张畅-论文终稿

分院名称：数学学院

学生学号：0707140247

长春师范学院

本科毕业论文（设计）

（理工类）

题目：对称性在积分计算中的应用

专业：数学与应用数学

作者姓名：张畅

指导教师姓名：周晨星

指导教师职称：副教授

2011年5月

长春师范学院本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.

论文作者签名：

日期：2011年5 月日

长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书

本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.

指导教师签名：

日期：年月日

目录

承诺保证书...........................................................................I 1 对称性在定积分中的应用 (1)

1.1 对称性在定积分应用中的重要结论 (1)

1.2 对称性在定积分中的应用举例 (3)

2 对称性在重积分中的应用 (5)

2.1 对称性在重积分应用中的重要结论 (5)

2.2 对称性在重积分中的应用举 (8)

3 对称性在线积分中的应用 (10)

3.1 对称性在线积分应用中的重要结论 (10)

3.2 对称性在线积分中的应用举例 (12)

4 对称性在面积分中的应用 (13)

4.1 对称性在面积分应用中的重要结论 (13)

4.2 对称性在面积分中的应用举例 (14)

5 利用对称性构造积分 (16)

5.1 对称性在积分应用中的其他重要结论 (16)

5.2利用对称性构造积分的应用举例 (16)

参考文献 (19)

英文摘要 (20)

对称性在积分计算中的应用

张畅

摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用. 关键词：奇偶函数 积分 对称性

对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性.特别地,对于一元函数

()D x x f y ∈=,(其中D 为关于原点对称的数集,即当D x ∈时,有D x ∈-),当()()x f x f -=-时,称()x f 为奇函数;当()()x f x f =-时,称()x f 为偶函数.将上述

定义进行推广:对于二元函数()y x f z ,=,()D y x ∈,(其中D 为关于原点对称的数集,即当()D y x ∈,时，有()D y x ∈--,)，当()()y x f y x f ,,-=--时，称()y x f ,为奇函数;当()()y x f y x f ,,=--时，称()y x f ,为偶函数.奇偶函数的对称性(即本文所应用的)是对称性中的特例.它在积分的计算中很常见.如果能利用对称性就可以化简很多复杂的积分计算问题，有些题甚至可以直接得出结果.因此掌握用对称性计算积分的方法是大有益处的.本文讨论了对称性在定积分、重积分、面积分及线积分计算中的应用.（以下都在积分存在的条件下予以讨论，有关函数均满足通常条件）

1 对称性在定积分中的应用

1.1对称性在定积分应用中的重要结论

在定积分的计算中经常用到如下的对称性定理： 引理 设函数()f x 在[],a b a b -+上连续，则有

()()()0a b

b

a b

f x dx f a x f a x dx +-=++-???

??? （1） 证 令x a t =+，有 ()()()()00

a b

b b

a b b

b

f x dx f a t dt f a t dt f a t dt +---=+=+++???? （2）

令t v =-，则

()()()0

b

b

b

f a t dt f a v dv f a v dv -+=--=-??? （3）

将（3）式代入（2）式，并将积分变量统一成x ,则

()()()0a b

b

a b

f x dx f a x f a x dx +-=++-???

??? 特别地，令0a =，就得公式

()()()0b

b

b

f x dx f x f x dx -=+-???

??? 由函数奇偶性的定义及上式，易得

定理1 设函数()f x 在[],a a -连续，那么 1)若()f x 是偶函数，则

()()0

2a

a

a

f x dx f x dx -=?

?

2)若()f x 是奇函数，则

()0a

a

f x dx -=?

我们也可以把定理1推广到更一般的情况.

定理2 设函数()f x 连续，

1)若()y f x =的图形关于直线x a =对称，即()()f a x f a x +=-，则对一切

0b >,有

()()2a b

a b

a b

a

f x dx f x dx ++-=?

?

2)若()y f x =的图形关于点(),0a 对称，即()()f a x f a x +=--，则对一切

0b >，有

()0a b

a b

f x dx +-=?

证 1)由（1）式及已知条件()()f a x f a x +=-，有

()()()0

22a b

b a b

a b

a

f x dx f a x dx f x dx ++-=+=?

