[]12,1g x a a ∈+-， 要使[][]1211,312,1213a a a a a +≤-?-?+-??≤-?

-≥?, 6分 综上(][),22,a ∈-∞-?+∞ 7 分

（2）由题意知151520

2t t t >??<?,，当12t <<时，在[]1,t 上，()1f 最大，()f t 最小，故()()15224f f t t t -=-?=或，t =4不符合题意舍去；当522t ≤<

时，在[]1,t 上，()1f 最大，()2f 最小，

故()()12522f f t t -=-?=，符合题意.

综上，存在实数2t =满足题意. 12分