二次函数的符号
二次函数符号确定
1 二次函数 的图象 如图所示，则a 0，b 0，c 0
2 二次函数
的图象 如图所示，那么下列四个结论：
① a <0 ；② c >0 ③ b 2-4ac >0 ;④
a
b <0中，正确的结论有( )个 3 已知：抛物线 （a ＜0）经过点(－1，0),且满足4a ＋2b ＋
c ＞0． 以下结论：①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③－a ＋b ＋c ＞0；④b 2 -2ac ＞ 0 ．
其中正确的个数有（ ）个
4.抛物线 过第二、三、四象限，则 0， 0， 0． (1)抛物线 过第一、二、四象限，则 0, 0， 0． (2)已知抛物线 与 x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （a ，c ）在第
象限． 5.二次函数 的图象如图
所示，
则 a 0， b 0， c 0， b 2-4ac 0，a ＋b ＋c 0，a －b ＋c 0；
6.已知二次函数 中 ，则此函数的图象
不经过第 象限
(1)已知二次函数 中 ，则此函数的图象不经
过第 象限 7.如图，直线x= –1是二次函数 的图象的对称轴，则下列代数式abc ，
2y ax bx c =++2y ax bx c =++2y ax bx c =++2y ax bx c =++2y ax bx c =++2y ax bx c =++0,0,0<>
a+b+c，b2-4ac，2a-b，3a-b，中负数有（）个。
（A）1（B）2（C）3（D）4
8.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值: (1)a；(2)b；
(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a-b＋c;(8)a+2b+4c
二次函数中的符号问题
二次函数中的符号问题 一、基本知识： （1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同 （2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的. 抛物线与y 轴相交于正半轴上； 抛物线与y 轴相交于原点； 抛物线与y 轴相交于负半轴上. （3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的. 对称轴在y 轴的左侧； 对称轴在y 轴的右侧； 对称轴就是y 轴. （4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的. 抛物线与x 轴有2个交点； 抛物线与x 轴有1个交点； 抛物线与x 轴有0个交点. （5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是: y 恒大于0 y 恒小于0 （6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ） 顶点在x 轴上 顶点在y 轴上 二、例题： 例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0， （3） 例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______； （2） 练习： 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a_____0，b____0，c_____0； （2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0 c_____0b 21a 41+-1_____0b 2 1a 41--
二次函数符号abc的判定练习
二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定 一、基础练习 1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图 所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果① b 2＞4a c ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结 论是（ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤ 3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1）， 下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确 结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的是（ ） A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图 所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其 中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，下面四条信息： （1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．错 误的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个 7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的 是（ ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -b/2a ＜-1 D 、a-b+c ＜0 8、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结 论： ① b 2-4ac ＞0 ②abc ＞0 ③8a+c ＞0 ④9a+3b+c ＜0， 则其中结论正确 的个数是（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
二次函数中的符号问题
第二十二章二次函数 22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质 第2课时：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确 定a,b,c,△等式子的符号。 【学情分析】 学生之前已经系统学习了二次函数的定义，图像及性质等基本知识，但是缺乏对知识之间内在联系的再认知，本节课内容的复习既是旧知识的再现，又是知识内部联系规律的生成，考虑到本节课要应用图像分析系数，要运用规律综合解决一些问题，所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结，重视原理的建构和方法的应用。 【教学重、难点】 教学重点是：掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。 教学难点是：运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三
【教学过程】 一、知识链接温故而知新 （一）回味知识点： 1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。 3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。（二）归纳知识点： 抛物线y=a x2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定： 开口向上a>0 开口向下a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方c>0 交点在x轴下方c<0 经过坐标原点c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧a、b异号 对称轴是y轴b=0 简记为：左同右异（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定:
判定二次函数中的a,b,c的符号
二次函数：图象位置与a, b, c, (1)a决定抛物线的开口方向：?| . (2)C决定抛物线与尸轴交点的位置，心aDq抛物线交尸轴于； =抛物线交轴于；—0Q. (3)ab决定抛物线对称轴的位置， 当儿"同号时Q对称轴在F轴；对称轴为；以片异号匕对称轴在〉轴，简称为? 一、通过抛物线的位置判断a, b, c, △的符号. y 例1 .根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b 2 -4ac的符号 2.看图填空 (1) a+ b+ c _____ 0 (2) a—b+ c ______ 0 (3) 2a— b ______ 0 (4) 4a+ 2b+ c _______ 0 二、通过a, b, c, △的符号判断抛物线的位置：