??

2)由（1）式及已知条件()()f a x f a x +=--，有

()0

00a b

b

a b

f x dx dx +-==?

?

此结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大帮助. 1.2 对称性在定积分中的应用举例

例1 求2

2

63221

cos 1

x x I xdx x ππ-++=+?

解 虽然被积函数非奇即偶，但可以把它分成两部分63

3

cos 1

x x x x ++和cos x ,前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，可用定理1的结论简化其计算.

2

2

2

22

6330

cos cos 12cos 2

x x I xdx xdx x xdx π

π

πππ

--+=++ ==?

?? 而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间[],a a -上求解. 这样的例子很多,应用定积分的性质进行拆项后,达到简化计算的目的. 例 2 设()P x 为任意不超过三次的多项式，证明在区间[],m n 上()P x 的平均值

()()()()()()()()1331314011140242261462G G G G G G m m m m m G G p m n P m P P n -++=-++???? =++ =+++?+??? =

++ ???????

.

证 （i ）先证[][],1,1m n =-时的特殊情况，取()32

0123G t m t mt m t m =+++，

()G t 在[]1,1-上的平均值为

()()13201

231112n m G G t dt m t m t m t m dt n m -=

=+++-?? ()()113

202131

012m t m t dt m t m dt -=

+++?? 131

3

m m =+

而

()()()()()()14011140G G G G G G -++=-++????

133124226m m m m m =++=+ 所以

()()()1

14016

G G G G =

-++???? (ii)再考察()P x 在任意区间[],m n 上的平均值

()1

n m P p x dx n m

=

-? 设

22

m n n m x t +-=

+， 这时

()2

2m n n m P t G t +-??

+= ???，

于是

()1

n m P p x dx n m

=

-?

111222m n n m n m

P t dt n m -+--??=+ ?-???

()()()()1111

140126

G t dt G G G -=

=-++?????

()()1462m n P m P P n ?+???=++ ???????

例3 求2

sin 1cos x x

I dx x

π

=+?

解 因为sin x 及

211cos x +都关于2x π=对称，且2x π??- ???关于,02π??

???

点中心 对称.所以2

sin 21cos x x x π?

?- ???+关于点,02π?? ???

中心对称，又区间[]0,π关于2x π=对称，故定理2有

20sin 201cos x x I dx x

ππ?

?- ???

==+? 于是

2

220

0sin sin 1cos 21cos 4x x x I dx dx x x π

πππ===

++?

?

利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.

2 对称性在重积分中的应用

2.1 对称性在重积分应用中的重要结论

定理3 (1)若(),f x y 为关于x 的偶函数，即对(),x y S ?∈（S 是关于y 轴对称的区域）,有

()(),,f x y f x y -=，

则

()()1

,2,S

S f x y dxdy f x y dxdy =????

其中 ()(){}1,|,,0S x y x y S x =∈≥

(2)若(),f x y 为关于x 的奇函数，即对(),x y S ?∈（S 是关于原点对称的区域）有

()(),,f x y f x y -=-

则

(),0S

f x y dxdy =??

证 记

()(){}1,|,,0S x y x y S x =∈≤

则

()()()dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f S S S

??????+=2

1

,,, (4)

令 x u =-，y v =， 则

()()

10,101,x y J u v -?===-?

可得

()()()()2

2

2

,,,5S S S f x y dxdy f u v J dudv f u v dudv = -=- ??????

其中 ()(){}221,|,S u v u v S S =-∈=， 由()5 式得

()()()2

1

1

,,,S S S f x y dxdy f u v dudv f x y dxdy = -=-??????

则由()4式得

()()()()()1

1

1

,,,,,S

S S S f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

f x y f x y dxdy

=+- =+-????????????

此时易得定理3的结论.

由定理3易知：若(),f x y 为区域S 上的连续函数，且区域S 关于x 轴对称，

(),f x y 为关于y 的奇函数或偶函数有类似的结论.

()1 若(),f x y 为关于x 及y 的偶函数，即对(),x y S ?∈有

()()(),,,f x y f x y f x y -=-=，

则

()()1

,4,S

S f x y dxdy f x y dxdy =????

