江苏省泰州中学高三数学寒假作业(一)周花香

y

D B

14.已知等比数列

的首项为，公比为，其前项和记为

，又设，

的所有非空子集中的最小元素的和为

，则

的最小正整数为 ．

【答案】45

解：由题意有

，对于和，我们首先把

中的元素按从小到

大顺序排列，当时，

，对于中的任一元素

，比它大的有个，这

个元素组成的集合的所有子集有

个，把

加进这些子集形成新的集合，每个都是以

为最小元素的的子集，而最小元

素为

的

的子集也只有这些，故在中

出现

次，所以

，

时，适合上式， 时，

．当

，

不成立，当时，

，

，由于

，

，

，所以

，最小的为

．

18．（本题满分16分）

如图所示，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，

2

(2,D 为椭圆上一点，且//OD AB ．

⑴求椭圆的标准方程；

⑵'D 与D 关于x 轴对称，P 为线段'OD 延长线上一点，直线PA 交椭圆于另外一点E ，直线PB 交椭圆于另外一点F ， ①求直线PA 与PB 的斜率之积；

②直线AB 与EF 是否平行？说明理由. 18．（本小题满分16分） 解：⑴(,0),(0,)A a B b -

∵//OD AB

，D ∴

12b a =且2221

12a b += 解得224,1a b ==

∴椭圆的标准方程为2

214

x y +=． ………4分

⑵①(2,0),(0,1),A B D -，直线'OD ：12y x =-

设00(,)P x y ，则00

00

1

,2PA PB y y k k x x -==+，且0012y x =- ∴000000001

(2)(1)1

4(2)(2)4

PA PB x x y y k k x x x x +-?=

==++． ………8分 ②直线//AB EF ． ………9分 设1122(,),(,)E x y F x y ，直线PA ：1(2)y k x =+，代入椭圆方程2244x y +=得

22214(2)4x k x ++=，整理得2211(2)[(41)82]0x k x k +++-=

解得2112

12841k x k -=+，从而211

2211284(,)4141

k k E k k -++ ………11分 设直线PB ：21y k x =+，代入椭圆方程22

44x y +=得

2224(1)4x k x ++=，整理得2

22[(41)8]0x k x k ++=

解得2222841k x k =-+，从而2

22

2222814(,)4141

k k F k k --++ ………13分

由⑵可知1214k k =，所以2112211841

(,)4141

k k F k k --++

∴直线EF 的斜率为211

22211112

21111221141441414411

82888224141k k k k k k k k k k k k --

++--==-----++ ………15分 又∵直线AB 的斜率为

101

0(2)2

-=-- 所以直线//AB EF ． ………16分

20.已知函数()ln a f x x x =

+，21

()222

g x bx x =-+，,a b ∈R ． ⑴求函数()f x 的单调区间；

⑵记函数()()()h x f x g x =+，当0a =时，()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b

的取值范围；

⑶记函数()()F x f x =，证明：存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点． （3）证明：由（1）可知：

（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，

所以直线l 与()y F x = 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分 （ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．

若1ln 0a +≥，1e

a ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分

故1

0e

a <<

，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <）， 则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)a

y x x s t x

=--∈和

2ln ,(,)a y x x t x =+∈+∞的切点．1

221a a x y x x x -'=-=，2221a x a

y x x x

-'=-+=， 设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且

111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x a x x --=， 即1121ln a x x =-， ① 22

21ln a

x x =-， ② 12122212

()

x x x x a x x +=+，③

①-②得：112122

22ln ln ln x a a

x x x x x -=-+=-，

由③中的a 代入上式可得：121212212122

()

22(

)ln x x x x x x x x x x +-=-+， 即22121

22

122

2()ln x x x x x x -=+， ……………………………………………………………14分 令

1

2

(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，24

14()0e e G =-<，

故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，

即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．……………………16分