相对论动力学_狭义相对论习题课

单元20 相对论动力学

一. 选择、填空题

1. 观测者甲以c 5

4的速度(c 为真空中光速)相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度为L 、截面

积为S ，质量为m 的棒，这根棒安放在运动方向上，则

1) 甲测得此棒的密度为LS

m =

0ρ； 2）乙测得此棒的密度为LS

m 925=ρ。

2. 匀质细棒静止时质量为m 0，长度l 0，当它沿棒长方向作高速匀速直线运动时，测得长为l ，那么棒的运动速度2

)(

1l l c v -=；该棒具有的动能2

00

)1(

c m l l E k -=。

3. 设电子静止质量为M e ，若将一个电子从静止加速到速率0.6c ( c 为真空中光速)，需做功

2

4

1c M A e =

。

4. 一静止质量为m 0，带电量为q 的粒子，其初速为零，在均匀电场E 中加速，在时刻t 时它所获得的速度是

2

20

2

)(c

m qEt qEct +。如果不考虑相对论效应，它的速度是

qEt m 。

经过时间t 加速后粒子的速度v 、质量2

2

0/1c v m m -=

根据相对论动量定理：mv qEt =，22

0/1c

v v m qEt -=

求得速度大小：2

20

2

)(c

m qEt qEct v +=

如果不考虑相对论效应，v m qEt 0=，0

m qEt v =

二. 计算题

1. 已知电子的静能为0.511 Mev ，若电子动能为0.25 Mev ，则它所增加的质量?m 与静止质量m 0的比值近似等于多少

电子的相对论能量：0E E E k +=，k E E E E =-=?0

k 2

E mc

E ==??，2

k c

E m =

?，

2

00

E E c

m E m m k k =

=

?

?m 与静止质量m 0的比值:

49.00

=?m m

2. 某一宇宙射线中的介子的动能207c M E k =，其中M 0是介子的静止质量，试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少倍。

因为k E mc

E ==2

??，2

02

07)(c m c

m m =-，08m m =

，代入m m =

得到：

2

2

/11m m c

v =

-，

8/112

2

=-c

v ，代入2

2

/1c

v -=

ττ, 得到：08ττ=

3. 设快速运动的介子的能量约为MeV E 3000=，而这种介子在静止时的能量为MeV E 1000=，

若这种介子的固有寿命是s 60102-?=τ，求它运动的距离(真空中光速s m c /109979.28

?=)。

设固定在介子上的参照系为S ’。

根据2

00)(c m m E E -=-，将MeV E 3000=，MeV E 1000=和2

2

0/1c

v m m -=

代入得到

30/112

2

=-c

v ，介子运动速度：30

899c

v =

介子在S 系中的寿命：2

2

/1c

v -=

ττ，介子在S 系中运动的距离：2

2

0/1c

v v x -=

?τ

将

30/112

2

=-c

v ，30

899c

v =和s 60102-?=τ代入得到：m x 4

108.1?=?

4. 求一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量(用焦耳和电子伏特表示)。已知它们的静止质量分别为： 质子;10

67262.127

kg m p -?= 中子;1067493.127

kg m n -?= 氘核;1034359.327kg m D -?=

结合前的系统的总能量：22

0p n E E m c m c ==+，结合后系统的总能量：20''c m E E D == 一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量：2

00)('c m m m E E E n p D --=-=?

MeV E 224.2=?

单元21狭义相对论习题课

一. 选择、填空题

1. 一宇航员要到离地球5光年的星球去旅行，现宇航员希望将这路程缩短为3光年，则他所乘火箭相对于地球速度是： 【 C 】

(A)c 2

1； (B)c 5

3； (C)c 5

4； (D)c 10

9

地球上测得星球的距离50=l 光年，在做相对运动的火箭上观察3=l 光年，所以火箭的速度满足：

2

2

0/1c v l l -=，2

2153c

v -

=，解得：c v 5

4=

2. 如图XT_0061所示，在S 参照系中有一静止的正方形，其面积为100 cm 2

，现在正方形以0.8 c 的匀速度沿其对角线运动，S 系中所测得的该图形的面积是2'60s cm =。

在运动的正方形上建立S ’参考系，在该参考系中，正方形对角线的长度为a l 20=

在地面S 参考系中，对角线的长度： a c

v l l 26.0/12

20=-= —— 运动方向上发生收缩

S 参考系看到的是一个菱形，其面积：2

01

1'2()602

2

s l l cm =??