其中 ()(){}1,|,,0,0S x y x y S x y =∈≥≥

()2若(),f x y 为关于x 及y 的奇函数，即对(),x y S ?∈有

()(),,f x y f x y -=-或()(),,f x y f x y -=-，

则

(),0S

f x y dxdy =??

定理4 设(),f x y 为区域S 上的连续函数，且区域S 关于原点对称. (1) 若对(),x y S ?∈，有

()(),,f x y f x y --=，

则

()()1

,2,S

S f x y dxdy f x y dxdy =????

其中 ()(){}1,|,,0S x y x y S x =∈≥.

()2若对(),x y S ?∈，有

()(),,f x y f x y --=-，

则

(),0S

f x y dxdy =??

()1若对(),x y S ?∈，有

()(),,f y x f x y =，

则

()()1

,2,S

S f x y dxdy f x y dxdy =????

其中 ()(){}1,|,,S x y x y S y x =∈≤.

()2若对(),x y S ?∈，有

()(),,f y x f x y =-，

则

(),0S

f x y dxdy =??

以下通过几个例题来说明利用上述定理可大大简化重积分的计算. 2.2 对称性在重积分中的应用举例

例5 计算二重积分25sin S

x ydxdy ??，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所

围成的区域.

解 积分区域S 关于x 轴对称（见图1），且ydxdy x S

52sin ??为关于y 的奇函

数， 故

25

sin 0S

x ydxdy =??

例6 设S 是xoy 平面上由()1,1，()1,1-，()1,1--为所围成的三角形区域（如图2），1S 是S 在第一象限的部分，则()3cos sin S

xy x y dxdy +??等于_____.

解 作辅助线OB,如图2所示，因为 ()3cos sin S

xy x y dxdy +??()()3cos sin 3cos sin AOB

BOC

xy x y dxdy xy x y dxdy =

+++????

而区域BOC 关于x 轴对称，且3cos sin xy x y +为关于y 的奇函数，所以

()3cos sin 0BOC

xy x y dxdy +=??

x

y

A

B

C

O 1 -1 1

1S

图2

x

1

1

-1

o 图1

y

又

()3cos sin AOB

xy x y dxdy +??3cos sin AOB

AOB

xydxdy x ydxdy =+????

而区域AOB 关于y 轴对称，3xy 为关于x 的奇函数，故

30AOB

xydxdy =??，

cos sin x y 为关于x 的偶函数，故

1

cos sin 2cos sin AOB

S x ydxdy x ydxdy

=????.

通过做辅助线构造出积分的对称区域,而后解题,这种方法对于给出函数图像求解积分的问题很有用处.

3 对称性在曲线积分中的应用

3.1 对称性在曲线积分应用中的重要结论

定理 6 设(),f x y 为定义在光滑曲线S 上的函数，且S 关于原点对称，

(),x y S

?∈，

若()(),,f x y f x y --=-，则

(),0S

f x y ds =?

若()(),,f x y f x y --=，则

()()1

,2,S

S f x y ds f x y ds =??（或()2

2,L f x y ds ?）

其中1S 和2S 是关于原点对称的两部分.

证 由于12S S S =+关于原点对称，所以设

()()[]1:,,,S x x t y y t t αβ==∈，

则

()()[]2:,,,S x x t y y t t αβ=-=-∈，

于是

()()()1

2

,,,S

S S f x y ds f x y ds f x y ds

=+???

()()()()()()()()()()2222,,f x t y t x t y t dt f x t y t x t y t dt α

αββ

''''=++--+??

()()()()()()()()22

,,f x t y t f x t y t x t y t dt α

β??''=+--+?

?? 所以，当()(),,f x y f x y --=-时，有

(),0S

f x y ds =?

当()(),,f x y f x y --=时，有

()()()()()()()1

22,2,2,S

S f x y ds f x t y t x t y t dt f x y ds α

β

''=+=?

??

定理7 设(),f x y 在光滑或分段的平面曲线S 上可积，S 关于直线l 对称， 若(),f x y 为关于直线l 对称的奇函数，则有

(),0S

f x y ds =?

