最新山东省济宁市中考数学模拟试卷(有配套答案)

山东省济宁市数学中考模拟试卷

一、单选题

1.﹣的相反数是（）

A.﹣

B.

C.﹣

D.

【答案】D

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】根据只有符号不同的两个数互为相反数可得，﹣的相反数是，故答案为：D.

【分析】相反数是指只有符号不同的两个数。根据定义即可求解。

2.如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】从上面看该几何体，第一行有3个小正方形，第2行右侧有2个小正方形.故答案为：D．【分析】从左面看，左边一列有2个小正方形，靠右一列有一个小正方形应选A。

3.2017年5月18日，我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰，成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家．据粗略估计，仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量，达到我国陆上石油资源总量的50%．数据186亿吨用科学记数法可表示为（）

A. 186×108吨

B.18.6×109吨

C.1.86×1010吨

D.0.186×1011吨

【答案】C

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数

【解析】【解答】186亿吨=1.86×1010吨．

故答案为：C．

【分析】根据科学计数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1，即可得出答案。注意：1亿=108.

4.下列运算正确的是（）

A.（a+b）2=a2+b2

B.（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2

C.a4?a2=a8

D.（﹣2x）3=﹣6x 3

【答案】B

【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式及应用

【解析】【解答】解：A．（a+b）2=a2+2ab+b2，故不符合题意；

B．（﹣1+x）（﹣x﹣1）=1﹣x2，故符合题意；

C．a4?a2=a4+2=a6，故不符合题意；

D．（﹣2x）3=（﹣2）3x3=﹣8x3，故不符合题意．

故答案为：B．

【分析】（1）根据完全平方公式可得:;

(2)根据平方差公式可得：;

（3）由同底数幂的乘法法则;可求解；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；

（4）根据积的乘方法则：积的乘方，把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

5.一次数学检测中，有5名学生的成绩分别是86，89，78，93，90．则这5名学生成绩的平均分和中位数分别是（）

A.87.2，89

B.89，89

C.87.2，78

D.90，93

【答案】A

【考点】平均数及其计算，中位数

【解析】【解答】这5名学生的成绩重新排列为：78、86、89、90、93，

则平均数为：(78+86+89+90+93) ÷5=87.2，中位数为89，

故答案为：A.

【分析】根据算术平均数的方法即可求解。即平均数=.

中位数;将这组数据从小到大排列，最中间的数是89，所以中位数是89.

6.如图，下列说法中不正确的是（）

A.∠1和∠3是同旁内角

B.∠2和∠3是内错角

C.∠2和∠4是同位角

D.∠3和∠5是对顶角

【答案】C

【考点】同位角、内错角、同旁内角

【解析】【解答】A. ∠1和∠3是同旁内角，正确，不合题意；

B. ∠2和∠3是内错角，正确，不合题意；

C. ∠2和∠4是同位角，错误，符合题意；

D. ∠3和∠5是对顶角，正确，不合题意；

故答案为：C.

【分析】同位角:在截线的同侧，在被截的两条直线的同旁；

内错角：在截线的两侧，在被截的两条直线的内部；

同旁内角：在截线的同侧，在被截的两条直线的内部。

根据定义即可判断。

7.有下列命题：

①若x2=x，则x=1；②若a2=b2，则a=b；③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】B

【考点】平方根，一元二次方程根的判别式及应用，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，命题与定理【解析】【解答】解：若x2=x，则x=1或x=0，所以①错误；

若a2=b2，则a=±b，所以②错误；

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以③正确；

相等的弧所对的圆周角相等，所以④正确．四个命题的逆命题都是真命题．

故答案为：B．

【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根可知，方程漏掉了一个根；

（2）根据平方根的意义可得a=±b；

（3）线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；线段的垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这个角的平分线上；

（4）根据圆周角定理和圆周角和弧之间的关系可知：相等的弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC=60°③△ABD是等腰三角④点D到直线AB的距离等于CD的长度．

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】D

【考点】三角形的外角性质，角平分线的性质，作图—基本作图

【解析】【解答】根据基本作图，所以①正确，

因为∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，则∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°，所以②正确；

因为∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正确；

因为AD平分∠BAC，所以点D到AB与AC的距离相等，而DC⊥AC，则点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确.

故答案为：D.

