2019-2020年高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷

2019-2020年高中数学联赛（上海）赛区竞赛试卷

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .

2.已知正整数1210,,

,a a a 满足:

3

,1102

>≤<≤j

i a i j a ,则10a 的最小可能值是 .

3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4

cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ

17

cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .

4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .

5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知

90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .

6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .

7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）

8．数列{}n a 定义如下：()1221

211,2,,1,2,22

+++===

-=++n n n n n

a a a a a n n n .若

2011

22012

>+

m a ，则正整数m 的最小值为 .

E1

D 1

A

二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．

求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．

10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )

()1sin a x x f x x

++=+的最小值．

11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：

（1）4

3

xy yz zx ++≥

； （2）2x y z ++≥．

O

D

C

B

A

12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下

两个条件的子集A 的元素个数的最小值：

（a ） 1,21n A A ∈-∈；

（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．

2012年上海市高中数学竞赛答案

1 2、9

2 3、11 4、(){},04-∞

52

6、()()3,0,2,2

7、2

5

8、4025

9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

2222211

()(1)22

OB OC AB BC x +=+=+． ①

…………………（2分）

在△OBC 中，由余弦定理

2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-?∠，

所以 221OB OC OC +?=， ②

由①，②得 2

OB OC ?=． ③

…………………（5分）

所以 1

44s i n 2

A B C D O B C S S O B O C B O C ?

==?

?∠

OC ?21

2

x -=， 故 ()AB h x ?21

2

x -=，

所以 21

()2x h x x

-=． …………………（10分）

由③可得，210x ->，故1x >．

因为222OB OC OB OC +≥?，结合②，③可得

221(1)22x +≥

解得（结合1x >）

11x <+．

综上所述，21

()2x h x x

-=

，11x <≤． …………………（14分）

10．解 (sin )(4sin )3(1)

()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x

++-==++++++．

当7

13

a <≤

时，02，此时

3(1)

()1sin 221sin a f x x a a x

-=++++≥++，

且当(]()sin 11,1x =∈-

时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）

当73a >

2>，此时“耐克”函数3(1)

a y t t -=+

在(

0,内是递减，故此时

min 3(1)5(1)

()(1)2222

a a f x f a -+==+++=．

综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.

2

3a a f x a a ?

+<≤??=?

+?>?? …………………（14分） 11．证 （1

）记t =

3

32

2

3xy yz zx xyz ++??=

≤ ???

．

…………………（4分） 于是 3

2

4993xyz xy yz zx t t =+++≤+，

所以 ()()

2

323320t t t -++≥，

而2

3320t t ++>，所以320t -≥，即2

3t ≥

，从而 43

x y y z

z x ++≥． …………………（10分） （2）又因为

2()3()x y z xy yz zx ++≥++，

所以 2()4x y z ++≥，

故 2x y z ++≥． …………………（16分）

12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ?-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由

于{}()1,,72,3,

,6m m =不满足（b ）

，故3A >． 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ）

，故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．

…………………（6分） （2）首先证明

(1)()2,3,4,

f n f n n +≤+=． ①

事实上，若{}1,2,,21n A ?-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．

令{}1

12

2,21n n B A

++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．

又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +?-，

且B 满足（a ），（b ）．从而

(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）

其次证明：

(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②

事实上，设{}1,2,

,21n A ?-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令

{}222(2

1),2(21),

,2(21),21n

n n n n B A

=----，

由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，

所以{}21,2,

,21n B ?-，且()1B f n n =++．而

12(21)2(21)2(21),0,1,

,1k n k n k n k n +-=-+-=-，

2212(21)(21)n n n n -=-+-，

从而B 满足（a ），（b ），于是

(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得

(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++

(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++

(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）