人教版八年级数学上册第十三章全等轴对称课时同步练习卷

12.1

轴对称（第一课时）

◆随堂检测

1.

轴对称和轴对称图形的区别是，联系是

2.填空

图形对称轴

点A

直线l

线段AB

角

等腰三角形

3.在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是（）

A B C D

4.下列四副图案中，不是轴对称图形的是（）

◆典例分析

例：如图，校圆有两条路OA、OB，在交叉口

附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里

安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌

一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出

灯柱的位置P，并说明理由．

解析：根据轴对称和角平分线的性质即可画出．P离两块宣传牌

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

·

·

A

B

O

C

D

一样远，只须画CD的垂直平分线；到两条路的距离也一样远，只须画∠AOB 的角平分线，两线的交点即是所求

◆课下作业

●拓展提高

1.下列说法中，正确的个数有（）个．

（1）角的对称轴是这个角的平分线．

（2）圆的对称轴是直径．

（3）正方形的对角线是它的对称轴．

（4）线段的垂直平分线是它的对称轴．

A．1 B．2 C．3 D．4

2.把一张正方形纸片按如图2对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（）

图2

A．B．C．D．

3.如果两个图形的大小、形状完全一样，放在一起能够完全重合，那么这两个图形一定关于某条直线对称．这种说法（填正确或不正确）

4.如图所示的图案，在不考虑颜色的情况下是一个轴对称图形，如何求阴影部分的面积？

l l

m

5.某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称，请在下边矩形中画出你的设计图案．

●体验中考

1.(2009年湖北黄冈) 如图，△ABC与△A`B`C`关于直线l对称，且∠A=78°，∠C`=48°，则∠B的度数为（）

A．48° B．54° C．74° D．78°

2．（2009年河北省）如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE 沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长

为 cm．

参考答案：

随堂检测：

1.解析：抓住轴对称和轴对称图形的定义是关键

区别：轴对称是说两个图形的位置关系；轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。

A

B C

D

E

A′

联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠，图形重合．

（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线或轴对称；反过来，如果把两个或轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，可见它们在一定的条件下，可以相互转化，由轴对称的性质能研究轴对称图形的性质．

2.解析：理解对称轴的定义是关键

过点A的任意直线；（1）直线l本身（2）直线l的垂线；（1）直线AB（2）线段AB的中垂线；角平分线所在直线；底边上的中垂线

3.解析：由轴对称定义，我们可以知道选项C是正确的．

解：选择C．

4.解析：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是要抓住轴对称图形的本质特征：对于这个图形来说，能够找到某条直线，并沿着这条直线对折，对折后的两部分能够完全重合．观察每一个图案发现，B、C、D都能找到这样的直线，因此它们都是轴对称图形，只有A找不到这样的直线，故应选A．

拓展提高：

1.解析：对称轴都是“直线”，而（1）中的角平分线是射线，（2）中的直径是线段，（3）中的对角线也是线段，因此（1）、（2）、（3）都是错误的，只有（4）是正确的．

解：A．

2.解析：折叠轴对称图形产生的一个典型操作，对于这类折叠题，同学们可以通过实际操作或空间想象，便可得出正确答案．本题的答案是C．

3.解：不正确．

解析：若认为正确，那么错误原因是没有真正理解轴对称的概念，

对成轴对称的两个图形的必备条件理解不彻底，认为只要两个图

形的大小、形状完全一样就成轴对称，忽视了两个图形的位置关

系．如图中的两个三角形，虽然它们的大小、形状完全一样，但

它们并不关于某条直线对称，即找不到这样的一条直线，沿着该直线对折，使它们完全重合，因此它们并不成轴对称．

4.解析：利用轴对称可将所有的阴影部分的图形全翻到对称轴的一边，故阴影部分的面积即为半圆面积

5.解：参考图案如图：

体验中考：

1..B

2.3. 解析：想象把图形再翻折过去，就会发现阴影部分图形的周长为就是三角形的周长。

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12.1轴对称（第二课时）

◆随堂检测

1．设A、B两点关于直线MN轴对称，则直线MN与线段AB的关系是 .

2．若直角三角形是轴对称图形，则其三个内角的度数为_________.