【分析】（1）由已知角的平分线的作法知，AD是∠BAC的平分线；

（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠DAB+∠B，由（1）可得∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°；

（3）由（2）知，∠DAB=30°=∠B，根据等腰三角形的判定可得△ABD是等腰三角形；

（4）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，点D到直线AB的距离等于CD的长度。

9.若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【考点】三角形的内切圆与内心

【解析】【解答】设直角三角形的两条直角边是，则有：

又∵

∴

将代入得：

又∵内切圆的面积是

∴它们的比是

故答案为：B．

【分析】设直角三角形的两条直角边是 a ， b ，根据直角三角形的面积公式及,得出三角形的面积，根据圆的面积公式得出圆的面积，从而得出答案。

10.如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则

的值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【考点】探索数与式的规律，探索图形规律

【解析】【解答】解：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4×6，…，a n=n（n+2）；

∴=

= = = ．故答案为：C．【分析】由图形知：第一幅图中有3个点，则a1=3=1×3，第二幅图中增加了8个点，则a2=8=2×4，第三幅图中增加了15个点，则a3=15=3×5，第四幅图中怎加了24个点，则a4=24=4×6，以此类推，a n=n（n+2）；所以

,,,,…

,代入所求代数式即可求解。

二、填空题

11.因式分解2x2﹣4x+2=________．

【答案】2（x﹣1）2

【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法

【解析】【解答】2x2﹣4x+2=2（x2﹣2x+1）=2（x﹣1）2

故答案为：2（x﹣1）2

【分析】根据题意先提公因式2，再用完全平方公式分解即可。即原式=2.

12.如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2．则AC长是________cm．

【答案】

【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，几何图形的面积计算-割补法

【解析】【解答】试题分析：证Rt△AED≌Rt△AFB，推出S△AED=S△AFB，根据四边形ABCD的面积是24cm2得出正方形AFCE的面积是24cm2，求出AE、EC的长，根据勾股定理求出AC即可．

∵四边形AFCE是正方形，

∴AF=AE，∠E=∠AFC=∠AFB=90°，

∵AB=AD

∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），

∴S△AED=S△AFB，

∵四边形ABCD的面积是24cm2，

∴正方形AFCE的面积是24cm2，

∴AE=EC= = （cm）

根据勾股定理得：AC=

【分析】由已知条件易证得Rt△AED≌Rt△AFB，则这两个三角形的面积也相等，所以由割补法可得四边形ABCD的面积=正方形AFCE的面积；根据正方形的面积可得,解得AE=，在直角三角形ACE中，由勾股定理可得AC=.

13.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是________．

【答案】4cm

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=6π，解得r=3，

所以圆锥的高= =4（cm）．

故答案为4cm．

【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，先根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=6π，解得r=3，然后利用勾股定理计算圆锥的高．14.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为________．

【答案】（±，）

【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质

【解析】【解答】∵M、N关于y轴对称，

∴纵坐标相同，横坐标互为相反数，

∴点M坐标为（a，b），点N坐标为（－a，b），

∴b＝，ab＝；b＝－a＋3，a＋b＝3，

则抛物线y＝－abx2＋(a＋b)x＝x2＋3x顶点的横坐标是x＝＝＝3；

纵坐标是＝，

顶点坐标为（3，）．

故答案为：（3，）．

【分析】因为关于y轴对称的点的坐标变化特征是：横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，所以点N坐标为（－a，b），所以由已知条件可得,则ab＝；b=-a+3,则a＋b＝3，所以抛物线y＝－abx2＋(a ＋b)x＝?+3x=,顶点坐标为（3，）.

15.在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值=________．

【答案】406

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】13??√=1；

②=3=1+2；

③=6=1+2+3；

④=10=1+2+3+4，

∴=1+2+3+4+…+28=406.

故答案为：406.

【分析】根据计算已知的根式的规律，从而得到普遍的结论。即

;;;;所以

==406.

三、解答题

16.

（1）计算：（）﹣3+| ﹣2|﹣（﹣2017）0．

（2）先化简，再求值：已知：（+1）÷（x+ ），其中x=4﹣2sin30°．

【答案】（1）解：原式=8+2??1=9?；

（2）解：原式= ÷= ，

x=4?2sin30°=4?2×=3，

∴原式= = .

