中考数学专题训练 二次函数压轴题

二次函数压轴题

1. 如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0

(1)求a的值；

(2)若PN∶MN＝1∶3，求m的值；

(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O 逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP2、BP2，求AP2

＋3

2

BP2的最小值．

图①图②

第1题图

解：(1)∵A(4，0)在抛物线上，

∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－1

2；

1

2

(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3

2x ＋2，令x ＝0可得y ＝2，

∴OB ＝2， ∵OP ＝m ， ∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△PAN ，

∴OB OA ＝PN PA ，即24＝PN

4－m

， ∴PN ＝1

2(4－m )，

∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋3

2m ＋2，

∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4，

∴－12m 2＋32m ＋2＝4×1

2(4－m )，

解得m ＝3或m ＝4(舍去)，

3

即m 的值为3；

(3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝3

2

，

第1题解图

由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2，

∴OP 2OB ＝3

2

，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2，

∴

QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32

， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝3

2BP 2，

∴AP 2＋3

2

BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ，

∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值，

4

又∵A (4，0)，Q (0，9

2)，

∴AQ ＝

42

＋（92）2＝1452

，

即AP 2＋32BP 2的最小值为145

2

.

2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于

A (－2，0)，

B (4，0)两点，与y 轴交于点

C ，抛物线的顶点为

D ，点P 是x

轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M . (1)求二次函数表达式及顶点D 的坐标； (2)当PM ＝MN 时，求点P 的坐标；

(3)设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE ＋HF 的值为定值，并求出这个定值．

第2题图

解：(1)∵A (－2，0)，B (4，

0)在二次函数的图象上，将A ，B 点代入二次

5

函数表达式中，

得?

????4a ＋（－2）b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0， 解得?????a ＝－12b ＝1

，

∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2

＋x ＋4，

将其化为顶点式为y ＝－12(x －1)2

＋92，

∴顶点D 的坐标为(1，9

2

)；

(2)由抛物线表达式得点C 的坐标为(0，4)，

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋c (k ≠0)，将点B (4，0)，点C (0，4)代入得

?????4k ＋c ＝0c ＝4，解得?????k ＝－1c ＝4

， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4，(5分) ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，

∴设点P 的坐标为(t ，－12t 2

＋t ＋4)(－2＜t ＜4)，

∵PN ⊥x 轴于N ，

∴点N的坐标为(t，0)，

∵PN交BC于M，

∴点M的坐标为(t，－t＋4)，(7分)

∵PM＝MN，点P在点M的上方，∴PN＝2MN，

即－1

2

t2＋t＋4＝2(－t＋4)，

解得t1＝2，t2＝4(与B重合舍去)，

∴当PM＝MN时，点P的坐标为(2，4)；(8分)

第2题解图

(3)如解图，过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标为(t，－1

2

t2＋t＋4)，

∵DH⊥x轴于点H，

∴PG∥DH，

6

7

∴△AHE ∽△AGP ， △BGP ∽△BHF ，

∴EH PG ＝AH AG ，PG FH ＝BG BH

， ∴EH ＝AH ·PG AG ，FH ＝BH ·PG BG

，(10分)

当点G 在BH 上时，

∵AH ＝BH ＝3，AG ＝t ＋2，BG ＝4－t ，PG ＝－1

2

t 2＋t ＋4，

∴EH ＋FH ＝3(PG t ＋2＋PG 4－t )＝3·(－12)(t ＋2)(t －4)·4－t ＋t ＋2

（t ＋2）（4－t ）

＝

9，

同理，当点G 在AH 上，由抛物线对称性可知，结果相同． 综上可知，HE ＋HF 的结果为定值，且这个定值为9.(14分)

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝1

2x ＋1与抛物线y ＝ax 2＋bx －3

交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3.点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D .

(1)求a 、b 及sin ∠ACP 的值；

8

(2)设点P 的横坐标为m .

①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值； ②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．

第3题图

解：(1)由1

2x ＋1＝0，得x ＝－2，

∴A (－2，0)，

由1

2x ＋1＝3，得x ＝4，∴B (4，3)． ∵y ＝ax 2＋bx －3经过A 、B 两点，

∴?

