高三数学二轮专题复习教案――三角函数

2009届高三数学二轮专题复习教案――三角函数

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600

+α的形式，

特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800

，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α

=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900

，k ∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；

⑴角度制与弧度制的互化：π弧度ο180=，1801π

=

ο弧度，1弧度ο)180

(

π

='1857ο≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角

函数的关系式、诱导公式：

（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

,cos ,sin r x r y ==

ααx

y =αtan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；

（3）特殊角的三角函数值 α

6

π 4

π 3

π 2

π π

2

3π 2π

sin α 0 21 22 2

3 1

-1

cos α 1

2

3 2

2 2

1 0 -1 0 1

（3）同角三角函数的基本关系：x x

x x tan cos ;1cos sin 22==+ （4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．

）: sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan α

sin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan α

sin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈ sin(2

π

α-)＝cos α,cos(2

π

α-)＝sin α sin(

2

π

α+)＝cos α,cos(

2

π

α+)＝-sin α

3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式

①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβαμ=±③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=±

（2）二倍角公式

二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α

α

α2tan 1tan 22tan -=

（3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式：2

1cos 2sin

2αα-=

、2

1cos 2cos 2αα+=、1sin cos sin 22

ααα=；

②辅助角公式：sin cos )a b ααα?++（?由,a b 具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-?.

4、三角函数的图象与性质

（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．

； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

sin y x =的对称轴是2

x k π

π=+

()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；

cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2

k π

π+()k Z ∈

tan y x =的对称中心是(

,0)()2

k k Z π

∈ 注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.

（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

sin()y A x ω?=+的简图，并能由图象写出解析式．

⑴“五点法”作图的列表方式；

⑵求解析式sin()y A x ω?=+时处相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ?ω

=-. （三）正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩

sin y x =的图象???0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ?=+的图象()ωωω

?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)

k k k >

得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

???ω

>

个单位

得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)

k k k >

得sin()y A x k ω?=++的图象． 5、解三角形

Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB

C ?外接圆直径）

注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③

C

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=

==。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=等三个；注：bc

a c

b A 2cos 2

22-+=等三个。

Ⅱ。几个公式:

⑴三角形面积公式：

))(2

1

(,))()((sin 2

1

21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=

---===

?； ⑵内切圆半径r=c

b a S ABC ++?2；外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >?> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时： ①a

②a=h 时，一解（直角）；③hb 时，一解（锐角）。

三、考点剖析

考点一：三角函数的概念

【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。

【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。

例1、（2008北京文）若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 . 解：222tan 4

tan 2,tan 2.11tan 3

αααα-=

=-∴==-Q 点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。

考点二：同角三角函数的关系

【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意2

2sin

cos 1αα+=，这是一个隐含条件，在解题时要经常能

想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。

【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。

例２、（２００８浙江理）

若cos 2sin αα+=则tan α=( ) （A ）

21 （B ）2 （C ）2

1

- （D ）2- 解

：由cos 2sin αα+=

cos 2sin αα=，

又由22sin cos 1αα+=，可得：2

sin α

＋（2sin α）2＝1

可得αsin ＝－552

，cos 2sin αα=＝－5

5

， 所以，tan α＝

α

α

cos sin ＝2。 点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：2

2

sin cos 1αα+=，与它联系成方程组，解方程组来求解。

例3、（2007全国卷1理1）α是第四象限角，5

tan 12

α=-，则sin α=（ ） A ．

15

B ．15

-

C ．

513

D ．513

-

解：由5tan 12α=-，所以，有??

?

??=+-=1

cos sin 12

5cos sin 22αααα，α是第四象限角， 解得：sin α=513

-

点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：α

α

αcos sin tan =，同样要能想到隐含条件：2

2

sin cos 1αα+=。

考点三： 诱导公式 【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2

π

?

k +α的整数k 来讲的，象限指2

π

?

k +α中，将α看作锐角时，

2π

?

k +α所在象限，如将cos(

23π+α)写成cos （23π

?+α），因为3是奇数，则“cos ”变为对偶函数符号“sin ”，又23π+α看作第四象限角，cos(23π+α)为“+”，所以有cos(23π

+

α)=sin α。

【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。

例4、(2008陕西文) sin330?等于（ ）

A ．2

-

B ．12

-

C ．

12

D ．

2

解：sin 330sin(36030)?=?-o

＝1sin 302

-=-

o

点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。 答案：725-

例5、（2008浙江文）若==+θθπ

2cos ,5

3

)2sin(

则 . 解：由3sin()25πθ+=可知，3cos 5θ=；而2

237cos 22cos 12()1525

θθ=-=?-=-。

点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。

考点四：三角函数的图象和性质

【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-

2π，2

π

）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x 轴的交点，会用五点法画函数sin()y A x x ω?=+∈R ，的图象，并理解它的性质：

（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（２）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；

（３）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的

1

4

个周期。 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。

【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。

例6、(2008天津文)设5sin

7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<

解：2sin 7a π=，因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 777

2πππ

<<<<，选D ．

点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，4π］，［4π， 2

π

］的大小的比较，画出它们的

图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。

例7、(2008山东文、理)函数π

πln cos 2

2y x x ??=-

<< ???的图象是（ ）

解： ln cos ()2

2

y x x π

π

=-<<

是偶函数，可排除B 、D ，由cos x 的值域可以确定.因

此本题应选A.