【考点】实数的运算，利用分式运算化简求值

【解析】【分析】（1）根据实数的运算性质可求解。即原式=8+2-?1=9-；

（2）根据分式的乘除法法则即可化简分式，再将x的值代入计算即可。即原式==,而

x=4-2=3，所以原式==.

17.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732．）

【答案】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．

在Rt△ABF中，i=tan∠BAF= ，

∴∠BAF=30°，

∴BF= AB=5，AF=5 ．

∴BG=AF+AE=5 +15．

在Rt△BGC中，

∵∠CBG=30°，

∴CG：BG= ，

∴CG=5+5 ．

在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，

∴DE=AE=15，

∴CD=CG+GE-DE=5+5 +5-15=5 -5≈3.7m．

答：宣传牌CD高约3.7米．

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G，在Rt△ABF中，根据AB的坡度求出∠BAF的度数，根据AB的长求出BF、AF的长，从而可求出BG的长，再在△BCG中，利用解直角三角形求出CG的长，再求出DE，然后根据CD=CG+GE-DE，即可求解。

18.“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有________人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为________；（2）请补全条形统计图；

（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．

【答案】（1）60；90°

（2）解：了解的人数有：60-15-30-10=5（人），补图如下：

（3）解：画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，

∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：.

【考点】频数与频率，扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法

【解析】【解答】（1）∵了解很少的有30人，占50%，

∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）．

∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=90°

【分析】（1）因为样本容量=频数百分数，所以接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角=“基本了解”的百分数×360°=×360°=90°；

（2）条形统计图中“了解”的人数=样本容量-各小组的人数=60-15-30-10=5（人），通过计算即可补全条形统计图；

（3）画出树状图，从树状图中可知共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率=.

19.某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？

（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．

【答案】（1）解：设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，

则：，

解之得.

答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；

（2）解：设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，

可得：，

解之得192?m?12，

∵m为正整数，

∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.

答：有三种进货方案：

①B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；

②B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；

③B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件。

【考点】一元一次不等式组的特殊解，二元一次方程的实际应用-和差倍分问题

【解析】【分析】（1）由题意可得两个相等关系：A种型号衣服9件的价格+B种型号衣服10件的价格=1810元；A种型号衣服12件的价格+B种型号衣服8件的价格=1880元；根据相等关系即可列方程组求解；（2）由题意可设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，两个不等关系是：(2m+4)件A种型号衣服的利润+m件B种型号衣服的利润?699，A型号衣服?28件．根据两个不等关系列出不等式组即可求得m 的取值范围，则进货方案亦可得。

20.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作DP//BC，且DP与AB的延长线相交于点P.

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：△PBD∽△DCA；

（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．

【答案】（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，连接OD，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；

（2）证明：（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P=∠ABC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，∴∠PBD=∠ACD，∴△PBD∽△DCA；

（3）解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，∴BC=10，∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，∵BC 为圆O的直径，∴∠BDC=90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，∴DC=DB= ，∵△PBD ∽△DCA，∴，则PB= = = ．

【考点】线段垂直平分线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接OD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BAC=90°，由角平分线的性质可得∠BAC=2∠DAC，由圆周角定理可得∠DOC=2∠DAC，所以∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，因为PD∥BC，所以根据平行线的性质可得OD⊥PD，由切线的判定可得PD是圆O的切线；

（2）由圆内接四边形的性质可得∠PBD=∠ACD，由平行线的性质和圆周角定理可得∠P=∠ADC，根据相似三角形的判定可得△PBD∽△DCA；

（3）由勾股定理可得BC=10，由线段的垂直平分线的性质可得DB=DC，所以由勾股定理可得DC=DB= 5；由（2）知，△PBD∽△DCA，所以可得比例式,则变形得PB=.

