《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案

《误差理论与数据处理》(第七版)

习题及参考答案

第一章 绪论

1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：

绝对误差等于： 相对误差等于：

1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。

%

108.66 %

1002.31

1020 100%

max

max 4-6

-?=??=?=

测得值

绝对误差相对误差

1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？

%5.22%100%100

2

100%

<=?=

?=

测量范围上限

某量程最大示值误差

最大引用误差

该电压表合格

1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差

L 1:50mm 0.008%100%5050

004.501=?-=

I

L 2:80mm 0.0075%100%80

80

006.802=?-=

I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个

21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈='

''

'''??''=''＝o

射击精度高?

解：

射手的相对误差为：

多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为

m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。

其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差

0.01%110111±=±

=mm m

I μ

0.0082%11092±=±=mm m

I μ

%008.0150123±=±=mm

m

I μ

123I I I <<第三种方法的测量精度最高

第二章 误差的基本性质与处理

2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

168.41168.54168.59168.40168.50

5

x ++++=

168.488()mA =

)(082.01

55

1

2

mA v

i i

=-=

∑=σ

0.037()x mA σ=

=

= 或然误差：0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==?= 平均误差：0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==?=

2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.0011

5

x ++++=

20.0015()mm =

0.00025σ=

=

正态分布 p=99%时，t 2.58= lim x x

t δσ=±

2.58=± 0.0003()mm =±

测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±

2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差

mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为

99%时，试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时，t 2.58=

lim x t

δ=±

2.580.004

2.064

0.005

4.265

n n ?=

===取

2－9 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有

0015.0≤±=±n

t

t x σ

σ

根据题目给定得已知条件，有

5.1001

.00015

.0=≤

n

t

查教材附录表3有

若n ＝5，v ＝4，α＝0.05，有t ＝2.78，

24.1236

.278

.25

78.2==

=

n

t 若n ＝4，v ＝3，α＝0.05，有t ＝3.18，

59.12

18

.34

18.3==

=

n

t 即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288

1

8

1Pa p

x

p x i i

i i

i ==

∑∑==

)(95.86)18(81

8

1

2

Pa p v p i i

i xi

i x ≈-=

∑∑==σ

2-13测量某角度共两次，测得值为6331241'''= α，

''24'13242

=α，其标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。

961:190441

:

1

:2

2

2

1

21==

σσp p

''35'1324961

19044'

'4961''1619044''20'1324

=+?+?+

=x

''0.3961

1904419044

''1.32

1

≈+?

==∑=i i

i

x

x p

p i

σσ

2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下：

;

5127,0227,5327,037,0227:''''''''''''''' 甲α

;5427,0527,0227,5227,5227:''''''''''''''' 乙α

试求其测量结果。 甲：20"60"35"20"15"

72'72'30"5

x ++++=+

=甲

σ甲

18.4"=

x 8.23"σσ=

=

=甲 乙：25"25"20"50"45"

72'72'33"5

x +++

+=+

=乙

σ=

=

乙

13.5"=

x 6.04"σ==

=乙 22

22

x x

1

1

11

::

:3648:67738.23 6.04

p p σσ=

=

=乙

乙甲甲 364830"677333"

72'36486773

p x p x x p p +?+?=

=+++甲乙乙甲乙甲72'32"=

78.46773

36483648

32.8''=+?

''=+=乙

甲甲甲

p p p x x σσ

''15''32'273±=±= x x X σ

2-16重力加速度的20次测量具有平均值为2

/811.9s m 、标准差为

2/014.0s m 。另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ，标准差为

2/022.0s m 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均

值和标准差。 147:24230022.01:

20014.011

:

1

:2

2

22212

2

21

=??

? ????

? ??=

=

x

x p p σσ

)/(9.808147

2429.802

1479.8112242s m x ≈+?+?=

）

（2m/s 0.0025147242242

20

014.0≈+?=

x σ

2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14=x

按贝塞尔公式 2633.01=σ

按别捷尔斯法0.2642)

110(10253.110

1

i 2≈-?

