全等三角形的几种几何结论_4

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全等三角形的几种几何结论

梁 希

对于初中年级学生来说，全等三角形的证明是个难点。原因可能有这些：平面几何是逻辑推理、形象思维、抽象思维训练的体操，初中学生对于几何及其几何证明的正式接触是从全等三角形的证明开始的；全等三角形的判定有很多种方法，这无疑对学生的掌握增加了难度；对于复杂的全等三角形的证明并不是一步就可以到位，有时甚至是“千呼万唤始出来”；全等三角形的性质经常是另外的三角形全等的判定条件。

如何帮助学生理解和运用全等三角形掌握几个常用的的结论是有必要的。当然并不是掌握它的结论，而是掌握它的方法。比方说下面几个：

结论1 如图1，△ABE ≌△ACD 的充要条件是△BOD ≌△EOC 。

证明：“?” ∵△ABE ≌△ACD

∴AB=AC ，AE=AD 且∠B=∠C.

∴BD=EC

在△BOD 和△EOC 中 BD EC B C

BOD EOC =??∠=∠??∠=∠? ∴△BOD ≌△EOC(AAS) 图1

“?” ∵△BOD ≌△EOC

∴OB=OC ，OE=OD 且∠B=∠C.

∴BE=CD

在△ABE 和△ACD 中 A A B C BE CD ∠=∠??∠=∠??=?

∴△ABE ≌△ACD(AAS)

在这个结论中，如果将A 和O 连接起来，结论将会变的更复杂一点，也可以得出更多的结论，为此我们先看看结论2。 结论2 如图2，△ABE ≌△ECD 的充要条件是△ABC ≌△BCD 。

证明：“?” ∵△ABE ≌△ACD

∴AE=ED ，BE=CE,AB=CD ∴BD=AC

在△ABC 和△BCD 中 BD AC AB CD BC BC =??=??=?

∴△ABC ≌△BCD (SSS) 图2

“?” ∵△ABC ≌△BCD

∴∠ABC=∠DCB, ∠DBC =∠ACB 且∠A=∠D ，BA=CD.

∴∠ABE=∠DCE

在△ABE 和△ECD 中

A D ABE EC D BA CD ∠=∠??∠=∠??=?

∴△ABE ≌△ECD(AAS)

在这个结论中，可以发现如果将A 和D 连接起来，连接后的图形其实可以看成是两个结论2的合成。

结论3 如图3，下列4个命题互为充要条件： ①△AOF ≌△AOG ；

②△AFE ≌△AGD ；

③△ODF ≌△EGO ；

④△AOE ≌△AOD 。

证明：“①?②”

∵△AOF ≌△AOG

∴∠AFE=∠AGD 且FA=AG.

在△AFE 和△AGD 中

A A AFE AG D FA GA ∠=∠??∠=∠??=?

图 3

∴△AFE ≌△AGD (ASA)

“②?③”

∵△AFE ≌△AGD

∴AF=AG ，AD=AE 且∠AFE=∠AGD 。

∴DF=EG

在△ODF 和△EGO 中

EOG DOF AFE AGD FD GE ∠=∠??∠=∠??=?

∴△ODF ≌△EGO （AAS)

“③?④”

∵△ODF ≌△EGO

∴△AFE ≌△AGD （结论1结论）且EO=DO

∴AE=AD

在△AOE ≌△AOD 中

AE AD AO AO OD OE =??=??=?

∴△AOE ≌△AOD （SSS)

“④?①”

∵△AOE ≌△AOD

∴∠FAO=∠GAO ，∠AOD=∠AOE

∴∠AOF=∠AOG

在△AOF 和△AGO 中

FAO GAO AOF AOG OA OA ∠=∠??∠=∠??=?

∴△AOF ≌△AOG (ASA)

新课程中，增设了“数学建模，探究性问题，数学文化”这三个模块式的内容。所以教师可以帮助学生在数学探索过程中适当地建立模型。在数学教学的过程中，教师培养学生的创新思维和实践能力，就要充分挖掘思维过程。要充分揭示结论的发现过程；让学生经历曲折的实验、比较、归纳、猜想和检验等一系列探索过程，充分揭示问题解决的思路探索过程。在平时的教学中将问题解决的思路探索过程充分暴露在学生面前，使学生从中学会问题解决的思路探索方法。