2008年湖南省高考理科数学试题及答案

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

一、

1．复数2．“|x －A C 3.4.5. A.若B.若m ?α,n ?α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C.若α⊥β，m ?α,则m ⊥β

D.若α⊥β，m ⊥β，m ?α,则m ∥α

（D ）

6.函数f (x )=sin 2x +cos x x 在区间,42ππ??

????

上的最大值是

A.1

C.

32

(C)

7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则

AD BE CF ++与BC

A.反向平行

B.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

(A)

8.229.间的球10.*,定义[]2n C =

28?

11.21

1lim

34x x x x →-=+-1

5

.

12.已知椭圆22221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，右准线为l ，离心率e =5过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于

1

2

. 13.设函数y =f (x )存在反函数y =f －1（x ），且函数y =x －f (x )的图象过点（1，2），则函数

y =f －1(x )－x 的图象一定过点(－1,2).

14.已知函数f (x )＝

(1).1

a a ≠- （1）若a ＞0,则f(x)的定义域是3,a ?

?-∞ ??

?;

(2)若f (x )在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()(],01,3-∞?.

15.对有n (n ≥4)个元素的总体｛1，2，3，…，n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m ｝和｛

2P if (1≤

i ＜j ≤)n 16.是

1

2

解用A P （A （Ⅱ）ξ＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++

＝3231113(((.2228

++=

=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++

=3331113((().2228

++= 所以，ξ的分布列是

ξ的期望0123 1.8888

E ξ=?+?+?+?=

17.（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，

P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;

（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.

因为E ，BE

?平面

又BE ?⊥平面P AB

在Rt △在等腰则AG ⊥PF ⊥HG 所以∠在等腰在Rt △故平面解法二如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是

A （0，0，0），

B （1，0，0），313(,,0),222

C D P （0，0，2），E(1,

2

3

,0) （Ⅰ）因为BE =，平面P AB 的一个法向量是0(0,1,0)n =，所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面P AB .

又因为BE ?平面PBE ，故平面PBE ⊥平面P AB .

(Ⅱ)

易知(1,0,2),(0,

0PB BE =-

=），1(0,0,2),(,2PA AD =-= 设1111(,,)n x y z =是平面PBE 的一个法向量，则由110,

n PB n BE ??=???

=??得

111111020,

000.2

x y z x y z +?-=??

??+

+?=??所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===故可取 设2n =20,n PA ??=?22012x x ???

?+

??故可取(3,n =于是，1225n n n n ?=

?故平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是18.数列{a (Ⅰ)求(Ⅱ)设.n b ++证明：当解(Ⅰ)＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=

所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -= 当*2(N )n k k =∈时，2

2222222(1cos sin 2.22

k k k k k a a a ππ

+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =

故数列{}n a 的通项公式为*

2*21,21(N ),2

2,2(N ).n n n k k a n k k +?=-∈?=??=∈?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，212,2

n n n n a n

b a -=

= 23123,2222n n n

S =

++++① 2241112322222n n n

S +=++++② 22n ++-所以S

(1)当

(2)则当n 由(1)令n c =综上所述，当6n ≥时，1

2.n S n

-<

19.（本小题满分13分） 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.。点E 正北55海里处有一个雷达观测站A 。.某时刻测得一艘匀速直线行

驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ，090θ<<)且与点A 相距海里的位置C .

（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解（I ）如图，AB

，

,sin BAC θθ∠==

由于0<θ<90，所以cos θ

26

= 由余弦定理得

= （B

x 又

d Q .中，由

在△ABQ 中，由正弦定理得，

AQ=

sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE －AQ =15.

过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.

在Rt △QPE 中，

PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=?∠=?-∠

=157.=< 所以船会进入警戒水域. 20.（本小题满分13分）

若A 、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x >2时，点P （x ,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x 0

x 0表（而(则设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ，则

因为0<2m y <4x m =4(x 0－2)=4x 0－8,于是设t=2

m y ,则t ∈(0,4x 0－8).

记l 2=g (t )=－[t －2(x 0－3)]2+4(x 0－1)2.

若x 0>3,则2(x 0－3)∈(0,4x 0－8),所以当t=2(x 0－3),即2m y =2(x 0－3)时,

l 有最大值2(x 0－1).

若2

综上所述，当x 0>3时，点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x 0－1）；

当2

已知函数f (x )=ln 2

(1+x)－2

1x x

+.

（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间;

（Ⅱ）若不等式1

(1n a e n

++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.

求α的最大值.

解（Ⅰ）函数f (x )的定义域是(1,)-+∞，

设()g x

令()h x =当1x -<当x ＞0所以h (x . 于是当当x ＞0当x ＞0故函数f 设()G x 由（Ⅰ）知，2

2

ln (1)0,1x x x

+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以(]()0,0,1,G x x <∈′于是G (x )在(]0,1上为减函数. 故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1

(1) 1.ln 2

G =- 所以a 的最大值为1

1.ln 2

-