若(),f x y 为关于直线l 对称的偶函数，则有

()()1

,2,S

S f x y ds f x y ds =??

其中1S 为S 在直线l 一侧的部分.

定理8 设光滑或分段的空间曲线L 关于坐标平面对称,(),,f x y z 为曲线S 上的连续函数，

若(),,f x y z 为关于相应坐标平面的奇函数，则

(),,0S

f x y z ds =?

若(),,f x y z 为关于相应坐标平面的偶函数，则

()()1

,,2,,S

S f x y z ds f x y z ds =??

其中1S 为S 在坐标平面一侧的部分. 3.2 对称性在曲线积分中的应用举例

例7 设L 为椭圆22

152x y +

=，其周长记为l ，计算()

22225L

xy x y ds ++? 解 因为L 关于x 轴对称，故

20L

xyds =?

所以，把椭圆方程222510x y +=代入被积函数

()2

2225L

xy x

y ds ++?1010L

ds l

==?.

例8 计算2

S

dx dy

xy ++?

，其中曲线S 为2x y +=，取逆时针方向.

解 因为

222S S S

dx dy dx dy

xy xy xy +=++++???， 其中第一个积分，曲线S 关于x 轴对称，且走向相反，被积函数是y 的偶函

数，第二个积分，曲线S 关于y 轴对称，且走向相反，被积函数是x 的偶函数.所以有：

x

O y

图3

-2

2

2

-2

0222S S S

dx dy dx dy

xy xy xy +=+=+++???.

如图所示,通过观察可以发现函数图像的对称区域,于是对积分进行分段计算.

4 对称性在曲面积分中的应用

4.1 对称性在曲面积分中应用的重要结论

定理9 设分片光滑的曲面∑关于yoz 面对称，则

()()()()()10,,,,,:,0

2,,,,,f x y z x f x y z ds x x y z f x y z ds f x y z x ∑

∑?

?

= ∑=≥? ????

??是的奇函数其中是的偶函数

证 设12∑=∑+∑，2∑为1∑关于yoz 面对称的曲面，2∑：(),x x y z =-，1∑、

2∑在yoz 平面上的投影为yz D ，(),x x y z =，(),x x y z =-是yz D 上的单值函数，

所以

()()()1

2

,,,,,,f x y z ds f x y z ds f x y z ds ∑

∑∑=+??????

()()()()2

2

2

2,,,1,,,1yz

yz

y

z

y z D D f x y z y z x x dydz f x y z y z x x dydz

=+++-+-+-????????????()(){}

2

2,,,,,,1yz

y z D f x y z y z f x y z y z x x dydz =+-++????????

??

则

1)若(),,f x y z 是x 的奇函数，即()(),,,,f x y z f x y z =--,有

(),,0f x y z ds ∑

=??

2)若(),,f x y z 是x 的偶函数，即()(),,,,f x y z f x y z =-,有

()()1

,,2,,f x y z ds f x y z ds ∑

∑=????

定理10 设分片光滑的闭曲面∑关于yoz 面对称，取外侧，则

()()()()()10,,,,,:,02,,,,,p x y z x p x y z ds x x y z p x y z ds p x y z x ∑∑? ?

= ∑=≥? ??????是的奇函数其中是的偶函数

证 设12∑=∑+∑，1∑：(),0x x y z =≥取前侧，()2,x x y z ∑=-：取后侧,1∑、

2∑在yoz 平面上的投影是yz D ，则

()()()1

2

,,,,,,p x y z dydz p x y z dydz p x y z dydz ∑

∑∑=+??????

()(),,,,,,yz

yz

D D p x y z y z dydz p x y z y z dydz =--????????????

()(){}

,,,,,,yz

D p x y z y z p x y z y z dydz =--??????????

则

1)若(),,p x y z 是x 的奇函数，即()(),,,,p x y z p x y z =--,有

()()()1

,,2,,,2,,yz

D p x y z dydz p x y z y z dydz p x y z dydz ∑

∑==?

