山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准(d)卷
号学
1.按自然数从小到大为标准次序，排列
、填空题（每小题3分，共15 分）
4 1 3 2的逆序数等于
1 1 1
2.设A 为3阶矩阵，| A| ，则| 2A |
.
2 4 3. 万阵A 可逆的充分必要条件是
（D ）
（A ） Ax 0有非零解 （B ） Ax b 无解 （C ） Ax b 有解
（D ） A 0
名姓 级班 等^90
专路、级本升专、^90科工理 级班用适卷试
0 1 0
1 2 3
4 5 6 3.设1 0 0 A
4 5 6 则A 1 2 3
0 0 1
7 8 9
7 8 9
1 0 0
4?设 A 0 0
0 A *为A 的伴随矩阵，贝U R A * 0
0 0 0
3
1 3 5 6 x 的矩阵是 3 5 7
9
5 7 9
1 2 5.二次型 f(x) x T
4
5 7 8 2 0 1.三阶行列式1
4 3 4 单项选择题（每小题3分,
1
1 0 ,则x 等于 x
(A) 1
(B)
2?设A 为n 阶可逆矩阵
*
(A )
A (C ) 1
A *为A 的伴随矩阵，则
*
(B) A
共15分）
(D )
n *
(C ) ( 1) A
(D )
n 1
*
(D ) ( 1) A
定矩阵的是
(A )
(A) A B
(B)
A B
(C)
A * -
B *
(D)
* * AB
5.已知3阶矩阵A 的特征值为
1,2, 3, A *为A 的伴随矩阵，
则|A *
3A 2E
等于
(C )
(A ) 7
(B )
7
(C ) 25
(D )
25
4. 设A, B 均为n 阶正定矩阵， A *和B *分别为A 与B 的伴随矩阵，则在下列矩阵中是正
解将第一行乘
D n
三、（10分）
计算行列式（ D n 为n 阶行列式,
x
a a
D n
a
x
a
a a
x
n 2为整数）
1分别加到其余各
行
得
ax 0
再将各列都加到第一列上
得
x (n 1)a a a
0 x a 0 0
0 x a
(5分)
(5分)
号学名姓
级班等级专路、级9本升专、级科工理级
班用适卷试
密
-
-
-
-
-
-
-i ----
---
1
四、(10分)设A 0
1
0 且AB
解由AB
因为|A E |
A2 B 得A E B A2
所以A E可逆从而
E A2B,求B.
（4
分）
（6
分）
(1) 有唯一解
解
（
1
）
（10
分）
取何值时齐次线性方程组
(2)有无穷多个解？
X2
X2
X2
X3
X3
X3
要使方程组有唯一解
（6
分）
（
1
）
（
2
必须R(A) 3.因此当
要使方程组有有无穷多个解必须R(A) 3，故
因此当1或2时方程组有无穷多个解.
2时方程组有唯一解;
（4
分）
知
求该方程组的通
解。
解设该方程组为Ax
为1，从而Ax
又2 3
基础解
系。
又1为Ax
六、(10分)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已
3是它的三个解向量，且
T
3 4 5, 2 3 12 3
b，因为R(A) 3，所以四元齐次线性方程组
0的一个非零解就是它的一个基础解系。------
2 3 4 T显然是Ax 0的一个非零解，所以1 2
b的一个解，故方程组Ax b的通解为
Ax 0的解集的秩
(4分)
3 4 T是它的一个
（3
分）
（3
分）
山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准（B ）卷2010 - 2011 学年第一学期第3页共3页号
学
名
姓
级班等级
OD
专路、级本升专、^级o 科工理级班用适卷试
密
-
-
-
-
-
-
-
i
-
-
-
-
-
-
-
七、（10
分）
解令P P
1
P2
因为
征向量依次为
P
3
P 1AP
所以A
设3阶方阵A的特征值为
P1 0 1
diag 2,
2, 2 2, 1,对应的特
，
P2
T
1 , P3 T
0 ,求A.
,a n是一组n维向量，任一n维向量都可
由a「a2,川,a n线性表示证明@,a2,川,a n线性无关。
证明：已知任一n维向量都可由a1,a2^| ,a n线性表示故单位坐标向量组^,e2^| ,e n
九、（10 分）设a1, a2,
2,
1
（4
分）
（3
分）
（3
分）
八
、
解二次型的矩阵为
（10
分）
判定二次型3y29z22xy 4xz的正定性.
因为
所以f为正定
an
（3
分）
|A| 6
（7
分）
能由a「a2,川，a.线性表示于是有
n R e?川,e n R ^忌卅,a. n
即只耳屜卅,a. n所以印忌川，a.线性无关
（8
分）
（2
分）