3．在平面镜里看到背后墙上,电子钟示数如图所示,这时的实际时

间应该是______.

4．给出以下两个定理：

①线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；

②和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．

∵点A在直线l上，∴AM=AN（）．

∵BM=BN，∴点B在直线l上（）．

∵CM≠CN，∴点C不在直线l上（）．

如果点C在直线l上，那么CM＝CN（）．

这与条件CM≠CN矛盾．

以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）．

A.②①①①(B)

B.②①①②

C.①②①②

D.①②②①

◆典例分析

例：已知如图，AD是△ABC的角平分线，过点A的直线MN⊥AD，CH⊥MN。

求证：HB+CH>AB+AC。

解析：本例是一类比较解决的几何问题，由AD是△ABC 的角平分线MN⊥AD，CH⊥MN。，想到延长CH、BA交于点E，构造线段CE的垂直平分线。

E

D E D

C

B A

解：延长CH 交BA 的延长线于E ，因为AD 平分∠BAC ，MN ⊥AD ，CH ⊥MN,所以AD ∥CH ，所以∠BAD=∠E ，∠DAC=∠ACH ，由AN 平分∠CAE 得∠BAD=∠D AC ，故∠E=∠ACH ，因为CH ⊥MN ，∠AHC=∠AHE=900

，因为AH=AH ，所以△ACH ≌△AEH ，所以CH=EH ，由CH ⊥MN ，易知MN 是CE 的垂直平分线。所以AC ＝AE ，在△BHE 中，BH+HE>BE ，即BH+HC>BE ，所以HB+CH>AB+AC 。

规律总结：由角平分线想到构造线段的垂直平分线，将所要求证的线段转化到同一个三角形中，利用三角形的三边关系证明线段的不等问题是常用的转化方法。

◆课下作业

●拓展提高

1．如图，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）

A ．6cm

B ．8cm

C ．10cm

D ．12cm

2．已知Rt △ ABC 中，斜边AB ＝2BC ，以直线AC 为对称轴，点B 的对称点是B ，如图所示，则与线段BC 相等的线段是_________，与线段AB 相等的线段是________和________，与∠ B 相等的角是________和_________，因此∠ B ＝________.

3．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B 的大小．

4．如图，AB=AD ，BC=CD ，AC ，BD 相交于E ．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论(不要添加字母和辅助线，不要求证明)．

5．如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D, F为垂足, DE⊥AB于E，且AB>AC，求证：BE－AC=AE．

●体验中考

1．（2009年湖北荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=( )

A．40°B．30°C．20°D．10°

B

A'

D

第1题图

参考答案：

随堂检测：

1．垂直平分．解析：利用对称图形的性质

2．45°，45°，90°．解析：直角三角形只有一个直角，不能是轴对称的对应角，只能是

其他的两个锐角是轴对称的对应角，它们应相等，而其和为

90°，所以每个锐角都是45°． 3．21:05.解析：由于镜子是垂直摆放，因此，实际数字与镜中的实际像是左右相反的，所以这时的实际时间应该是21:05.

4．分析：本题是一道阅读理解题，考查对线段的垂直平分线的性质与判定的区分，解答时一定要认真阅读文字，正确写出理由．答案：选D ． ●拓展提高

1．解析：要求AC 的长，即求AE+EC 的长，由于DE 是AB 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，可得AE ＝BE ，所以只需 求出BE+EC 的长．而△BCE 的周长等于18cm ，BC ＝8cm ，易知BE+EC ＝18-8=10cm ，即AC=10cm ．故应选C ．

2．C B '； B B '、 B A '； B '∠、 B BA '∠； 60° 解析：点A 的对应点仍为A ，点C 的对应点仍为C ，线段BC 与C B '是对应线段，则与线段BC 相等的线段是C B '，而

B B

C B BC BC AB '='+==2，故与线段AB 相等的线段为B B '．而线段B A '与AB 是对

应线段，因此与线段AB 相等的线段还有B A '．与∠B 对应的角是B '∠，故与∠B 相等的角是B '∠．又由AB 、B B '，B A '三边相等知B AB '?是等边三角形，故其三个内角相等，因此与∠B 相等的角还有B BA '∠．因为三个内角之和等于180°，所以∠B＝60°． 点悟：本题主要考查对称图形的性质及其判定．充分利用轴对称的性质，找出轴对称的对应点，对应线段与对应角即可．

