初中八年级数学几何定理符号语言

初中数学“图形与几何”内容

八年级上册

第十一章三角形

1、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

4、多边形知识要点梳理

1、n边形的内角和等于（n-2）×180°。

多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、n边形的对角线条数等于2)3

(

n

n

（1）正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形

要点诠释：

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。

（2）多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。 要点诠释：

①从n 边形一个顶点可以引（n －3）条对角线，将多边形分成（n －2）个三角形。

②n 边形共有

2)

3(-n n 条对角线。

证明：过一个顶点有n －3条对角线(n ≥3的正整数)，又∵共有n 个顶点，∴共有n(n-3)条对角线，

但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n 边形，共有 2

)

3(-n n 条对角线。

（3）多边形的内角和公式 ①公式：

边形的内角和为

..

（4）多边形的外角和：多边形的外角和等于360°

第十二章 全等三角形

一、全等三角形 1、全等三角形的概念

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（3）两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2

）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。

F

E

D

A

B

C

4、全等三角形的判定方法： （1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS ）

（2）（SAS ）

（3）（ASA ）

几何语言：如图所示 ∵△ABC≌△DEF

∴∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F ，AB=DE ，BC=EF ，AC=DF

（4）角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS ）

5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（） E F D B C 5、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 6、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相

等的点在角的平分线上。

7、三角形三个角的平分线相交于一点，这个点到三

角形三条边的距离相等 8、全等变换包括以下三种：

1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换

叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

第十三章 轴对称

一、轴对称图形

1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

3、轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线

1、概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

3、线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线

段的垂直平分线上。

4、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距

离相等。

三、用坐标表示轴对称：

在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。关于y 轴对称的点横坐标

（判定）几何语言

：如图所示 ∵CA=CB ∴点C 在线段AB 的垂直平分线MN 上 几何语言：如图所示 在△ABC 和△DEF 中，

∠A=∠D，

∵ ∠B=∠E BC=EF

∴△ABC≌△DEF（AAS ） 几何语言：如图所示 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，

∵ AB=DE，

BC=EF 或AC=DF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF E F

P

A B

C

D

（性质）几何语言：如图所示

∵ PF 平分∠APB （或∠APF=∠BPF ），EC ⊥PA 于C ，ED ⊥PB 于D ∴EC=ED N

M

A C

D （性质）几何语言：如图所示 ∵MN 是线段AB 的垂直平分线（或MN ⊥AB 于D ，AD ＝BD ） ∴CA=CB （判定）几何语言：如图所示

∵EC ⊥PA 于C ，ED ⊥PB 于D ，EC=ED ∴点E 在∠APB 的平分线上

C

B

A

C

B A

互为相反数,纵坐标相等.

1、点(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标为(x ，-y)；

2、点(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标为(-x ，y)。 四、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

（）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 （简称：三线合一）

2、等腰三角形的判定定理：

（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相

等。（等角对等边） （）两边相等的三角形是等腰三角形。

五、等边三角形 1、等边三角形的性质定理 （）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 。

（2）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 （3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一，它们交于一点。

2、等边三角形的判定定理： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （3）三边相等的三角形是等边三角形。

3、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它

所对的直角边等于斜边的

C

B

A

2

1D C A 几何语言：如图所示，在△ABC 中

①∵AB ＝AC ，BD ＝DC ∴∠1＝∠2，AD ⊥BC ②∵AB ＝AC ，∠1＝∠2 ∴AD ⊥BC ，BD ＝DC ③∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ∴∠1＝∠2，BD ＝DC

C

B A

几何语言：如图所示， ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° 几何语言：如图所示，在△ABC 中，

（1）∵∠A=∠B=∠C

∴△ABC 是等边三角形

（2）∵∠A=∠B ，∠A=60°

∴△ABC 是等边三角形 （3）∵AB＝AC=BC ∴△ABC 是等边三角形

B A C

几何语言：如图所示 在△ABC，

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（等边对等角）

几何语言：如图所示 在△ABC，

∵∠B＝∠C ∴AB＝AC （等角对等边） 几何语言：如图所示 在△ABC， ∵AB＝AC

∴△ABC 是等腰三角形

几何语言：如图所示， ∵∵∠C ＝90°，∠B ＝30°， ∴AC ＝21 AB （或者AB ＝2AC ）