因式分解复习课教案
《因式分解》复习课教案
复习目标：1、能熟练的运用提公因式法、公式法、十字相乘法进行因式分解。
2、灵活选用各种方法进行因式分解。
3、各种因式分解方法的综合应用。
复习重点：灵活选用合适的方法进行因式分解。
复习难点：提炼因式分解的方法：一提二套三查
教学准备：提前发导学案，让学生有预习的时间。
教学过程：
一、检查导学案中的课前预习案。
方式：先幻灯片展示：回顾因式分解的各种方法。小组内由组长负责，统一评改，最后请两个小组派代表上来，展示答案，并简单交流本小组解题情况。1、按要求分解因式：
③完全平方公式法:（1）a2＋4a＋4＝
(2)4x2－12x＋9y2＝
④十字相乘法：(1)x2－x－6＝
时间安排：7分钟左右。
二、共同交流导学案中的课中练习案。
时间安排：20分钟左右
1、因式分解。
（1）a3－a（2）x2y-2xy+y
(3) 2ax2-8ax-10a (4) p2(y-x)+q2(x-y)
方法归纳：先，再进行因式分解。幻灯片展示因式分解的一般步骤。
方式：先独立思考完成，由小组长负责，内部交流，互相指导，点名演板并讲解解题思路。
2、选用合适的方法进行因式分解
(1) 1/2 x2+xy+1/2 y 2(2) 81-b4
⑶(x-y)2 - 6x +6y+9 (4) (x+1)(x+5）-21
方式：先学生思考独立完成，再在小组内交流。每组派一个代表上来展示答案并谈解题心得。
三、布置导学案中的当堂检测案。
方式：小组学生根据自己情况选做一组练习，当堂布置，当堂检测，当堂评改，讲解。
具体操作：教师巡视，学生独立完成，完成后教师马上批改。小组第一、二名学生，由老师批改，其他学生由已批改了的学生批改。最后，由小组长通报小组检测结果。
时间安排：10左右。
A层练习
一:将下列各式分解因式：
⑴a2-ab ；⑵3am2-3an2；
⑶x3-2x2+x；（4）
B层练习
将下列各式分解因式：
(1) x2(x-y)+y2(y-x)；(2) (2a-b)2–(a–2b)2
(3) (x2－5)2＋2(x2－5)＋1 ；(4)m4- 81n4
四、归纳小结。本节课的收获。
方式：学生先小组交流，再派代表发言。最后教师做总结。
五、小组互评。
六、作业布置。
1、完成课后应用案中的练习。
2、课堂作业：
（课后）应用案
应用：A 层练习
(1) 计算：252-242 =
(2) 若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2=
(3) 若x2-8x+m是完全平方式,则m=
(4) 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( )
A. 6
B. 12
C. ±6
D. ±12
应用：B层练习
(1) 若100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（）
(2) 计算(-2)101+(-2)100
(3) 已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
x＝
(4)若x,y满足x2＋2xy－3y2＝0, 则
y
初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式； 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5.结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7.因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！ =(m+n)(a+b) 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
因式分解经典题及解析
2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步）
因式分解公式法完全平方公式教案
第 1 单元（章）第课时编制人纪丽娜审核人吕翠珍审批人于忠翠 课题：公式法 使用人备注课型：新授课第 2 课时 【教学目标】： 知识与技能： 使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接 用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地 知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差 公式或完全平方公式进行分解因式． 过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分 解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力. 情感态度价值观： 培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体 会因式分解在数学学科中的地位和价值。 【学情分析】:学生在七年级下册第一章中已经学习过完 全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式 逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历 过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。 【教学重点难点】：会用公式法分解因式. 【教法与学法】：自主探究、合作归纳 【教具】：多媒体 【板书设计】： 公式法（2） 复习回顾例1．把下列各式因式分解
形如2 22b ab a+ ±的多项式 称为完全平方式例2．把下列各式因式分解：完全平方式可以进行因式分解 a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2 【教学活动过程】： 第一环节复习回顾 活动内容： 活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法． 注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容． 第二环节学习新知 活动内容： 49 14 )1(2+ +x x 2 23 6 3)1(ay axy ax+ +
因式分解练习题库100题(经典、精心整理)
因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p)2 -(x+q)2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b)2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y)2-(x+2y)2 33、1+10t+25t2 34、m2-14m+49
35、y2+y+0.25 36、(m+n)2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c)2 39、(a-b)2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
经典的因式分解练习题有答案
因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是( ) A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)
A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是( ) A．－12 B．±24C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得( ) A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为( ) A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为( ) A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得( ) A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得( ) A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得( ) A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得( ) A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得( )