21.甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔2h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）从图象看，普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间________1h（填”早”或”晚”），点B的纵坐标600的实际意义是________；

（2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程s（km）与时间t（h）的函数图象；

（3）若普通快车的速度为100km/h，

①求第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？

②请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔．

【答案】（1）晚；甲、乙两城市之间的距离为600千米

（2）解：如图所示：

（3）解：①设直线MN的解析式为：S=k1t+b1，∵M（2，0），N（6，600），∴，

解得：，∴S=150t﹣300；∵直线BC的解析式为：S=﹣100t+700，

∴可得：150t﹣300=﹣100t+700，解得：t=4， 4﹣2=2．

②根据题意，第一列动车组列车解析式为：y=150t，∴这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔为：150t=﹣100t+700，解得：t=2.8， 4﹣2.8=1.2（小时）．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，两一次函数图像相交或平行问题，通过函数图像获取信息并解决问题

【解析】【解答】(1)、由图可知，普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间晚1h；

点B的纵坐标600的实际意义是：甲、乙两城市之间的距离为600千米；

【分析】（1）由图像知，普通快车是在动车出发1小时后才出发的，所以普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间晚1h；因为BC表示一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象，所以点B的纵坐标600的实际意义是甲、乙两城市之间的距离为600千米；

（2）因为动车组的速度相同，且每间隔2小时从甲城开往乙城，所以第二列动车组列车离开甲城的路程s （km）与时间t（h）的函数图象是与OA平行且过点（2，0），（6，600）的一条线段；

（3）①由（2）知，第二列动车组列车离开甲城的路程s（km）与时间t（h）的函数图象是与OA平行且过点（2，0），（6，600）的一条线段MN，所以用待定系数法可求出MN的解析式；而普快的速度是100，所以走完全程需6小时，则BC与x轴的交点为（7，0），即BC过点（7，0）和点（1，600），用待定系数法即可求得BC的解析式，将这两个解析式联立解方程组，即可求出第二列动车组列车与普通快车相遇的时间；

②因为第一列动车组列车过点（4，600）和点（0，0），所以用待定系数法即可求得解析式，这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇，则每一次相遇时，普快和动车的s相等，求出s相等时的两个t的值，再求出它们的差即可。

22.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；

（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．

【答案】（1）解：根据题意，得，

解得，

∴抛物线对应的函数表达式为y=x2?2x?3

（2）解：存在.连接AP，CP，

如下图所示：

在y=x2?2x?3中，令x=0，得y=?3.

令y=0，得x2?2x?3=0，

∴x1=?1，x2=3.

∴A(?1，0)，B(3，0)，C(0，?3).

又y=(x?1)2?4，

∴顶点M(1，?4)，

容易求得直线CM的表达式是y=?x?3.

在y=?x?3中，令y=0，得x=?3.

∴N(?3，0)，

∴AN=2，

在y=x2?2x?3中，令y=?3，得x1=0，x2=2.

∴CP=2，

∴AN=CP.

∵AN∥CP，

∴四边形ANCP为平行四边形，此时P(2，?3)

（3）解：△AEF是等腰直角三角形.

理由：在y=?x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3.

∴直线y=?x+3与坐标轴的交点是D(0，3)，B(3，0).

∴OD=OB，

∴∠OBD=45°，

又∵点C(0，?3)，

∴OB=OC.

∴∠OBC=45°，

由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，

∴∠EAF=90°，且AE=AF.

∴△AEF是等腰直角三角形；

（4）解：当点E是直线y=?x+3上任意一点时，(3)中的结论：△AEF是等腰直角三角形成立.

【考点】待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴是1，且过点（2，﹣3a），所以可得关于a、b的方程组：?3a=4a+2b?3，?= 1 ,解得a=1，b=-2，所以抛物线对应的函数表达式为y=x2?2x?3；

（2）存在点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形.连接AP，CP，因为二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，所以可得A(?1，0)，B(3，0)，C(0，?3)；易得顶点M(1，?4)；则可得直线CM的表达式是y=?x?3；根据直线CM交x轴于点N，所以N(?3，0)，所以AN=ON-OA=2，由题意可得PC x 轴，则可得-3=x2?2x?3，解得x1=0，x2=2，所以CP=2，AN=CP.而AN∥CP，所以由平行四边形的判定可得四边形ANCP为平行四边形，此时P(2，?3)；

（3）△AEF是等腰直角三角形.理由如下;易得直线y=?x+3与坐标轴的交点是D(0，3)，B(3，0)，所以OD=OB，所以∠OBD=45°，由（2）知点C(0，?3)，所以OB=OC.所以∠OBC=45°，由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，所以由三角形内角和定理可得∠EAF=90°，且AE=AF.所以△AEF是等腰直角三角形；

（4）由题意易得：当点E是直线y=?x+3上任意一点时，(3)中的结论：△AEF是等腰直角三角形成立.