数学建模最新试卷
数学建模试题
摘要
垃圾填埋场的优化设计问题是城市合理有效规划的重要方面，也是运筹学应用于实践的一个典型，具有很强的代表性。
本文首先讨论垃圾填埋场的深度的确定，如何在耗费最少资金的前提下，得到最优的可行性方案的问题。且垃圾填埋场深度的确定是衡量这个方案优劣的关键所在。由于垃圾场的深度和面积之间存在必然的联系，即：垃圾场容积一定，其深度受作业量和土地购置面积的影响，而作业量和土地购置面积直接关系到投入的资金多少。为此，我们假设一个已有的的垃圾场，再围绕它建立多个参数和变量，并根据题设条件，建立相应的关系模型，确定出垃圾场深度的表达式（见式），在算法设计上，我们选用搜索和简化计算等多种方法进行计算，对比结果。
其次，我们根据实际要求，结合现实问题，对该模型做以评价验证，运用相应的数学软件求解模型。在随机选取一些变量，对方案做以检验和调整。另外，我们还讨论多个参数变化对模型的影响、必然误差和偶然误差对模型的影响等，并作以改进。
再次，由垃圾填埋场的深度问题构建征购土地以及购买机械的方案问题，我们讨论可根据已有的模型联系土地征用涨幅等因素确定出较为合理的方案；至于购买机械问题，我们考虑可以根据机械使用寿命和效率，得出购买机械数量和使用方案的最优组合。
最后，通过比较和抽象引申和现实考虑，我们给出了既定的模型。该模型尽可能全面实际的代表了现实中的规划方案，在整合些许缺点的前提下，可以作为一种现实的引导方案，做以规划整理。
关键字：规划最优模型评价运筹学方案
1问题重述
某市垃圾填埋场的优化设计问题：某市平均日产生活垃圾约为1000立方米(以压缩后体积计), 现欲建一垃圾填埋场, 将垃圾挖坑后填埋, 再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被. 现在需要就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策. 考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题, 市政当局希望给出花钱最少的预算. 现已知下列情形：
1. 挖出不用的土方可被建筑工程使用, 无须处理, 但须运上地面, 并须留出填埋覆盖用土.
2. 每套挖掘及填埋机械需购置费用150万元, 使用寿命十年.
3. 填埋场预计使用五十年.
4. 压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中, 无须作功.
5. 现征地费用为20万元/亩, 根据统计资料知, 此前三年地价涨幅为平均10%/年.
6. 机械使用柴油, 效率为30%. 在平地作业时, 将一立方土移动一米需作功100KJ, 但随挖掘深度加大, 每增加一米深度, 其效率在原有基础上下降10%.
7. 当前银行贷款年利率为5%, 存款利率为3%.
8. 填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等).
问题：(1) 试按市政当局要求, 建立数学模型, 为该项目计算出最佳的挖掘深度, 评价模型优缺点;
(2) 作出征购土地, 购买机械的方案及预算
2 假设与符号
2.1 假设一年365天；
2.2 假设地价平均涨幅不变；
2.3 假设只考虑机械设备作业时做的功；
2.4 假设只考虑机械垂直移动土所做的功，且与平地作业时做功相同；
2.5 土运出后不考虑其放置问题；
2.6 假设不考虑机械的维修费用和使用折旧；
2.7 不考虑抛入垃圾时所做的功；
2.8 假设柴油价格及其燃烧热始终不变；
2.9 假设银行存贷款利率始终不变；
3.0 不考虑施工人员的工资问题；
3.1 假设政府资金不足须向银行贷款；
3.2 假设垃圾填埋场是一个规则的长方体；
3.3 假设政府收入不变；
3.4 变量：
3 问题分析
为了更准确地解决以上问题，首先，对实际到的一些问题及所讨论的问题进行简要的分析。
为了表示垃圾填埋场的深度与面积的关系，作图如下：
S(亩)
图1
问题的关键在于构建参数的关系模型，一句题设条件和相关假设即可。
4 模型的建立与求解
4.1 问题一的模型与求解
4.1.1 由参数和变量关系确定的目标函数和约束条件，建立模型。
4.1.2 算法设计
流程图如下
图 2
4.1.3 公式建立：
Min H= S
S V 1
*1+
S1=∑50
220*S*(1.1)1-n+d+
1
s.t S3=[w1/0.3+w2/0.3*（1-2*0.1）+…+Wh/(0.3*（1-H*0.1）)]/(p*q) Wi=S*i
V1=50*365*1000
d+
1
0≥
4.14 求解：运用相应的数学软件，求解即可。
4.1.4 评价
首先，该模型比较简单实际地概括了规划的过程，能较为笼统地说明问题，具有一定的可行性。同时，模型的前提假设正说明了它的局限性，不能精确的体现规划中的具体投入。但是，总体而言，它还是解决了最优规划的要求。
4.2 问题二的模型建立与求解
4.2.1 征购土地对这一问题必须在综合比较土地增幅和存贷款利率的前提下经过讨论做出选择。
1> 一次性购置所有土地购地耗费S1=20*S
存贷款Q~= Q0-Q1
Q0=∑50
1
[q*(1+0.05)1-N ]
Q1=∑50
1
[q*(1+0.03)1-n ]
>Q=S1-Q~
2> 假设第n 年时，（之前无需贷款，之后完全贷款）
购地费用 S1~=20*1.11-N *S^
S1=S1~+20*(S-S^)
存贷费 Q~=i
n n q ---∑50501
)03.1*(
>Q=S1-Q~
3> 政府资金足够，不需要贷款 此时
购地费 S1=∑50
1)*1.1*20(S N
对以上进行评估比较即可。
4.2.2 购买机械 在此则需要考虑机械的使用寿命及工作量
S2=150*k*5
在此
则要考虑每套机器的工作量及垃圾场的日需求
量（即，必须有足够的场地供容纳垃圾）以确定k 的范围，在进行取舍优化。
5 模型的检验与修订
对于这个模型可以通过添加多个可行解和改变相应参数的方法，
进行比较和校正，以使结果尽可能最优。
6 结论
从上面的讨论可以看出，这是一个非常复杂的问题。我们的模型旨在尽可能贴近实际的情况下，描述出实际问题的最优解决方案。在比较理想的前提下，求解但运算量很大，且有些变量灵活性太强，经常变动且幅度难以检测，无法准确的地加以限定。但在作为一定得描述模块上，问题模型的简化利于实际问题的择选，且在理论上起到指引作用。