点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。

例8、(2008天津文)把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π??

=-

∈ ???

R ， B ．sin 26x y x π??

=+∈

??

?R ， C ．sin 23y x x π??

=+

∈ ??

?

R ， D ．sin 23y x x 2π??

=+

∈ ??

?

R ， 解： y=sin x

3

π

??????→

向左平移个单位

sin()

3

y x π

=+1

2

???????→

横坐标缩短到原来的倍

sin(2)

3

y x π

=+，故选（C ）。

点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可。

例9、（２００８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2

32cos(ππ

，∈+=x x

y 的图象和直线2

1

=

y 的交点个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解：原函数可化为：

])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2x

x π∈作出原函数图像，

截取[0,2]x π∈部分，其与直线21

=y 的交点个数是2个.

点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。

考点五：三角恒等变换

x

x

A ．

B ．

C ．

D ．

【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。

【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。

例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2

+-=

（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数??

?

???∈2,

0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2

+-=x x 2sin 2

1

22cos 13+-?

-= 232cos 232sin 21-+=

x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ

==2

2T （II ）∴2

0π

≤

≤x ∴

3

43

23

π

π

π

≤

+

≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx 所以)(x f 的值域为：??

?

???--232,

3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

例11、（2008广东六校联考）已知向量a ρ＝(cos 23x ，sin 23

x )，b ?＝(2

sin 2cos x x ，-)，

且x ∈[0，

2

π

]．

（1）求b a ?

?+

（2）设函数b a x f ??+=)(+b a ?

??，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

解：（I ）由已知条件： 2

0π

≤≤x ， 得：33(cos cos ,sin sin )2222x x x x a b +=+-r

r

2 x x sin 22cos 22=-= （2）2

sin 23sin 2cos 23cos

sin 2)(x

x x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 23)21(sin 21sin 2sin 222

+--=++-=x x x ，因为：2

0π≤≤x ，所以：

1sin 0≤≤x

所以，只有当： 21=

x 时， 2

3

)(max =x f ，0=x ，或1=x 时，1)(min =x f 点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图

象等知识。

例12、（2008北京文、理）已知函数2

()sin sin()(0)2

f x x x x π

ωωωω=+f 的

最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，

23

π

]上的取值范围.

解：（Ⅰ）1cos 2()222

x f x x ωω-=

+

=11cos 2222

x x ωω-+ =1

sin(2).62

x πω-+

因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22π

πω

= 解得ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2).62

f x x π

=-+ 因为0≤x ≤23

π， 所以12

-

≤26x π-≤7.6π

所以12-≤(2)6

x π

-≤1.

因此0≤1sin(2)62x π-+≤32，即f (x )的取值范围为[0，3

2

]

点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。

考点六：解三角形

【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运

用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。

解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。

【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。

例13、（2008广东五校联考）在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且

10

10

3cos ,21tan ==

B A

（1）求tanC 的值; （2）若⊿ABC 最长的边为1，求b 。 解：（1

）cos 0,10

B =

>Q ∴B 锐角,

且sin B ==

,sin 1tan cos 3

B B B ∴==, []11

tan tan 23tan tan ()tan()1111tan tan 123

A B

C A B A B A B π+

+∴=-+=-+=-=-=--?-?

(2)由(1)知C 为钝角, C 是最大角,最大边为c=1,

tan 1,135,sin C C C =-∴=?∴=

Q , 由正弦定理:

sin sin b c

B C

=

得1sin sin 5c B b C ===。

点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。

例14、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2。（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。 解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=o o o

∠，CB AC CD ==， 所以15CBE =o

∠．

所以cos cos(4530)CBE =-=o

o

∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，

由正弦定理2sin(4515)

sin(9015)

AE =

-+o o o o ．

故2sin 30cos15AE =

o

o 12?

=

=

点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角45度，30度，60度，推导15度，75度的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。

例15、(2008湖南理)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A

北偏东45o

且与点A 相距

海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东

45o +θ(其中sin θ

，090θ<

)且与点A 相距

C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解: （I ）如图，AB

，

26,sin .26

BAC θθ∠==

由于090θ<

o

,所以cos θ=2265261().26-= 由余弦定理得BC=

222cos 10 5.AB AC AB AC θ+-?=g

所以船的行驶速度为105

15523

=（海里/小时）. （II ） 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，

设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D.

由题设有，x 1=y 1=

2

2

AB=40, x 2=AC cos 1013cos(45)30CAD θ∠=-=o

,

y 2=AC sin 1013sin(45)20.CAD θ∠=-=o

所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =

20

210

=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d =

357.14

=<+ 所以船会进入警戒水域.

点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。 四、方法总结与2009年高考预测

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝

2

β

α+－

2

β

α-等。

（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?＝a

b

确定。 2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

5．高考考点分析

近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。

五、复习建议

1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。

2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。

3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。