????（－2）2

·a －2b －3＝042·a ＋4b －3＝3，

9

解得?????a ＝

1

2

b ＝－1

2

，

如解图，设直线AB 与y 轴交于点E ，则E (0，1)． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP ＝∠AEO .

∴sin ∠ACP ＝sin ∠AEO ＝OA AE ＝222＋1

2＝25

5； (2)①由(1)知，抛物线的解析式为 y ＝12x 2－1

2x －3，

∴P (m ，12m 2－1

2

m －3)，

C (m ，12

m ＋1)，

∴PC ＝12m ＋1－(12m 2－12m －3)＝－12

m 2

＋m ＋4.

在Rt △PCD 中，PD ＝PC ·sin ∠ACP ＝(－12m 2＋m ＋4)×255＝－5

5(m －1)2

＋95

5

.

10

∵－5

5

<0，

∴当m ＝1时，PD 有最大值95

5；

②存在，m ＝52或32

9

.

【解法提示】如解图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为点F 、

G .

第3题解图

由图中几何关系可知 ∠FDP ＝∠DCP ＝∠AEO ， ∴cos ∠FDP ＝cos ∠AEO ＝

OE AE ＝122＋1

2＝55， 在Rt △PDF 中，DF ＝cos ∠FDP ·PD ＝55PD ＝－15(m 2

－2m －8)．

又∵BG ＝4－m ，

11

∴

PBC

PCD S S △△＝DF BG ＝－1

5（m 2－2m －8）4－m ＝m ＋2

5

. 当PBC

PCD

S S △△＝m ＋25＝910时，解得m ＝52；

当

PBC

PCD

S S △△＝m ＋25＝109时，解得m ＝329.

∴m ＝52或32

9

.

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA ＝3，AB ＝4，在

OC 上取一点E ，使OA ＝OE ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，E ，B 三点．

(1)求B ，E 点的坐标及抛物线表达式；

(2)若M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MA －ME |最大时，求M 点的坐标； (3)若点D 为OA 中点，过D 作DN ⊥BC 于点N ，连接AC ，若点P 为线段OC 上一动点且不与C 重合，PF ⊥DN 于F ，PG ⊥AC 于G ，连接GF ，是否存在点

P ，使△PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不

存在，请说明理由．

12

第4题图

解：(1)∵OA ＝3，AB ＝4, OA ＝OE ，∴A (0，3)，B (－4，3), E (－3，0)． 将A ，B ，E 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，

得?????c ＝316a －4b ＋c ＝39a －3b ＋c ＝0，解得????

?a ＝1b ＝4c ＝3

， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x ＋3；(3分)

(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋3的对称轴为直线x ＝－2，点A 关于对称轴的对称点为点B ，

∴当|MA －ME |最大时，M 在直线BE 与直线x ＝－2的交点处，即连接BE 并延长交直线x ＝－2于点M ，M 点即为所求，如解图①，(5分)

第4题解图①

设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，

13

∵直线过B (－4，3)，E (－3，0)，

∴?????－4k ＋b ＝3－3k ＋b ＝0， ∴?????k ＝－3b ＝－9

， ∴直线BE 的解析式为y ＝－3x －9. 当x ＝－2时， y ＝－3， ∴M (－2，－3)；(7分)

(3)设P (x ，0)(x ＜0)，如解图②，过点P 分别作PF ⊥DN 于点F ，PG ⊥AC 于点G ，

过点G 作GH ⊥OC 于点H ，交DN 于点Q ，连接GF ，

第4题解图②

∵OA ＝3，AB ＝4，∠AOC ＝90°， ∴AC ＝5，

14

∵D 为OA 的中点，DN ⊥BC ， ∴PF ＝32，sin ∠1＝PG PC ＝OA AC

，

∴PG x ＋4＝3

5

， ∴PG ＝3（x ＋4）

5

，

∵cos ∠1＝CG PC ＝OC

AC ，

∴CG x ＋4＝45

， ∴CG ＝4（x ＋4）

5.