数学：12.3运用公式法教案(鲁教版七年级下)
12.3运用公式法 ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. ●教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. ●教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. ●教学方法 引导自学法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§12.3 A） 第二张（记作§12.3 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. Ⅱ.新课讲解 ［师］1.请看乘法公式
（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a 2－ b 2=（a +b ）（a －b ） （2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ ［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解. ［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 ［师］请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点. ［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）. 9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2 =（3 m +2n ）（3 m －2n ） 3.例题讲解 ［例1］把下列各式分解因式： （1）25－16x 2; （2）9a 2－4 1b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2 =（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－41 b 2=（3a ）2－（2 1b ）2 =（3a +21b ）（3a －2 1b ）. ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3 －8x . 解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2 =［3（m +n ）］2－（m －n ）2
(完整)因式分解练习题精选(含提高题)
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
初一数学因式分解的常用方法(最新整理)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ?2 2 2 a b c ab bc ca ++=++ABC ?A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=) ()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！ )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-) 510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --) 5)(2(y x b a --练习：分解因式1、 2、bc ac ab a -+-2 1 +--y x xy
因式分解易错题汇编含答案解析
因式分解易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．2112(12)(12)22a a a -=+- B ．2224(2)x y x y +=+ C ．2239(3)x x x -+=- D ．222()x y x y -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解． 【详解】 A. 2112(12)(12)22 a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误； C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误； D. ()22 ()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A. 【点睛】 此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式. 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大.
《因式分解-公式法》教学设计1
14.3.2 公式法因式分解 班级： 姓名： 学号： 学习目标： 1、熟练掌握公式法，并能灵活选择平方差公式进行因式分解。 2、通过独立思考、小组讨论,进一步体验“整体的 思想”。 3、培养主动参与学习、认真严谨的学习态度。 学习重点:用公式法进行因式分解 学习难点:对平方差公式结构的理解以及灵活运用公式。 学习过程： 一、复习反馈 1、什么叫因式分解？ 。 2、计算：①(x+2)(x-2)=_________。把等号左右两边互换得 。 ②(y+5)(y-5)=_________。把等号左右两边互换得 。 思考:你能将多项式2x - 4与多项式2y -25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗? 二、引导探究 平方差公式 22b -a b -a )(b a =+） （ 把等号两边互换位置变形平方差公式得 语言描述：即两个数的 ,等于这两个数的 与这两个数的 的积。 平方差公式进行因式分解：2a - 2b =(a+b)(a-b) 1、因式分解。 ① 2x -1=________ 。 ② 9 - 2t =________。
2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？ ①2x+2y②2x-2y ③-2x+2y④-2x-2y 思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？ 三、巩固精炼 例3 分解因式: (1) 42x–9 (2) 2 （+ x q） x–2 p） （+ 你能仿照例3完成下面的题目吗？ 练习：比一比，看谁做得快！ 2、把下列各式分解因式。 (1)2m-4 (2) 2 4x-25 (3) -2y4+ 2x(4) 22） x-9 （+
3、课堂升华 例4 分解因式: (1)4x -4y (2) b a 3 – ab 练习：我能行！（小组合作比赛） 4、分解因式。 （1）2a - 2b 25 1 ; (2) 29a -24b ; (3)4y -y x 2; (4) 4a - +16. 四、课外拓展 1、用平方差公式进行简便计算: （1）1022-22 （ 2） 992-12
因式分解练习题(超经典)
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
初中常用因式分解公式
初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。
因式分解难题经典题(1)