3．解：（1）当AB 的中垂线MN 交AC 边时，如图1， ∵ ∠DEA ＝50°，

∴ ∠A ＝90°－50°＝40°， ∵ AB ＝AC ，

∴ ∠B ＝21

（180°－40°）＝70°；

（2）当AB 的中垂线MN 交CA 的延长线时，如下图2，

图1

∵ ∠DEA ＝50°，

∴ ∠BAC ＝90°＋50°＝140°，

∴ ∠B ＝21

（180°－140°）＝20°．

解析：本题考察分类讨论的思想，其关键是当图形未给定时，要画出所有符合条件的图形，并加以解答．

4．解析：由AB=AD ，根据线段垂直平分线的判定，知点A 在线段BD 的垂直平分线上，由BC=CD ，知点C 也在线段BD 的垂直平分线上，所以直线AC 是线段BD 的垂直平分线，即DE=BE ，AC ⊥BD ．还可以得出∠DAC=∠BAC 等．

5．证明：过D 作DN ⊥AC, 垂足为N, 连结DB 、DC 则DN=DE ，DB=DC ，又∵DE ⊥AB, DN ⊥AC, ∴Rt △DBE ≌Rt △DCN ， ∴BE=CN ．又∵AD=AD ，DE=DN ，∴Rt △DEA ≌Rt △DNA ，∴AN=AE ，∴BE=AC+AN=AC+AE ，∴BE －AC=AE ． ●体验中考

1．解析：△ADC 与△A ′DC 关于CD 轴对称，∠A=∠CA ′D=50°，∠ACB=90°，∠B=40°，则∠A ′DB=50°- 40°=10°选C

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12.2作轴对称图形（第一课时）

◆随堂检测

1.作五角星关于与某条直线对称的图形时，最多要选个关键点。

2.把如图（实线部分）补成以虚线 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不写作法，保留作图痕迹）

。

90，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A、B的距离相等(保3. 如图，在△ABC中，∠C＝

留作图痕迹，不写作法和证明)．

4.学校团委向大家征集板报报头图案，图案设计要求如下：（1）是轴对称图形；（2）在你学过的几何图形中任意选几种（不少于3种，每个图形的个数不限），组成一个美观且有实际意义的图案，请根据以上要求画出图案，并用简练的语言表达你所设计的图案的含义.

◆典例分析

例：△ABC 和△A ’B ’C ’关于直线MN 对称，△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’关于直线EF 对称.

（1） 画出直线EF ；

（2）直线MN 与EF 相交于点O ，试探究∠BOB ’’ 与直线MN 、EF 所夹锐角α的数量关系. 解析:(1)利用轴对称的性质:两个图形关于某直线对称,则对称轴是对称点连线的垂直平分线来画出直线EF. (2)利用关于轴对称的两个图形是全等形的性质来探究角的关系. 解：(1)如图，连结B ’B ’’.

作线段B ’B ’’的垂直平分线EF.

则直线EF 是△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’的对称轴. (2)结B ’O.

∵△ABC 和△A ’B ’C ’关于MN 对称，

∴∠BOM=∠B ’OM

又∵△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’关于EF 对称， ∴∠B ’OE ＝∠B ’’OE.

∴∠BOB ’’=∠BOM+∠B ’OM+∠B ’OE+∠B ’’OE =2（∠B ’OM ＋∠B ’OE ） ＝2α.

即∠BOB ’’＝2α

说明：画对称轴的关键是要找出对称轴的两边的对称点，由对称轴是对称点连线被垂直平分线，从而画出所要画的直线.

◆课下作业

图2

A

N M

B

C A ’

A ’’

B ’

B ’’

C ’ C ’’

F E

O

●拓展提高

1如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半.

2如图，已知点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小.