例1 .若，则抛物线y=ax 2 +bx+c的大致图象为（） 例2.若a>0, b>0, C>0,A> 0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限. 例 3.已知二次函数y=ax2+bx+c 且a v 0, a-b+c >0;则一定有b2-4ac 0 例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（） B D C A 1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线尸血山经过象限. y 2 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是（ A、甬* “ > 山匕v 0 B、tr - 4ac< 0 C、山十&十° D、 y （b ac 3 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图，则点心〃丿在.（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y 4 .二次函数y=ax2 +bx+c与一次函数一在同一坐标系中的图象大致是（
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
二次函数符号abc的判定练习
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法 一、知识点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． （4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 二、基础练习 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（） A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac； ②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数 是（） A、1 B、2 C、3 D、4 4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列 结论正确的是（） A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2 =3 C、2a-b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小 5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（） A、1 B、2 C、3 D、4
二次函数abc符号确定
二次函数a 、b 、c 符号的确定 一．选择题（共13小题） 1．（2013?黔东南州）二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） 2．（2013?崇明县一模）已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，那么a ，b ，c 的符号为（ ） 3．（2014?兰州）二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下 列四个结论错误的是（ ） 4．（2014?徐汇区一模）已知抛物线y=ax +3x+（a ﹣2），a 是常数且a ＜0，下列选项中可 D ＞ 0 6．（2014?邢台一模）抛物线y=ax +bx+c 如图，考查下述结论：①b ＜0；②a ﹣b+c ＞0； ③b 2＞4ac ；④2a+b ＜0．正确的有（ ） 7．（2014?兴化市一模）如图，二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过（﹣1，0）、（0，3）， 下列结论中错误的是（ ） 8．（2013?定西）已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a+b+c ＜0；④a ﹣b+c ＞0； ⑤4a+2b+c ＞0， 错误的个数有（ ）
9．（2013?滨州）如图，二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论： ①2a+b=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2． 其中正确的个数是（ ） 10．（2013?邢台一模）已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，则下列条件正确的是（ ） 11．（2013?红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1，下列结论： ①abc ＞0；②4a ﹣2b+c ＜0；③2a ﹣b ＜0；④b 2 +8a ＞4ac ． 其中正确的有（ ） 12．（2013?百色）在反比例函数y=中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y=mx 2 +mx ． C D ． 13．（2013?长安区模拟）二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，下列结论： ①a+b+c ＞0；②a ﹣b+c ＞0；③ abc=0；④2a ﹣b=0， 其中正确的有（ ） 二．解答题（共2小题） 14．（2008?密云县一模）已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的一段图象如图所示． （ 1）确定a 、b 、c 的符号； （2）求a+b+c 的取值范围． 15．已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示， （1）判断a ，b ，c 及b 2 ﹣4ac ，a ﹣b+c 的符号； （2）求a+b+c 的值； （3）下列结论：①b ＜1，②b ＜2a ，③a ＞，④a+c ＜1， ⑤﹣a ﹣b+c ＜0．其中正确的有 _________ ，请说明理由．
初中数学有关二次函数的符号判断
有关二次函数的符号判断 前面，我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质： 二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ,应用配方法可将其化为=y ．其中=h ， =k ．其图象与函数2ax y =的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物 线的位置与?,,,c b a 之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说： （1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置： 0>c ?抛物线交y 轴于 ； 0
二次函数中的符号问题
课题：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,?的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确定a,b,c,?等式子的符号。 【教学重点】数形结合思想的熟练运用 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三 【教学过程】 一、知识链接温故而知新 自学：抛物线y=a x 2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0；开口向下 a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 ；交点在x轴下方 c<0 经过坐标原点 c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定：简记为：左同右异 对称轴在y轴左侧 a、b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y轴b=0 （4）b 2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点b 2-4ac>0；与x轴有一个交点 b 2-4ac=0 ；与x轴无交点 b 2-4ac<0； （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定,利用以上知识主要解决以下几方面问 题： （1）由a,b,c,?的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置； （2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,?等符号及有关a,b,c的代数式的符号； 二、（探究活动）典例学习温故而知新 【活动一】若二次函数c bx ax y+ + =2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴 的正半轴; 则点 ? ? ? ? ? b c a P,在（） .