因式分解难题经典题 1、若实数满足，则． 2、已知，则的值为 3、分解因式： a3＋a2－a－1＝______________. 4、已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值． 5、因式分解： 6、已知实数满足，则的平方根等于． 7、若，则的值是_______________． 8、，则___________。 9、如果是一个完全平方式，则= . 10、已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________. 11、若a2+ma+36是一个完全平方式，则m= ． 12、已知，则 . 13、－a4÷(－a)＝； 15、把下列各式分解因式：
18、如果，求的值． 19、已知a+b=﹣5，ab=7，求a2b+ab2﹣a﹣b的值． 20、（x﹣1）（x﹣3）﹣8． 22、 23、（1）已知a m=2，a n=3，求①a m+n的值；②a3m﹣2n的值 （2）已知（a+b）2=17，（a﹣b）2=13，求a2+b2与ab的值． 24、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a一4b+5=0求：3a2+4b-3的值。 三、选择题 25、若的值为（） A.0 B.-6 C.6 D.以上都不对 26、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）。 A、x2＋4y2 B、x2－2y＋1 C、－x2＋4y2 D、－x2－4y2
27、不论为什么实数，代数式的值（） A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 28、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（） A．24 B．﹣12 C．±12D．±24 29、下列各式中与2nm﹣m2﹣n2相等的是（） A．（m﹣n）2B．﹣（m﹣n）2C．﹣（m+n）2D．（m+n）2 30、.若+(m－3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或－1 D.－1 31、下列计算中，①x(2x2－x＋1)＝2x3－x2＋1；②(a＋b)2＝a2＋b2；③(x－4)2＝x2－4x＋16；④(5a－1)(－5a－1)＝25a2－1；⑤(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2；其中准确的个数有…（） A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 四、计算题 32、因式分解：； 33、已知a+b=3，ab=2，试求(1)a2+b2；(2)(a b)2。
《公式法因式分解》教学设计
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
因式分解练习题库100题(经典、精心整理)
因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p) 2 -(x+q) 2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b) 2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y) 2-(x+2y) 2 33、1+10t+25t2
34、m2-14m+49 35、y2+y+0.25 36、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 39、(a-b) 2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
初中数学因式分解经典测试题含解析
初中数学因式分解经典测试题含解析 一、选择题 1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 将各项分解得到结果，即可作出判断． 【详解】 ①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误； ②2244(2)x x x ++=+，故②正确； ③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确； ④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误. 则正确的有2个. 故选：B. 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1） C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2 D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解． 解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误； B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确； C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误； D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误． 故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2 B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣a
经典因式分解练习题(附答案)
> 因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 、 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．三、因式分解：
1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； — 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； : 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；
17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8； > 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；/ 四、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
因式分解 公式法(一)
因式分解——公式法（一） 一、教学目标： （一）知识与技能： 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． （二）过程与方法： 1.发展学生的观察能力和逆向思维能力； 2.培养学生对平方差公式的运用能力。 （三）情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。 二、教学重点和难点： 1.教学重点：利用平方差公式分解因式． 2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 四、教学用具：多媒体 五、教学过程： 一知识回顾： 1 什么叫多项式的分解因式？ 2 分解因式和整式乘法有何关系? 3 我们学了什么方法进行因式分解？
练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 练习2把下列各式进行因式分解 （1）. a3b3-a2b-ab （2）. -9x2y+3xy2-6xy 二观察探讨，体验新知 在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= - (2)(a+b)(a-b) = （） （3） x2-25 = （4） a2-b2= 知识探索 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解 下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。 (1) m2－1 (2)4m2－9 (3)4m2+9 (4)x2－25y 2