教学设计案例

第四章相似图形

7.测量旗杆的高度

一、学生知识状况分析

学生起点分析：

学生的知识技能基础：学生在本章前面几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决现实世界中的具体问题的基本知识；

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程和学生的实际生活中，学生已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析

《测量旗杆的高度》选自义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学下册第四章《相似图形》的第七节，本节课的内容是继《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用．它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学识模和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识．为此，本节课的教学目标为：

1、知识与技能：使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质．

2、过程与方法：通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以课后分组合作活动的方法进行实践以及进行全班交流，进一步积累数学活动经验．

3、情感与态度：通过问题情境的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值．本节课的重点、难点和关键是：

重点：综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题

难点：解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．

关键：抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．

三、教学过程分析

本课以活动课的方式学习，先集中讨论、确定测量方案，后分散实际操作，最后再集中总结交流．活动的展开主要以“引导发现—学习探究—归纳拓展—分组实践—交流总结” 的模式进行．学生通过猜想、推理验证、实践和归纳等方法，自主探究、合作交流，运用已有知识解决测量高度的实际问题．

第一环节 拓展思维、探究方法

活动内容：学生课前预习、教师课堂引导、学生课上讨论，归纳总结出测量一些不能直接测量的物体的高度的方法：

1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图4－20’：

图4－20’

操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．

点拨：把太阳的光线看成是平行的．

图4－20

∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ，

∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CBD ∴

BD

BE CD AB = 即CD=BE BD AB ? 因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长DB ，再知道人的身高AB ，就可以求出

旗杆CD 的高度了．

2．利用标杆测量旗杆的高度

操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．

如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．

图4－21

点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°

∴人、标杆和旗杆是互相平行的．

∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ，∴CN EM AN AM ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出， ∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形．

∴DN ＝AB ，∴能求出旗杆CD 的长度．

3．利用镜子的反射

操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．

点拨：入射角＝反射角

图4－22

∵入射角＝反射角 ∴∠AEB ＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面

∴∠B ＝∠D ＝90°∴DE

BE CD AB 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．

活动目的：本节课的主要任务是通过测量某些不能直接测量的物体的高度，培养学生学数学的兴趣和用数学的意识．因此首先要明确测量方法．

活动的注意事项：

1、对学生在讨论中的可能的想法要及时予以点评、指导．

2、在总结测量方法时要注意以下几点：

运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高． 运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．

运用方法3时应注意向学生解释光线的入射角等于反射角的现象．

第二环节 实践活动

活动内容：将全班学生分成五人小组，选出组长，分头进行户外自行寻找测量对象进行实际测量，被测物不一定是旗杆，也可以选择楼房、树等进行测量．

活动目的：通过实践，使学生运用所学知识解决问题．

活动的注意事项：

1、教师要提前将学生分组，活动工具必须课前准备好，各小组都必须准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具．

2、教师在活动中要加强巡视观察、引导，对学生测量中的不当之处要立即纠正．

3、学生实际测量后回教室进行计算，小组间交流测量结果．

4、在实际测量时，充分调动学生原有的生活经验和知识基础，去解决生活中的实际问题，体验成功的喜悦，轻松愉快地学习数学．

5、进入小组汇报总结阶段时，应引导学生比较各种方法的优点和缺点，寻求最优化意识．

第三环节 丰富联想

活动内容：通过以下问题的解决，充分发挥学生的聪明才智．

[想一想]同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？

思路点拔：1、如果旗杆周围有足够地空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地垂直树一根小棒，等到小棒的影子恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度．2、可以采用立一个已知长度的参照物在旗杆旁照相后量出照片中旗杆与参照物的长度根据线段成比例来进行计算．3、拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．等等．

[谈一谈]古埃及金字塔的高度是如何测量出来的？

思路点拔：测古埃及金字塔的高度与本节课的方法1相同：在金字塔顶部的影子处立一根杆子，借助太阳光线构成两个相似三角形，塔高与杆高之比等于两者影长之比．因此可以算出金字塔的高度．

活动目的：通过本环节加强学生对知识的掌握．

活动的注意事项：注意将学生的思路引导到利用相似三角形的有关知识上来．

第四环节活动评价，评价自己与他人

活动内容：

问题：

1、本节课你学到了哪些知识？

2、在运用科学知识进行实践过程中，你是否想到最优的方法？

3、在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？

4、你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？

活动目的：通过活动，使学生对利用相似三角形的知识进行测量有一定认识，在以后的学习生活中注意加以应用并逐步树立数学建模意识，同时在评价自己与他人时学会关注他人．

第五环节布置作业，反思提炼

课本144页习题4.9第1、2、3题

四、教学反思

1、本节课的设计理念遵循了三条原则：以学生为主体，以活动为手段，以能力提高为目的．在教学前和教学过程中充分设想学生在探究测量原理和实际测量时可能出现和遇到的问题及需要注意的事项，并给予详细的解答．

2、在探究测量方法过程中，尊重学生的自我发现，通过合作探究，感悟知识，得出结论；分层次设置问题，为学生展现才华提供机会．下图就是学生将第2种方法加以改进后的测量方法．

3、在实际测量时，充分调动学生原有的生活经验和知识基础，去解决生活中的实际问题，体验成功的喜悦，轻松愉快地学习数学．

反思这堂课，成功之处应当在于课题目标具体，准备时间充分，可操作性强，学生们都可以动起来，课本知识点掌握牢固．通过对教学内容的拓展，让学生深切的体会到数学在现实生活中的重要作用，从置身于大自然很自然的过渡到置身于数学与解决实际问题的乐趣中，并能自觉地参与到解决问题行列之中，提高了他们的应用意识．并且，主动参与实践操作的学习方式，有利于提高对数学学习的兴趣，培养多数同学之间互相交流、相互提问、相互帮助的学习氛围，培养遇到困难团结友爱、共同克服的团队精神及敢于探索和实践的优良学风；也有利于培养学生的理论联系实际能力，拓展学生的思维，培养学生的创新能力．