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 【变式训练1】 如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【变式训练2】 二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。 （小组交流自学成果并展示） 【活动二】 已知：二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0； ②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c) 2＜b 2，其中正确的个数是 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 三 、 教学互动 效果检测 1.（2008甘肃兰州）已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 O
二次函数中的符号问题专题复习
二次函数中的符号问题专题复习
挑战中考中考链接： 1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M （，a）在（ D ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 第3题第4题 2、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一 坐标系中的大致图象是图中的（C） (A) (B) (C) (D) 3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0， 正确的个数是（C） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2， 其中正确的个数是（B）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 突破中考： 1．(2012年)如图1，在平面直角坐标系中，有两条位置确 定的抛物线，它们的对称轴相同， 则下列关系不正确的是（ A ） A．k=n B．h=m C．k ＜n D．h＜0，k＜0 2．(2013年)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 4所示，下列说法错误 ．．的是( D ) （A）图象关于直线x=1对称 （B）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是-4 （C）-1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根 （D）当x<1时，y随x的增大而增大 3. (2014年)如图3，已知二次函数y =x x2 2+ -，当1 - 二次函数：图象位置与a ，b ，c ，△的符号 （1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ?抛物线交y 轴于 ； 0 1．若抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，则直线3+=ax y 经过 象限． 2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) A 、0,0,0<> 二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增 大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） x y O 1 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O 专题2：二次函数中的系数符号问题 2-的符号与谁有关： (一) a、b、c、△=ac b4 1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定，当开口向上时，则 ; 当开口向下时，则； 若交点在y轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（），若交点在y轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y轴左侧，则a、b符号 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，若对称轴在y轴右侧，则a、b符号 若对称轴是y轴，则 与x轴有两个交点，则 4、抛物线与x轴的交点个数由决定，与x轴有一个交点，则 与x轴无交点，则 （二）抛物线y=ax2+bx+c的其他符号问题： 点在x轴上方，则a+b+c 。 1.a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a+b+c 。 点在x轴上，则a+b+c 。 点在x轴上方，则a－b+c 。 2.a-b+c的符号：由x= －1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a－b+c 。 点在x轴上，则a－b+c 。 3.2a±b的符号：由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 （三）常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法：二次函数c + =2，若 x=m时，y<0，当x=n时，y>0,则，则 y+ ax bx + =2和x轴必有交点 y+ ax bx c （四）你还可以补充： 练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，2 40b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 二次函数abc组合的符号判断（一）（通用版） 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ，则下列结论正确的是( ) A. B. a+b=0 C. D. 6.(本小题16分)如图，二次函数图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的有( ) A. 1个 B. 4个 D. 2个 7.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④；⑤．其中正确的是( ) A. ②③⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二次函数abc组合的符号判断（二）（通用版） 单选题(本大题共6小题，共100分) 1.(本小题15分)二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线x=-1，且过点 （-3，0）．下列说法：①；②2a-b=0；③；④若， 是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) 专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系： 一、选择题 1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 2．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( ) 图2－ZT －1 A ．a ＜0 B ．b ＞0 C ．b 2 －4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜0 3．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2 －2(b －2)x ＋b 2 －1的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是( ) A ．b ≥5 4 B ．b ≥1或b ≤－1 C ．b ≥2 D ．1≤b ≤2 4．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝ a － b －c x 在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －3 5．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b x 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( ) 图2－ZT －4 6．2017·烟台二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2 ＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( ) 图2－ZT －5 A ．①④ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④ 7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和 二次函数的图象与a,b,c 的符号问题 【学习目标】 【课前自学】 22 2. 抛物线31-+-=x y 的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 3. 