定积分的几何应用

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于是曲线弧的长为
s j 2(t) 2(t) dt .

b 曲线yf(x)(axb)的弧长: s a 1 y2 dx .
曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长: s


j 2(t) 2(t)dt .
例12 求摆线xa(sin), ya(1cos)的一拱(02 )的 长度. 解 弧长元素为
三、体积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.
1.旋转体的体积
旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. •旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 于是体积元素为 dV[f(x)]2dx. •旋转体的体积
0

2ab ab . 2
2
2.极坐标情形
•曲边扇形 曲边扇形是由曲线j()及射线, 所围成的图形. •曲边扇形的面积元素
dS 1 [j ( )]2 d . 2 •曲边扇形的面积
S 1 [j ( )]2 d . 2

1 曲边扇形的面积: S [j ( )]2 d ( j ( ), ) . 2 例4 计算阿基米德螺线a (a>0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
解 解
1 y x 2
, 从而弧长元素
ds 1 y2 dx 1 x dx .
因此, 所求弧长为
s a
b
3 3 3 2 2 1 x dx [ (1 x) 2 ]b 1 b) 2 (1 a) 2 ] . a [( 3 3
b 曲线yf(x)(axb)的弧长: s a 1 y2 dx .
2 b V a y dx a 2 (a 2 x2 )dx a 2 4 b 1 2 3 a 2 [a x x ]a ab2 . 3 3 a a 2 a
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的 截面面积为A(x).
立体的体积元素为 A(x)dx.
立体的体积为 V bA(x)dx . a
b 截面面积为A(x)的立体体积: V a A(x)dx .
例9 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面 交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 解 建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2. 立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角 三角形,其面积为
(3) 求和,得A的近似值 A f ( i )xi .
(4) 求极限,得A的精确值
ห้องสมุดไป่ตู้A lim f ( i )xi f ( x )dx a 0
b
i 1
n
提示 若用A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积,
则 A A,并取A f ( x )dx , 于是 A f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下
n 个长度为x i 的小区间,相应的曲 (1)把区间[a , b] 分成
边梯形被分为n 个小窄曲边梯形,第 i 的面积为Ai ,则 A Ai .
i 1 n
个小窄曲边梯形
(2)计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
i xi
n i 1
U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式,在 3)以所求量
区间[a , b]上作定积分,得U
U 的积分表达式. 即为所求量
这个方法通常叫做元素法.
应用方向:
a f ( x )dx ,
b
平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 功;水压力;引力和平均值等.
二、平面图形的面积
1.直角坐标情形
讨论: 由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y) 及上下两条直线yd与yc所围成的平面 图形的面积如何表示为定积分? 提示: 面积元素为[j右(y)j左(y)]dy, 面积为 S d [j右 ( y) j左 ( y)]dy . c
b
d
S a[ f上 (x) f下(x)]dx . S c [j右 ( y) j左 ( y)]dy .
在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为
ds 1 y2 dx . 这也就是弧长元素.
因此,曲线弧的长度为 s b 1 y2 dx . a
b 曲线yf(x)(axb)的弧长: s a 1 y2 dx .
3 2 例 11 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的 3 长度.
2 1 2 解 4 a2 3 . 解 S0 (a)2d 1 a2[1 3]0 2 3 3 2 例5 计算心形线a(1cos)(a>0)所 围成的图形的面积.
1 解 解 S 20 [a(1 cos ]2 d 2 2 1 a 0 ( 2 cos 1 cos2 )d 2 2 3 a2 . a2[ 3 2sin 1 sin 2 ] 0 2 4 2
S a[ f上 (x) f下(x)]dx . S c [j右 ( y) j左 ( y)]dy .
例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在y轴上的投影区间 [2, 4]. (3)确定左右曲线
b
d
j左 ( y) 1 y 2, j右 ( y) y 4 .
例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在x轴上的投影区间[0, 1];
b
d
(3)确定上下曲线 f上 (x) x , f下 (x) x2 . (4)计算积分
S 0 ( x x2 )dx
[ 2 3
3 x2
1
1. 1 x3]1 3 0 3
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b
o a x x dx bx
U 符合下列条件: 当所求量 (1)U 是与一个变量x 的变化区间a , b 有关
的量;
(2)U 对于区间a , b 具有可加性,就是说, U 相 如果把区间a , b 分成许多部分区间,则 U 等于所有部分量之 应地分成许多部分量,而 和; (3)部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ;
2
(4)计算积分
S 2 ( y 4 1 y 2 )dy 2 [ 1 y2 4 y 1 y3]4 2 18 . 2 6
4
2 y 例3 3 求椭圆 x 例 1 所围成的图形的面积. 2 2 a b 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍. 2
椭圆在第一象限部分的面积元素为 ydx, 于是
ds a (1 cos ) a sin d 2a sin d .
2 2 2 2
于是所求弧长为
2
s 0 2a sin d 2
2
2a[2 cos ]2 8a.
2
0
五、小结
微元法的提出、思想、步骤.
(注意微元法的本质)
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
设平面图形由上下两条曲线 yf 上 (x) 与 yf 下 (x) 及左右两条直线 xa与xb所围成.
在点x处面积增量的近似值为
[f上(x) f下(x)]dx, 它也就是面积元素.
因此平面图形的面积为
S a[ f上 (x) f下(x)]dx .
b
S a[ f上 (x) f下(x)]dx . S c [j右 ( y) j左 ( y)]dy .
b 旋转体的体积: V a [ f (x)]2 dx .
2 2 y x 例7 计算由椭圆 2 2 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 a b 旋转体(旋转椭球体)的体积. 解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆 y b a2 x2 及 x a 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.
旋转椭球体的体积为
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
微元法的一般步骤:
1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x [a , b] ; 为积分变量,并确定它的变化区间
n 个小区间,取其中任 2)设想把区间[a , b] 分成 一小区间并记为[ x , x dx ] ,求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积,就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记 作 dU ,即 dU f ( x )dx ;
V a [ f (x)]2 dx .
b
b 旋转体的体积: V a [ f (x)]2 dx .
例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴围 成一个直角三角形 . 将它绕x轴旋转构成一个底半径为 r、高 为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. r 解 直角三角形斜边的直线方程为 y x . h h r V 0 ( x)2 dx h 2 r h 1 hr 2 . 2 [1 x3]0 3 h 3
A(x) 1 (R2 x2 ) tan . 2 所求立体的体积为
1 V R (R2 x2 ) tandx 2 2 R3 tan R 1 tan[R2 x 1 x3] . R 2 3 3
R
四、平面曲线的弧长
•直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现在来计算 这曲线弧的长度.
•参数方程情形
设曲线弧由参数方程xj(t)、y(t)(t)给出, 其中 j(t)、(t)在[, ]上具有连续导数. dy (t) 因为 , dxj (t)d t, 所以弧长元素为 dx j (t)
2(t) ds 1 2 j (t)dt j 2(t) 2(t) dt . j (t)
S 40 ydx .
a
因为椭圆的参数方程为 xacost, ybsint, 所以
4 4 bsin sintd td(( a acos cos tt )) S S 4 4 ydx ydx b 00
22
aa
00
4ab sin 2 tdt 2ab02 (1 cos2t)dt
(注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算)
y 旋转体的体积 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周
绕 x 轴旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 直角坐标系下
求弧长的公式 参数方程情形下 极坐标系下
§6.2 定积分在几何学上的应用
一、元素法 二、平面图形的面积
三、体积 四、平面曲线的弧长
一、元素法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
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