数学物理方法复习资料及参考答案(二)

数学物理方法复习资料及参考答案（二）

一、选择题：

1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ ）

A ξξξπd z f i k C c k ?-=)()

(20 B !

)(0)(k z f C k k =

C ξξξπd z f i C c k k ?+-=

10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ?+-=10)

()

(2 2. ?

=-l dz a z )(（ ） (其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。

A i ?π

B i

C i ?-π

D 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ ）

A )()(t

B x t A + B x t A )(

C )(t B

D x t B x t A )()(2

+ 4. )(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，??

?<<<=)

(0

)0()(t T T t h

t f

在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） A

w h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D w

wT

h cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00

====l x x x

u u 的本征值和本征函数：

（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222Λ===n l x

n C x X l n n

n n ππλ

B ),3,2,1(sin )(,2

22Λ===n l x

n C x X l n n

n n ππλ

C ),3,2,1,0()21

(cos )(,)21(2

22Λ=+=+=n l x

n C x X l

n n n n ππλ

D ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(2

22Λ=+=+=n l x

n C x X l n n

n n ππλ

6. 若集合是（ ），则该集合是区域。

A 开集

B 连通开集

C 连通闭集

D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）

A

lim ()

Z a

f Z →存在且有限 B

lim ()

Z a

f Z →不存在

C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项

D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项

8. 方程2

1

()z e f z z -=在奇点z=0的留数是：（ ）

A 1

B 0

C -1

D 2 9. 当C 为（ ）时，

01=-?c z dz

A Z .-=31

B Z .-=11

C Z .-=12

1

D Z .+=12

1

10. 方程（ ）是n 阶贝塞耳方程：

A x y xy n n y .()()'''12102--++=

B x y xy x n y .()'''2220+++=

C x y xy n n m x y .()[()]'''1211022

2--++-

-= D x y xy x n y .()'''2220++-=

二、简答题：

1、何谓解析函数？它有什么特点？

2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。 三、基础题：

1、已知解析函数()f z 的实部3

2

3),(y y x y x u -=，1)(-=i f ，求虚部和这个解析函数。 2、计算实变函数定积分()1cos 2120

2

<+-=

?

εεεπ

x dx

I

3、用达朗贝尔解法求定解问题（简要给出推导过程）

u a u x t u x x u x x x tt xx t

=-∞<<+∞>=-∞<<+∞=-∞<<+∞???

??20000(,)(,)()(,)()()ψ

4、用拉普拉斯变换法求解积分方程f t t f t d t

()()sin()=+-?τττ

四、综合题： 1、求解定解问题

u a u x l t u t u l t u x u x U tt xx

x t o

=<<>====???

??20000000(,)(,)(,)(,)(,)

2、求解定解问题

u u u a u a B A A ρρρ??ρρ

ρ???++=>=+-?

????

110

3432()(,)sin sin

3、求解定解问题

u r u r

u u r u rr r +++=<=+????

?2102222(cos sin )()

(,)sin cos θθθθθθθθ

参考答案

一、选择题：

1.B

2.D

3.A

4.C

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A D 10.D 二、简答题： 1.

解析函数：

若函数)(z f 在点0z 及其邻域上处处可导，则称)(z f 在0z 点解析。 若)(z f 在区域B 上每一点都解析，则称)(z f 是区域B 上的解析函数。 特点：

①区域B 上的解析函数，其实部和虚部在该区域上为共轭调和函数。

②区域B 上的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则由=),(y x u 常数，=),(y x v 常数，得到的xoy 平面上的两族曲线是互相正交的。 2.

①有无穷多个本征值：ΛΛ≤≤≤321λλλ

相应地有无穷多个本征函数：ΛΛ),(),(),(321x y x y x y ②所有的本征值都大于或等于零：0≥n λ

③相应于不同本征值m λ和n λ的本征函数)(x y m 和)(x y n ，在区间[]b a ,上带权重)(x ρ正交，即：

?

=b

a

n m dx x x y x y 0)()()(ρ

④本征函数族ΛΛ),(),(),(321x y x y x y 是完备的。

三、基础题： 1．解：

xy x

u

y x y

u

6,

3322=??-=?? …（2分） 由R C -条件，得：

2233y x y

u x v +-=??=??， 则：)(3)33(2

3

2

2

y xy x dx y x v ?++-=+-=?

得：

xy x

u y xy y v 6)(6/=??=+=??? 得：C x y ==)(,

)(/

??

