辽宁省中等职业教育对口升学招生考试数学试卷及答案

辽宁省2017年中等职业教育对口升学招生考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5}，集合C={2,3,6}，则(A ∪B )∩C =
A.{1,2}
B.{2,3}
C.{1,2,3}
D.{2,3,6}
2.命题甲：xy=0，命题乙：x=0，则命题甲是命题乙的
A.充分而非必要条件
B.必要而非充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
3.设向量a =(2k+2,4)，向量b =(8,k+1),若向量a ，b 互相垂直，则k=
A.-1
B.0
C.1
D.3
4.下列直线与2x −3y +5=0平行的是
A. 4x −6y −5=0
B. 3x −2y −4=0
C. 2x +3y −4=0
D. 4x +6y +5=0
5.已知log 25=m ，log 23=n ，则2m+n 等于
A.5
B.8
C.10
D.15
6.点(2,3)到直线4x +3y −1=0的距离等于
A.165
B.2
C. 65
D. 25
7.数列*a n +为等差数列，a 3+a 4=6，则a 1+a 6=
A.12
B.10
C.8
D.6
8.已知f (x )=mx 2+(m −2)x −3为偶函数，则关于f(x)的说法正确的是
A.(−∞,+∞)内是增函数
B. (−∞,0)内是增函数
C. (−∞,0)内是减函数
D. (−∞,+∞)内是减函数
9.要得到函数y =sin (2x −π6)的图像，只需将函数y =sin2x 的图像 A.向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π12个单位 D. 向右平移π12个单位 10.已知函数y =sinx +cosx ，则该函数的最大值为
A.2
B.√2
C.1
D.0
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11.函数f (x )=x +1x ，则f (2)f (12)=_______.
12.已知三点A(2,1)，B(-1,3)，C(-2,4)，则向量2AB
⃗⃗⃗⃗⃗ −3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是_______. 13.已知∆ABC 的内角为A ，B ，C ，其对边分别为a,b,c,且b=3,c=2,A=60°,则a=_______.
14.已知直线过点(3,2)和点(-1,4),则该直线的方程是_______.
15.以点(-2,5)为圆心，并且过点(2,2)的圆的标准方程是_______.
16.已知tanα=4，则3sin (π−α)−cos (2π−α)
2sin (2π+α)−3cos (−α)
值是_______. 17.已知数列*a n +为等比数列，且a
4a 2=6，a 1=2，则a 3=_______.
18.(x−2
x
)6展开式中的第四项为_______.
19.从3，4，5，6，7，8六个数字中任取两个数，则取出的两个数都是偶数的概率为_______.
20.复数z=4−5i，它的共轭复数z̅=4+5i，则z+z̅=_______.
三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分）
21.求函数f(x)=√4−x+log3(x2−1)的定义域。

22.已知cosA=5
13，sinB=4
5
，A、B为锐角，求cos(A+B)的值。

23.已知向量a=(√3,1)，向量b=(−3,√3)
(1)求向量a与向量b夹角。

(2)求与向量 a方向一致的单位向量。

24.已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上的一点Q(m,-2)到焦点的距离为8，求抛物线的标准方程及实数m的值。

25.已知数列*a n+，a n>0，a n+1
a n
=2，a2=4，
(1)求数列*a n+的通项公式；
(2)若数列*b n+满足b n=log2a n，求b1+b2+⋯+b n.
四、证明与计算题（10分）
26.如题26图所示，∆ABC为等边三角形，点P是三角形∆ABC所在平面外一点，侧面PAC为等边三角形，边长为2，平面PAC⊥平面ABC，E、F分别是AB与AC的中点。

(1)求证：EF∥平面PBC;
(2)求直线PE与直线BC所成角的正切值。

参考答案：
一、单项选择题
1.B
2.B
3.A
4.A
5.D
6.A
7.D
8.C
9.D 10.B
二、填空题
11. 254
12. (-3,1) 13.√7 14.x +2y −7=0 15.(x +2)2+(y −5)2=25 16.115 17.12 18.-160 19.15 20.8
21.解：根据题意得
{4−x ≥0x 2−1>0
解得{x|x<-1或1<x ≤4}，所以原函数的定义域为(−∞,−1)∪(1,4]。

22.解：∵cosA =513，sinB =45, A 、B 为锐角
∴sinA =√1−cos 2A =√1−(513)2=1213
cosB =√1−sin 2B =√1−(45)2=35
∴cos (A +B )=cosAcosB −sinAsinB =
513×35−1213×45=−3365
23.解：(1)cos <a,b >=a∙b |a ||b|=√3×√3
√(√3)2+12√(−3)2+(√3)2=−1
2 ∴<a,b >=120°
(2)设单位向量为c(x,y)，因为向量c 与a 方向一致，所以c =λa
∴x =λ√3,y =λ
∵c 为单位向量，∴√(λ√3)2+λ2=1,解得λ=1
2
所以所求向量为(√32,12)
24.解:根据题意设抛物线的方程为x 2=−2py(p >0)，则焦点为(0,−p 2) 列方程{m 2=(−2)×(−2)p
√(m −0)2+(−2+p 2
)2=8 解得{p =12m =±4√3
所以抛物线的方程为x 2=24y , m 的值±4√3。

25.(1)解：∵a n >0，
a n+1a n =2，a 2=4 ∴q =a n+1
a n =2
∵a2=4=a1q
∴a1=2
所以通项公式为a n=a1q n−1=2×2n−1=2n
(2)∵ b n=log2a n
∴b1=log2a1=log22=1
b2=log2a2=log222=2
b3=log2a3=log223=3
……
b n=log2a n=log22n=n
∴b1+b2+b3+⋯+b n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)
2
26.(1)证明：连接EF
∵E、F分别是AB与AC的中点
∴在三角形ABC中，EF∥BC
EF在平面PBC外，BC在平面PBC内
∴EF∥平面PBC
(2)证明：由(1)可知EF∥BC
∴直线PE与直线BC所成的角就变为直线PE与直线EF所成的角，即∠PEF ∵侧面PAC为等边三角形，F为AC的中点
∴PF⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，且AC为两面的交线
∴PF⊥平面ABC
∴PF⊥EF
EF=BC/2=1, PF=√3
∴tan∠PEF=PF/EF=√3。