抛物线342 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 . 【课堂学习】 一、自主探索： 1.观察c bx ax y ++=2 的图象，你能得到关于c b a 、、的哪些信息？ 2.归纳： ⑴a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0⑵b 的符号由 决定； ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③ 是y 轴 ?b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c ）在原点 ?c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0. ⑷ac b 42 -的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当x =1时，y = ，对应的点的坐标记为： ； 当x =-1时，y = ，对应的点的坐标记为： . 【课堂练习】 二次函数的图象与性质具体如下图所示： 【典型例题】 例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b 二次函数系数符号的确定 活动一：复习引入： 1.复习用“>”“<”填空 ①，反比例函数x k y = k 0 ② ,b kx y +=一次函数k 0, b 0. 2.思：二次函数c bx ax y ++=2呢 a 0, b 0, c 0 活动二 a.c 符号 1.开口方向向上，则a 开口方向向下，则a 2.抛物线与x 轴的交点在x 轴上方，则c 0, 与x 轴交点在下方，则c 0, 练习： 活动三:b 的符号 1.对称轴：a b x 2-= 分析图1 学生练习图2 x y O x y O y O x y 2.思考：a.b 同号，则对称轴在y 轴 侧；a.b 异号，则对称轴在y 轴 侧。 3.练习：快速说出b 的符号。（图略） 活动4： 1.看图填空 （1）a ＋b ＋c_______0（2）a －b ＋c_______0 （3）2a －b _______0（4）4a ＋2b ＋c_______0 2.练习： ②（稍难二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2） 和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ①.（2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 活动5：画草图 1. 4-22x x y += 4-2-2x x y += 2. 归纳：①开口方向 ②与y 轴交点，x 轴交点， ③顶点坐标 活动6.达标测评 1．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) 2（岳阳2013）.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④ b ＋2a ＝0；⑤a ＋b ＋ c ＜0.其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 O A x y O B x y O C x y O D x y 一、选择题 1. (2010 天津市) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2. (2011 甘肃省兰州市) 如图所示的二次函数 2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2 40b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误．．的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3. (2011 湖北省孝感市) 如图，二次函数 2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交， 其顶点坐标为112?? ??? ，，下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③2 44ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (2012 山东省威海市) 已知二次函数 ()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论错误的是 （ ）． （A ）0abc > （B ）32a b > （C ）()m am b a b +-≤（m 为任意实数） （D ）42 0a b c -+< 5. (2012 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的 两个交点分别为 ()()1030.-，，，对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③240a b c -+<；④ 二次函数abc组合的符号判断 对于二次函数中abc组合的符号判断套路掌握情况，分为三个层次，首先根据函数图象确定a，b，c符号以及对称轴信息，其次是找特殊点的函数值，获取等式和不等式，最后在判断残缺型符号时，将等式代入不等式。过程中考查学生读图，数形结合以及逻辑分析能力。 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) ? A. ②③ ? B. ③④ ? C. ②④ ? D. ①④ 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察 得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. a+b=0 ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 资料 二次函数a 、b 、c 符号的确定 一．选择题（共13小题） 1．（2013?黔东南州）二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） 2．（2013?崇明县一模）已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，那么a ，b ，c 的符号为（ ） 3．（2014?兰州）二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下 列四个结论错误的是（ ） D 5．（2014?沙湾区模拟）函数y=ax +bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法错误的是（ ） ＞ 0 6．（2014?邢台一模）抛物线y=ax +bx+c 如图，考查下述结论：①b ＜0；②a ﹣b+c ＞0； ③b 2 ＞4ac ；④2a+b ＜0．正确的有（ ） 7．（2014?兴化市一模）如图，二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过（﹣1，0）、（0，3）， 下列结论中错误的是（ ） 8．（2013?定西）已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a+b+c ＜0；④a ﹣b+c ＞0； ⑤4a+2b+c ＞0， 错误的个数有（ ） 9．（2013?滨州）如图，二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论： ①2a+b=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2． 其中正确的个数是（ ） 10．（2013?邢台一模）已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，则下列条件正确的是（ ） 11．（2013?红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1，下列结论： ①abc ＞0；②4a ﹣2b+c ＜0；③2a ﹣b ＜0；④b 2 +8a ＞4ac ． 其中正确的有（ ） 12．（2013?百色）在反比例函数y=中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y=mx 2 +mx B 13．（2013?长安区模拟）二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，下列结论： ①a+b+c ＞0；②a ﹣b+c ＞0；③abc=0； ④2a ﹣b=0， 其中正确的有（ ） 二．解答题（共2小题） 14．（2008?密云县一模）已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的一段图象如图所示． （1）确定 a 、 b 、 c 的符号； （2）求a+b+c 的取值范围． 15．已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示， （1）判断a ，b ，c 及b 2 ﹣4ac ，a ﹣b+c 的符号； （2）求a+b+c 的值； （3）下列结论：①b ＜1，②b ＜2a ，③a ＞，④a+c ＜1， ⑤﹣a ﹣b+c ＜0．其中正确的有 _________ ，请说明理由．判定二次函数中的a,b,c
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