高三数学三角函数复习-教(学)案
三角函数
一．教学目标
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2
π
±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
二．教学容
1．任意角的概念
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、象限角、轴线角 3．弧度制
角α的弧度数的绝对值是：r l
=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。角度制与弧度制的换
算主要抓住180rad π?=。
弧度与角度互换公式：1rad ＝π
180° 1°＝180
π（rad ）
弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2
1
21r r l S α==
。 【注意】：
①无论用“弧度”还是“角度”作单位，角的大小是一个与半径的大小无关的定值；②在解题过程中
“弧度”与“角度”不能混用，如0
=230,k k Z απ+∈或0
=90,4
k k Z π
β?+
∈都不规。
4．三角函数定义
利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:
（1）y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）
y
x
叫做α的正切,记做tan α,即
tan (0)y
x x
α=
≠。 【注意】：三角函数值的符号满足：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的规律。
5．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线。 【注意】：
①正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负； ②余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负。
③当角终边在x 轴上时，正切线变成一个点，当角终边在y 轴上时，正切线不存在。
6．同角三角函数关系式
（1）平方关系：2
2
sin cos 1αα+= （2）倒数关系：tan αcot α=1, （3）商数关系：sin tan cos α
αα
= 【注意】：
② 同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立。 ②同角三角函数的基本关系式必须在定义域允许的围成立。
7．诱导公式
总口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”。其中“奇、偶”是指()2
k k Z π
α?
+∈中的k 的奇偶性；
“符号”是把任意角α当成锐角时，原函数值的符号。 【注意】：
①应用诱导公式，重点是“函数名称”和“正负号”的正确判断。
②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：负化正、大化小、小化锐、锐求值。
三．典例解析
『题型』1：象限角
例1．已知角?=45α；
（1）在区间]0,720[??-找出所有与角α有相同终边的角β；
（2）集合00
|18045,2
k M x x k Z ?
?==?+∈???
?，00
|18045,4
k N x x k Z ??==?+∈???
?
那么两集合的关系是什么？ 解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈??+?， 则令 ?≤??+?≤?-036045720k ， 得 ?-≤??≤?-45360765k 解得 360
45
360765-≤≤-
k 从而2-=k 或1-=k 代回?-=675β或?-=315β
（2）因为{}Z k k x x M ∈??+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而
集合{}Z k k x x N ∈??+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M
N 。
『题型』2：三角函数定义
例2．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。
『题型』3：诱导公式
例3．()2
tan cot cos x x x +=( )
（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x
解：∵()222
2
2sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +??+=+=
? ???
cos cot sin x
x x
=
= 故选D ；
例4．化简：
(1)
sin(180)sin()tan(360)
tan(180)cos()cos(180)
αααααα-++--+++-+-；
（2）
sin()sin()
()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。
解析：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2
sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα
++-=
=+-。
②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2
sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα
+++-+=
=-++-+。
『题型』4：同角三角函数的基本关系式
例5．证明：111sin (1tan )cos (1)tan sin cos θθθθθθ
+++
=+；
证明：左边=sin cos sin (1)cos (1)cos sin θθ
θθθθ
+
++ =22sin cos sin cos cos sin θθ
θθθθ+++ =22sin cos (sin )(cos )cos sin θθ
θθθθ+
++ =2222sin cos cos sin sin cos θθθθ
θθ
+++
=
11
sin cos θθ
+
=右边
四．课堂练习
1、在ABC ?中，若6,3,60=
==∠AB AC B
，则=∠A ． 75
2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 .
2
1 3. 锐角△ABC 中，A ≥B ，且tan 3tan A B =，则A B -的最大值为 ．6
π 4． 求证：cos 1sin 1sin cos x x
x x
+=-。
五．教学总结
学习本节容时要注意如下几点：
（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关围的限制；
（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。