∵△CGH ∽△CAO ，

∴GH AO ＝CG CA ＝CH CO

， ∴

GH 3＝CG 5＝CH

4

，

∴GH ＝35CG ＝35×4（x ＋4）5＝12（x ＋4）

25，

CH ＝45CG ＝45×4（x ＋4）5＝16（x ＋4）

25

，(9分)

15

∴PH ＝QF ＝OC －CH －OP ＝4－

16（x ＋4）25＋x ＝9（x ＋4）

25

，

GQ ＝GH －QH ＝12（x ＋4）25－3

2，

∴在Rt △GQF 中，

GF 2＝[12（x ＋4）25－32]2＋81（4＋x ）2625＝9（x ＋4）2

25－36（x ＋4）25＋94

.

要使△PGF 为等腰三角形，可分三种情况讨论： (ⅰ)当GF ＝GP 时， GF 2＝GP 2，

∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝9（x ＋4）2

25，

∴x ＝－3916

，

∴P 1(－39

16，0)；(11分)

(ⅱ)当FG ＝FP 时，FG 2＝FP 2， ∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝94，

∴x 1＝－4，x 2＝0. ∵点P 不与C 重合，

16

∴x ＝－4(舍去)，∴P 2(0，0)； (12分)

(ⅲ)当PG ＝PF 时，3（x ＋4）5＝3

2，

∴x ＝－3

2

，

∴P 3(－3

2

，0)．(13分)

综上所述，存在P 1(－3916，0)，P 2(0，0)，P 3(－3

2，0)使△PFG 为等腰三角

形．(14分)

5. 已知：直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，抛物线y ＝13x 2

＋bx

＋c 经过点A 、B ，且交x 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；

(2)点P 为抛物线上一点，且点P 在AB 的下方，设点P 的横坐标为m . ①试求当m 为何值时，△PAB 的面积最大；

②当△PAB 的面积最大时，过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为点D ，问在直线

PD 上是否存在点Q ，使△QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．

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第5题图 备用图

解：(1)∵直线y ＝1

2x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，

则A (6，0)，B (0，－3)，

又∵抛物线y ＝1

3x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，

则?????0＝13×62

＋6b ＋c －3＝c

， 解得?????b ＝－32

c ＝－3

，

∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－3

2

x －3；

(2)①∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，13m 2－3

2m －3)，

∵点P 在直线AB 下方，∴0＜m ＜6，

18

第5题解图①

如解图①，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点E ，交x 轴于点D ， 则E (m ，1

2

m －3)，

∴PE ＝12m －3－(13m 2－32m －3)＝－13m 2

＋2m ，

∴S △PAB ＝S △BPE ＋S △PEA ＝1

2PE ·OA

＝12(－13m 2

＋2m )×6 ＝－(m －3)2＋9，

∴当m ＝3时，△PAB 的面积最大；

②在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形；点Q 的坐标为(3，94)或

(3，－3

2

)．

【解法提示】直线PD 的解析式为：x ＝3，易得C (－3

2

，0)，D (3，0)，

当∠BCQ ＝90°时，如解图②，易证△COB ∽△QDC ，则CO OB ＝QD

DC

，可得Q (3，

9

4

)；

19

第5题解图②

当∠CBQ ＝90°时，如解图③，易知Q 在AB 上，将x ＝3代入直线y ＝1

2x －

3，得y ＝－32，∴Q (3，－3

2

)；

第5题解图③

当∠BQC ＝90°时，如解图④，易证△CDQ ∽△QRB ，则CD QR ＝DQ BR ，即9

23－DQ ＝DQ

3，

无解．

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第5题解图④

综上所述，在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形，点Q 的坐标为(3，94)或(3，－3

2

)．

6. 如图，抛物线y ＝x 2－4x －5与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D . (1)求A ，B ，C 三点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)如图①，点E (m ，n )为抛物线上一点，且2

(3)如图②，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

图① 图②

第6题图