= —— 如图XT_0061_01所示

3. π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是s 8

10

6.2-?，如果它相对实验室

以0.8 c 的速度运动，那么实验室坐标系中测得π+

介子的寿命是s 8

103.4-?=τ。

s c

v 8

2

2

10

3.4/1-?=-=

ττ

4. 如图XT_0062所示，S 系与S’系是坐标轴相互平行的两个惯性系，S’系相对于S 系沿OX 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在S’系中，与O’X’轴成300

角，今在S 系中观测得该尺与OX 轴成450

角，则S’系的速度是： 【 C 】

(A)

c 3

2； (B)

c 3

1； (C)

c 3

2； (D)

c 3

1

刚性尺静止于S’中，在O’X’轴投影：0'cos 30x l ?=? 在O ’Y ’方向上的投影：0'sin 30y l ?=? 在S 中观测到刚性尺在OX 轴投影长度：

2

20/130cos c v l x -?=?

—— 相对运动方向上，长度发生收缩

OY 方向上的投影不变：0sin 30y l ?=?—— 在没有相对运动的方向上，长度不发生收缩

tan 451y x

??===?

解得：c v 3

2=

二. 计算题

1. 一短跑选手在地球上以10 s 时间跑完100 m ，在与运动员同方向运动，飞行速度0.6 c 的飞船S’系中观测，这选手跑了多少距离？经历多长时间？速度的大小和方向如何？

在不同参考系中观察2个事件：事件1：选手开始起跑；事件2：选手到达终点。 在S 系中两个事件的时空间隔：100,10x m t s ??==

在飞船S’参考系上: 2

2

/1'c

u t u x x -?-?=?，m x 9

1025.2'?-=?

经历的时间：2

2

2/1'c

u x

c

u t t -?-?=?, s t 5.12'=?

S ’系中选手的速度：s m t x v /108.1'

''8

?-=??=，方向沿X’的负方向。

飞船S’测得的跑道的长度：2

2

2)6.0(

1100/1'c

c c u x x -=-?=?, m x 84'=?

在S ’中选手跑过的距离不等于S ’中测得的跑道的长度。

2. 远方的一颗星体，以0.8 c 的速度离开我们，我们接收到它辐射出来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参照系测得的闪光周期。

如图XT_0087所示，地球参考系S 中接收到信号1的时刻：11l

t t c

?=+

发射接收

—— l ?：1t 发射时刻星体到地球的距离。 S 参考系中接收到信号2的时刻：

22l v t t t c

??+=+

发射

发射接收

—— v t ?发射：星体在时间间隔t ?发射走过的距离。

S 系测得两个光信号发射的时间间隔与S’系中发射的时间间隔满足时间膨胀关系：

'5'3

t t t ???=

=

发射发射

S 参考系中接收到两个信号的周期：21(1)v t v t t t t t c

c

??=-=?+

=+

?发射

发射发射接收接收接收

'5

(1)

(1)'3'3

t v v t t t c

c ??=+

=+

?=?发射发射接收 固定在星体上的参照系S’ 中测得的闪光周期为: 15'3

3

t t ??==

发射接收 昼夜。

3. 在实验室参照系中，某个粒子具有能量J E 10102.3-?=、动量,/10

4.919s m kg P ??=-求该粒子的静止质量、速率和在粒子静止的参照系中的能量。 根据能量和动量的关系：2

0222E c p E +=，2

00E m c =

kg c

c

p E m 27

42

2

2

010

68.1-?=-=

由质量和能量关系：2mc E =，kg c

E m 27

2

10

56.3-?==

由质速关系：2

2

0/1c

v m m -=

，解得：c c m

m v 88.0)(

12

0=-=

在静止参考系中的能量：MeV c m E 944200==

4. 粒子的静止质量为m 0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少？

根据题意，粒子的能量：002k E E E E =+=；粒子的质量：02

2

02

0222m c

c m c

E m ==

=

根据能量和动量关系：2222

0E p c E =+

22

22

2

00

02

2

2

(2)3E E E E E p c

c

c

--=

=

=

，2

00E m c =, 粒子的动量：c m p 03=