=∑=i

v

σ

由

u +=112σσ 得 0034.011

2=-=σσ

u 67.01

2

=-<

n u 所以测量列中无系差存在。

2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；

50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法：

排序：

T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14=-T 30=+T +>T T 所以两组间存在系差

解：

x y i 203)2)1((

211=++=n n n a ；474)12

)

1((2121=++=n n n n σ求出：

1

.0-=-=

σ

a

T t

现取概率295.0)(=t φ，即475.0)(=t φ，查教材附表1有96.1=αt 。由于αt t ≤，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。

第三章 误差的合成与分配

3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合

而成，它们的基本尺寸为mm l 401=，mm l 122=，mm

l 25.13=，

mm l 005.14=。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为

m l μ7.01-=?,m l μ5.02+=?,m l μ3.03-=?,

,

20.0,25.0,35.0,1.03lim 2lim 1lim 4m l m l m l m l μδμδμδμ±=±=±=+=?m l μδ20.04lim ±=。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量

带来的测量误差。

修正值=)(4321l l l l ?+?+?+?- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4

3

2

1

lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±

=2

222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±

3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，

mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=?，

mm b 8.0-=?，mm c 5.0=?，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，

mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abc V = ),,(c b a f V =

2.115.446.1610??==abc V

)(44.805413

mm =

体积V 系统误差V ?为：

c ab b ac a bc V ?+?+?=?

)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=

立方体体积实际大小为：)(70.777953

0mm V V V =?-=

2

22222lim )()()(

c b a V c

f b f a f δδδδ??+??+??±= 2

22

22

2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±=

测量体积最后结果表示为:

V V V V lim 0δ+?-=3)11.372970.77795(mm ±=

3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别

为mA I 5.0=σ，V U

1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。

UI P =5.226.12?=)(5.283mw =

),(I U f P =I U 、 成线性关系 1=∴UI ρ

I u I U P I

f U f I f U f σσσσσ))((2)()(

2

222????+??+??=

I U I U U I I

f

U f σσσσ+=??+??=

5.06.121.05.22?+?= )(55.8mw =

3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要

使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解：

若不考虑测量误差，圆柱体积为

3222.25120214.3cm h r V =??=??=π

根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：

%1=V

σ

即51.2%12.251%1=?=?=V σ

现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：

cm hr r V r 007.021

41.151.2/12

==??=

πσ

σ

测定h 的误差应为：

cm r h V h 142.01

41.151.2/12

2

=?=??=

πσ

σ

3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差,6.2g -=?测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信

赖值及其极限误差。

4

=

x

)(8.428)(775.428g g ≈=

最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=?-=

∑∑==??+??±=31222

2

5

1)(41)(i i i i i i

x x f e x f δδ )(9.4g ±≈

测量结果表示为:x x x δ+?-=g

)9.44.431(±=

第四章 测量不确定度

4—1 某圆球的半径为r ，若重复10次测量得r ±σr =(3.132±0.005)cm ，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为：r D ?=π2 其标准不确定度应为：

()222

222

005.014159.342??==

??

? ????=r r r D u σπσ

＝0.0314cm

确定包含因子。查t 分布表t 0.01（9）＝3.25，及K ＝3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：

U ＝Ku ＝3.25×0.0314＝0.102

②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：33

4

r V ??=

π 其标准不确定度应为：

()616.0005.0132.314159.316424222

22

2

=???=??=

??

? ????=r

r r r V u σ

πσ

确定包含因子。查t 分布表t 0.01（9）＝3.25，及K ＝3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为

U ＝Ku ＝3.25×0.616＝2.002

4-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R 在20C

时为

Ω±Ωμ129000742.10（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。 由校准证书说明给定

∴属于B 类评定的不确定度

R 在[10.000742Ω-129μΩ，10.000742Ω+129μΩ]范围内概率为99%，