正态分布推导

正态分布的推导

斯特林(Stirling)公式的推导

斯特林（Stirling）公式：

这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。Stirling太强了。

1，Wallis公式

证明过程很简单，分部积分就可以了。

由x的取值可得如下结论：

即

化简得

当k无限大时，取极限可知中间式子为1。所以

第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。

2，Stirling公式的求解

继续兜圈。

关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。分别是：

显然，

代入第一部分最后公式得

（注：上式中第一个beta为平方）

所以得公式：

正态分布推导

在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。

前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章：

斯特林(Stirling)公式的推导

如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。

本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日，方才有这篇小文字。

本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。

这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。

斯特林公式：

根据斯特林公式,

因此

对于0

注意到

这个结论也可以表述为以下的形式：

假如设

这里只给出等价关系，离相等还差一步。如果中间画了等号，那么公式就是大家所熟悉的棣莫弗——拉普拉斯定理了，即二项分布以正态分布为极限分布。从等价到相等，也没什么难的了，反正就是微积分证明的主要思路——略去高阶无穷。这里就不再给出了吧。

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不好意思,以前漏了个条件

k满足|k-np|=o(npq)的2/3次方这个条件是原来给定的条件，而不是推导出来的．这个条件的意义是保证二项分布的 p 和 q 不会太小. 比如考虑一个极端的情况 p->0 ,那么上面的推导就不成立了.