得：C xy x v ++-=2

3

3，（C 为常数） …（2分）

iC iz iv u z f +-=+=3)(

因为：0,1

)(=-=iC i f ，所以：0=C

故：3

)(iz z f -= …（2分）

2．解：

令ix z e =，则111

cos (),2x z z dx dz iz

-=+=

则121111()()(1)z z dz

idz iz I z z z z εεεε-====-++--?? …（2分） 则z ε=和1

z ε

=

为一阶极点，1

1ε

>Q

又，应舍去

1

)(Re 2

-=

εεi

sf …（2分） 则，2

12)(Re 2ε

π

επ-=?=sf i I …（2分）

3．解：

令：)(21

)

(2

1

ζξζξ-=+=

a

t x ，? at x at x -=+=ζξ

得：00))((022

=????=??-????+???=-ζ

ξu

u x a t x a t u a u xx

tt …（2分）

积分后，可得：)()()()(),(2121at x f at x f f f t x u -++=+=ζξ 由初始条件，得：

)

()()()0,(0)()()0,(/2/121x x af x af x u x f x f x u t ψ=-==+=

解得：)]

()([2

1

)(21)()]

()([2

1

)(21)(020*********x f x f d a x f x f x f d a x f x x x x ---=-+=??ξξψξξψ …（2分）

故：?+-=-++=at

x at x d a

at x f at x f t x u ξξψ)(21)()(),(21 …（2分）

4．解：

令：)]([)(t f p L ξ= 对原式拉普拉斯变换，得：

11

)(1]sin )([1)(222+?+=*+=

p p L p t t f p p L ξ …（2分） 4211)(p

p p L +=

…（2分） 对上式拉普拉斯逆变换，得：

34

121161]1[]1[

)]([)(t t p

p p L t f +=+==---ξξξ …（2分） 四、计算题：

1．解：

令()()()t T x X t x u =, 由分离变量法解得：

()??

?

?

??

??

?+++=+=+=l at n B l at n A t T l x

n x X l n n 2)12(sin 2)12(cos 2)12(sin )()2()12(2

2

2ππππλ本征函数：本征值： …（6分） 得：()l x n l at n B l at n A t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ,0πππ+?????

?

+++=

∑∞

= …（2分） 代入初始条件有，

()0,02)12(sin

0,0

=?=+=∑∞

=n n n A l

x

n A x u π

()00

2)12(sin 2)12(0,U l

x

n l a n B x u n n

t =++=∑∞

=ππ

可得：2000)]

12([82)12(sin )12(2+=+?+=

?n a l U dx l x n U a n l B l n πππ 故：()l x

n l at n n a l U t x u n 2)12(sin 2)12(sin )]12([8,0

2

0πππ+?+?+=

∑∞

= …（4分）

2．解：

极坐标系下，拉普拉斯方程的通解为：

∑∑∞

=-∞

=+++++=1

1

00)sin cos ()sin cos (ln ),(m m m m m m m m

m D m C m B m A D C u ??ρ??ρρ?ρ

…（4分）

考虑圆外自然边界条件：0,0,0===?→∞→D B A u m m 有限值，

ρ …（2分）

则可得：∑∞

=-+=0)sin cos (),(m m m m m D m C u ??ρ?ρ …（2分）

由边界条件：?????3sin 4sin 3)sin cos (),(0

A A

B m D m

C a

a u m m m m

-+=+=∑∞

=-

比较两边系数可得：

))

3,1(0,4,4,3,3),0(0,3

333

1110≠=-=?-==?=≠==--m D A a D A D a aA D A D a m C B C m m …（2分）

故：?ρ?ρ

?ρ3sin 4sin 3),(3

3

A a aA

B u -+= …（2分）

3．解：

由于边界条件与?无关，故可以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉普拉斯方程通解为：

∑∞

=++

=0

1)(cos )(),(l l l L

l l P r

B r A r u θθ …（4分） 考虑圆心的自然边界条件：00=?==l r B u 有限值， …（2分） 则可得：∑∞

==0

)(cos ),(l l

l l

P r A r u θθ …（2分）

由边界条件：

)(3

2

)()(32cos sin )(cos 2),2(21020

x P x P x P P A u l l l l -+=

+==∑∞

=θθθθ 比较两边系数可得：)2,1,0(0,6

1

,21,32210≠=-===l A A A A l …（2分） 故：)(cos 6

1)(cos 21)(cos 32),(22

10θθθθP r rP P r u -+= …（2分）