????????? 2)若(),,p x y z 是x 的偶函数，即()(),,,,p x y z p x y z =-有

(),,0p x y z dydz ∑

=??

以上结论对(),,q x y z dydz ∑

??，(),,r x y z dxdy ∑

??同样成立，将外侧改为内侧依然成

立.

4.2 对称性在曲面积分中的应用举例

例9 计算()xy yz zx ds ∑

++??，∑为锥面22z x y =+被曲面222x y px +=所截

下的部分（如图4）.

解 如图4，曲面∑关于zox 面对称，而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数，根据定理9知：

()2222

1x y Dxy

xy yz zx ds zxds x

x y z z dxdy ∑

∑

++==+++ ??????

又

22z x y =

+，2

2

x x z x y

=

+，2

2

y y z x y

=

+

22

12x y ds z z dxdy dxdy =++ =

所以

原式2cos 22

320

2

22cos a Dxy

x x y dxdy d r dr π

θ

πθθ-=?+=????

4

5

422

64

42cos 215

p

d p π

πθθ-==?

例10 计算()S

x y z ds ++??，其中S 为上半球面222z m x y =--.

解 由于S 关于坐标面0x =和0y =均对称，而x 和y 分别关于变量x 和y 是奇函数，所以

()0S

x y ds +=??

又S 在坐标面0z =上的投影为

222x y m +≤且22

1x

y m

ds z z d d z

σσ=++= 所以

原式222

3S

x y m zds md m σπ+≤==

=????

.

分析例题找出对称关系,观察后得出部分积分为0，这样,不仅简化了计算而

x

y

o

z

图4

且节省了时间.

例11 计算积分21sin x S

xy x dydz e ydxdy -+??，其中()

22:102S x z y +=≤≤的外侧.

解 因为S 关于yoz 面对称，()(),,,,P x y z P x y z =--，1S 关于xoy 面对称，

()(),,,,R x y z R x y z =-， 所以

原式1

2221121S Dyz

xy x dydz y z z dydz =-+=-?????

2121

2220

1

1

048

214133

ydy z z dz ydy z z dz ydy --=-=-=

=?????. 利用积分区域对称的特点,大大简化了计算.

5 利用对称性构造积分

5.1 对称性在积分应用中的其他重要结论 定理11 设f 在区间[],a b a b -+上可积，则有

()()()()()()0,2,2,2,a b

a b a b

a

f a x f x f x dx f a x f x f x dx ++- ?-=-?

=

?-=???

? 将上述定理进一步推广可得：

定理12 若()0

f x dx +∞

?

存在，则有

()()()()02,0,f x f x dx f x dx f x +∞

+∞

-∞

??=

?? ?

??

为偶函数,

为奇函数, 5.2 利用对称性构造积分的应用举例

例12 计算()1

25sin 3I x x dx --=+?.

解 由于()sin 3y x =+是以3x =-为对称轴的奇对称函数且点-5，-1关于点-3的对称，作变换t x b =-，把积分变成对称区间上的奇、偶函数的积分.即作

变换3t x =+把对称平移到点()0,0，故令3t x =+，则

()()2

2

2

2

2

2

3sin sin 6sin 9sin I t tdt t

t t t t dt --=-=-+?

?

()22

12sin 12sin 2cos 2t tdt -==--?. 例13 计算()()

8211dx

I x x ∞

-∞

=++?

. 解 ()()

82

211dx

I x x ∞

=++? 令1

s x

=

有 ()()082082122111111d dx s I x x s s +∞+∞?? ?

??==????++++ ???

????

?? ()()()()

880

82820

11221111s ds s ds s s s s +∞+∞-+-==++++?? ()()2

820

01

22111ds ds ds s s s +∞

+∞=-+++?? 即

()()

2820

0122111ds I ds ds s s s +∞

+∞=-+++?

? 2

21ds

ds I s +∞

=-+? 所以

20

12

ds I ds s π

+∞

==+?

. 此题按步骤计算会非常麻烦，但利用对称性把原积分重新构造后，计算由繁变简.

由此可见，上述关于积分(定积分、重积分、线积分、面积分)对称性的定理