3如图所示，已知三个村庄的位置如图3

所示，经过商量，三个村庄决定联合打一眼机井向三个村庄供水，要想使机井到三个村庄的距离相等，机井应该设在何处？并说明你的理由。

4.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲。若甲站在角AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同。问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？

A

l

B

5. 如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

6.如图，小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水．

（１）若要使水厂到Ａ、Ｂ村的距离相等，则应选择在哪建厂？

（２）若要使水厂到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？

●体验中考

1.(2009年临沂)如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄,为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点

P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

2.（2008年湖北宜昌）如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．

（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）（2）连接AE，AF．若∠AB C＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．

参考答案：

随堂检测“

1. 10个解析：画轴对称图形关键是作关键点的对称点．

2.解析:再作出另外五个关键点

D

A

B

C

。。

M N

P

C

B

A

3.解：分别以A 、B 为圆心，以大于

2

1

AB 的长为半径作弧交于M 、N ，过M 、N 作直线交AC 于点P ，则点P 即为所求作的点．或作线段AB 的垂直平分线MN ，交边AC 于点P ，点P 就是AC 上到A 、B 的距离相等点。

解析:到A 、B 距离相等的点都在AB 的垂直平分线上, 又要求这样的点在AC 上,故是AB 的垂直平分线与AC 的交点 说明：在以A 、B 为圆心画弧时，一定要以大于2

1

AB 的长为半径作弧，否则由于两弧不相交而得不到交点．

4.解析：本题是一道开放性轴对称图形设计问题，充分发挥你的想象能力，选用不同的图形，可设计出很多的图案.但要注意一点，所设计的图案一定要符合题目要求，现给出两种图案供参考.

拓展提高：

1.解析:由于所给图形在正方形的网格中，所以很容易画出这个轴对称图形的另一半，如图

2.解析:作图中的最短问题,通常是利用“两点之间线段最短”.作法:连接AB 交直线于点P,则P 即为所求

3.解析：可以分开考虑，与A 、B 距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，与A 、C 距离相

盼望2008

等的点在线段AC的垂直平分线上。因为同时需要满足

到A、B、C三点的距离相等，所以机井应该设在这两

条垂直平分线的交点处。

解：如图所示，

（1）连结AC、AB；

（2）作AC的垂直平分线交AC于点F，作AB的垂直

平分线交AB于点E，两条垂直平分线相交于点M，点

M就是机井的位置。

理由：因为ME垂直平分AB，所以MA=MB；

因为MF垂直平分AC，所以MA=MC；

所以MA=MB= MC，

所以点M到三个村庄的距离相等

4.解析：本道题目求最短路程可以看成求线段之和最小，往往转化为轴对称问题进行考虑。

解：如图所示，

（1）分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2；

（2）连结P1P2，与OA、OB分别相交于点M、N。

因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OA上的N 处。

5.解析：这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.

解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，

则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

6解析：（１）到Ａ、Ｂ两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”．

（２）要使水厂到Ａ村、Ｂ村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．

解：（１）如图２，画线段ＡＢ的中垂线，交ＥＦ与Ｐ，则Ｐ到Ａ、Ｂ的距离相等．

（２）如图３，画出点Ａ关于河岸ＥＦ的对称点Ａ′，连结Ａ′Ｂ交ＥＦ于Ｐ，则Ｐ到ＡＢ的距离和最短

评注：轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用．我们在解轴对称问题时，应该仔细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，根据对应的原理法则，灵活巧妙地建立相应的数学模型.利用所学知识解决实际问题

●体验中考

1．作法：①分别以点A B

，为圆心，以大于

1

2

AB的长为

半径作弧，两弧交于两点M N

，，

作直线MN；

②直线MN交l于点P，点P即为所求．

2．解：(1)能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，

B

A

C

D

l

N

M

O

P

交BC于E”的痕迹，)能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F)”的痕迹.

(2)∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，

∴BE＝BF，

∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD,

∴△ABE≌△ABF.

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12.2作轴对称图形（第二课时）

◆随堂检测

1．用坐标表示轴对称的点的坐标变换规律：点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ）；点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ）．

2．点（2， b ）与（a ，- 4）关于y 轴对称，则a= ，b=

3．如图，正方形ABCD 的中心为O ，AD ∥x 轴,CD ∥y 轴,若点A 的坐标为（1，1），说出点B 、

C 、

D 的坐标．(根据什么？)

4．如图，△ABC ，求顶点A 、B 、C 关于y 轴对称点的坐标。

◆典例分析

y

x

o

（1，1）

D C

B

A